Tiểu Luận Nghiên cứu sâu hơn về t-chuẩn có ngưỡng và bước đầu ứng dụng vào khai phá dữ liệu

Đề tài: Nghiên cứu sâu hơn về t-chuẩn có ngưỡng và bước đầu ứng dụng vào khai phá dữ liệu

LỜI CẢM ƠN


Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thày giáo Bựi Cụng Cường đă giúp đỡ em rất nhiều trong quá tŕnh t́m kiếm tài liệu cũng như hoàn thành báo cáo của ḿnh. Sự chỉ bảo tận t́nh của thày trong suốt quá tŕnh từ những ư tưởng ban đầu cho đến khi báo cáo được hoàn thành là trợ giúp lớn nhất đối với em.
Sau đó, em xin chân thành cảm ơn các thày, cô giáo đă giảng dạy em, đặc biệt là các thày, cô giáo của khoa Toán Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Những kiến thức thu nhận được từ các thày, cụ đó hỗ trợ em rất nhiều trong quá tŕnh hoàn thành báo cáo này.
Em cũng xin cảm ơn các bạn học cùng lớp Toán Tin-KSTN K45, Đại học Bách Khoa Hà Nội, các anh chị và các bạn thuộc Seminar Lư thuyết mờ và Mạng Nơron, những đóng góp của mọi người đó giỳp em có thể hoàn chỉnh được báo cáo.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới cha mẹ, chị gái của em, sự cổ vũ động viên của mọi người là động lực rất lớn giúp em có thể hoàn thành được báo cáo này.
Em xin phép được sử dụng cụm từ “chỳng tụi” trong báo cáo bao gồm em và mọi nguời.

MỤC LỤC
GIỚI THIỆU
TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG
2.1 Toán tử mờ
2.1.1. Phủ định
2.1.2. T-chuẩn
2.1.3. T-đối chuẩn
2.1.4. Kéo theo
2.2 Toán tử mờ có ngưỡng
2.2.1. t-chuẩn có ngưỡng
2.2.2. Đẳng cấu giữa các t-chuẩn có ngưỡng
2.2.3. t-đối chuẩn có ngưỡng và bộ ba De Morgan có ngưỡng
2.2.4. Kéo theo có ngưỡng
2.2.5. Các toán tử mờ tham số
2.3 Kết luận
LUẬT KẾT HỢP MỜ
3.1 Giới thiệu
3.2 Mô tả bài toán
3.2.1. Thuộc tính và cơ sở dữ liệu
3.2.2. Từ
3.2.3. Mệnh đề
3.2.4. Luật kết hợp
3.2.5. t-chuẩn có ngưỡng và độ ủng hộ
3.3 Không gian t́m kiếm
3.3.1. T́m mệnh đề
3.3.2. T́m luật
3.4 Thuật toán
3.4.1. T́m mệnh đề
3.4.2. T́m luật kết hợp
3.5 Vấn đề mờ hoá dữ liệu
3.5.1. Bài toán phân cụm dữ liệu và phân cụm mờ
3.5.2. Thuật toán FCM
3.5.3. Phương pháp chia đều
3.6 Kết luận
Phụ lục A. Các toán tử mờ có ngưỡng tham số
Phụ lục B. Chương tŕnh Fuzzy Rules Miner
1. Các Module chương tŕnh
1.2. frmFuzzySetFinder
2.1 CFF
2.3 FDF
2.5 PF
3.1. Mô tả
3.2. Kết quả
TÀI LIỆU THAM KHẢO




