Luận Văn Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai

MỤC LỤC
Lời cảm ơn . 1
Phần mở đầu 3
1. Lí do chọn khoá luận .3
2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu 3
3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận .4
Chương 1. Một số kiến thức liên quan . .5 1.1 Không gian Sobolev . .5
1.2 Một vài không gian của các hàm .17
1.2.1 Không gian hàm H[SUP] -1[/SUP] . 17
1.2.2 Không gian phụ thuộc thời gian . 18
Không gian hàm L[SUP]p[/SUP](0,T;X) .18
Không gian hàm C([0,T];X) . .18
1.3. Các bất đẳng thức .19
1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall-Bellman . 19
1.3.2 Bất đẳng thức năng lượng . 19
Chương 2.Tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương
trình Parabolic cấp hai . 21
2.1 Mở đầu 21
2.1.1 Thiết lập bài toán 21
2.1.2 Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng 22
2.1.3 Nghiệm suy rộng .23
2.2 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng .25
2.2.1 Một số đánh giá tiên nghiệm .25
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 28
2.2.3 Tính duy nhất nghiệm suy rộng . .30
Kết luận 31
Tài liệu tham khảo: 32

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn khoá luận
Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm quen
với môn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn đề cơ
bản liên quan đến phương trình Lapace, phương trình truyền sóng, phương trình
truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện cho ba lớp
phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại eliptic, hypebolic và parabolic.
Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩa thông thường thường
đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn đến cấp của phương trình, điều
này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với các phương trình trên những miền
bất kì hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn. Để khắc
phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng,
tức là là nghiệm “ thô” lúc đầu là nghiệm “ khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi
hoặc nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường. Sau đó nhờ các công cụ
của giải tích hàm, ta làm cho nghiệm dần đến nghiệm thông thường. Chính vì
vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự
khám phá của những sinh viên yêu thích nó. Nhằm góp phần giúp những bạn
sinh viên và những độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và
bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu
khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu tính đặt đúng của bài
toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai”.
2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic cấp hai.
2.2. Phương pháp nghiên cứu
Vấn đề nghiên cứu trong luận văn là vấn đề mới đối với sinh viên bậc đại học, vì vậy phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lí thuyết cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin. Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày thành một hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra của luận văn.
2.3. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương trình parabolic cấp hai và những kiến thức cơ sở liên quan đến việc nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet.
3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận
3.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về môn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai.
Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả
những ai quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng.
3.2 Nhiệm vụ của khoá luận
Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu
tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp
hai.
3.3. Những đóng góp của khoá luận
Đóng góp nổi bật của khoá luận là cung cấp được một hệ thống tri thức
mới chuyên sâu về môn phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Đó là các khái
niệm mới như: định nghĩa đạo hàm suy rộng, các không gian Sobolev. Ngoài ra
ta biết các tính chất, vấn đề liên quan đến các khái niệm kiến thức này. Đặc biệt
nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán
Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai, cụ thể là phương
pháp xấp xỉ Galerkin.