1
GIỚI THIỆU


Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong [14], sau đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31]. Sau đó, một số kết quả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng, t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đă được xem xét trong [9-13].
Cũng giống như toán tử mờ, toán tử mờ có ngưỡng có một phạm vi ứng dụng rộng lớn tử trong điều khiển học, trong trí tuệ nhơn tạo, đặc biệt là trong các vấn đề về hệ suy diễn và khai phá dữ liệu.
Tỡm kiếm luật kết hợp là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng trong khai phá dữ liệu [38]. Bài toán tỡm luật kết hợp boolean được giới thiệu lần đầu tiên trong [2]. Ví dụ cho luật này có thể là như sau: “90% số người mua bơ và sữa sẽ mua cả bánh ḿ”. Đă có nhiều thuật toán được đưa ra nhằm giải quyết bài toán này, như Apriori [3], FP-growth [27,23], Eclat [1]
Bài toán luật kết hợp lượng hoá được nêu ra trong [40]. Lấy ví dụ, một luật kết hợp lượng hoá cho cơ sở dữ liệu với ba thuộc tớnh về có thể là “ và <đă kết hôn:đúng> → ”. Thuật toán đưa ra trong [40] phơn hoạch miền giá trị của các thuộc tớnh thành các khoảng và sau đó kết hợp các khoảng rời nhau để cho lời giải của bài toán. Thao tác này thực chất là chuyển bài toán luật kết hợp lượng hoá về bài toán luật kết hợp boolean.
Mặc dù phương pháp phơn hoạch dữ liệu cũng giải quyết được một số bài toán tỡm luật kết hợp trên cơ sở dữ liệu lượng hoá. Tuy nhiên, cũng có một số vấn đề phát sinh như trong [35] đă chỉ ra. Đó là vấn đề mất mát thông tin nếu như có nhiều giá trị tập trung xung quanh cỏc biờn của các khoảng. Việc chia các giá trị gần nhau vào các khoảng khác nhau sẽ dẫn tới việc mất thông tin trong các phân tích về sau. Một phương pháp tiếp cận khác là chia miền dữ liệu thành cỏc vựng có chồng lên nhau. Khi đú, cỏc phần tử nằm gần biên có thể thuộc nhiều hơn một khoảng, và sẽ giải quyết được phần nào vấn đề mất mát thông tin tại các lân cận biên. Tuy nhiên, tiếp cận này vẫn có phần bất hợp lư do việc phần tử gần biên cũng sẽ có vai tṛ quan trọng trong việc mô tả đặc trưng của khoảng giống như các phần tử gần trung tâm.
Tất cả những vấn đề trên chủ yếu xuất phát từ việc sử dụng biên rơ ràng để chia khoảng. Từ đó, trong [35] đă đề nghị sử dụng tiếp cận mờ. Tập mờ cung cấp thay đổi uyển chuyển giữa cỏc vựng dữ liệu, và vấn đề xuất phát từ biờn rừ sẽ được loại bỏ. Trong [35], các luật kết hợp mờ có dạng, “Nếu X là A th́ Y là B”, trong đó “X là A” được gọi là phần tiền tố của luật, “Y là B” được gọi là phần hệ quả của luật. X và Y là các tập thuộc tính của cơ sở dữ liệu, A và B là các tập từ mô tả X và Y tương ứng.
Báo cáo này tập trung nghiên cứu sơu về toán tử mờ có ngưỡng, đồng thời xem xét một khớa cạnh ứng dụng vào bài toán luật kết hợp mờ.
Chương 2 của báo cáo tập trung vào các nghiên cứu sơu về toán tử mờ có ngưỡng, mô tả các khái niệm về lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, cặp hàm sinh của lớp các toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng. Chương 3 của báo cáo mô tả về bài toán luật kết hợp mờ, vấn đề mờ hóa dữ liệu đầu vào, đồng thời xem xét ứng dụng t-chuẩn có ngưỡng vào việc bài toán luật kết hợp mờ.
Phần phụ lục cuối báo cáo cung cấp các lớp toán tử mờ có ngưỡng có tham số, mô tả về chương tŕnh Fuzzy Rules Miner cài đặt thuật toán F-Apriori, cấu trúc các file dữ liệu đầu vào và các kết quả chạy thử nghiệm chương tŕnh.




2
TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG


Sự ra đời của công nghệ tính toán mờ xuất phát từ các giới thiệu về tập mờ của Zadeh năm 1965 [41]. Hiện nay, có thể nói, công nghệ tớnh toán mờ là một trong những lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhất, được đánh dấu bằng sự ra đời của hàng loạt phương pháp và kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc tích hợp các kỹ thuật của lôgớc mờ với các phương pháp phơn tích khác ngày càng diễn ra mạnh mẽ. Lôgớc mờ được ứng dụng rộng rói để giải quyết rất nhiều bài toán của khoa học ứng dụng. Những lĩnh vực có thể kể ra ở đơy là vận trù học, hỗ trợ quyết định, điều khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lư, xă hội học, mô h́nh thống kê, máy học, thiết kế cơ khí, chế tạo, phơn lớp, suy luận, thu nhận thông tin, quản lư cơ sở dữ liệu, chẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức.
Đặc biệt, trong lĩnh vực xử lư tri thức, công nghệ tớnh toán mờ tỏ ra vô cùng hiệu quả. Do tri thức thường con người thường được biểu diễn bằng các thể hiện ngôn ngữ, bằng các cơu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét. Vấn đề đối với việc xử lư tri thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giới đang xét, mà cũn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng. Lôgớc h́nh thức cổ điển cho phép chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai. Tuy nhiên, trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếu không muốn nói là phi thực tế. Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”, “Thể tích nhỏ”, “Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lư của chúng là không hay một là rất khó khăn do các từ “cao”, “nhỏ”, hay “đỏ” hoàn toàn có tính chất mờ hồ. Từ đó, Zadeh đă mở rộng lụgớc mệnh đề thành lụgớc mờ, trong đó, mỗi mệnh đề P sẽ được gán cho một trị chân lư υ(P), là một giá trị trong đoạn [0,1], biểu diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó. Hay
Để có thể tiến hành các thao tác lụgớc trờn cỏc mệnh đề, chúng ta cần phải có các phép toán lụgớc mờ. Đú chớnh là các phép toán t-chuẩn tương ứng với phép hội, t-đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ.
Bên cạnh đó, ngưỡng cũng là khái niệm hết sức tự nhiên trong các bài toán của thế giới thực. Những suy luận có sử dụng ngưỡng là rất hay gặp trong đời sống. Lấy ví dụ, trong công tác chẩn đoán bệnh nhân. Nếu một số thông số đầu vào đạt những giá trị ngưỡng, dạng như nhiệt độ trên 41[SUP]o[/SUP]C, nhịp tim trên 150, hiển nhiên chúng ta phải có những suy luận khác với khi các giá trị này chưa đạt giá trị ngưỡng. Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các toán tử mờ có ngưỡng sử dụng làm công cụ cho quá tŕnh trích rút các luật mờ.
Mở đầu của các nghiên cứu về toán tử mờ có ngưỡng chính là t-chuẩn có ngưỡng. Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong [14], sau đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31]. Sau đó, một số kết quả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đă được xem xét trong [9-13]. Chương này sẽ nhắc lại các khái niệm về toán tử mờ, toán tử mờ có ngưỡng, lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng. Đồng thời, chúng tôi sẽ tiến hành xem xét một số tính chất đại số của các lớp này. Phần cuối chương là các xem xét giải tích đối với các lớp toán tử mờ tham số nhằm làm tiền đề cho việc tạo ra các toán tử mờ có ngưỡng tham số.
Trước hết, chúng ta bắt đầu bằng việc t́m hiểu về các toán tử mờ và một số tính chất đặc trưng của chúng.
2.1 Toán tử mờToán tử mờ là những phép toán trên lôgớc mờ, nghĩa là những phép toán trên các giá trị lôgớc của các mệnh đề. Như thế, một cách tổng quát, các phép toán trên đoạn [0,1] đều có thể là toán tử mờ. Trong phần này chúng ta sẽ tỡm nhắc lại các định nghĩa và một số tớnh chất của các phép toán lôgớc cơ bản, đó là phép phủ định, phép hội hay t-norm, phép tuyển hay t-conorm.
2.1.1. Phủ địnhĐịnh nghĩa 2.1.1[28].
i) Hàm n : [0,1] → [0,1] được gọi là hàm phủ định nếu nó không tăng đồng thời n(0) = 1 và n(1) = 0.
ii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định chặt nếu nó giảm chặt.
iii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định mạnh nếu nó là phủ định chặt, đồng thời n(n(x)) = x với mọi x [0,1].
Định lư 2.1.1[28]. n là phép phủ định chặt nếu và chỉ nếu tồn tại f thuộc Aut(J) sao cho n(x) = f[SUP]-1[/SUP](1-f(x)).
Ở đây, ta chú ư η = 1 - x là một hàm phủ định chặt, và biểu diễn của n trong định lư có thể được viết thành n(x) = f[SUP]-1[/SUP](η(f(x))). f khi đó được gọi là hàm sinh của n, và n có thể được biểu diễn dạng η[SUB]f[/SUB].
2.1.2. T-chuẩnĐịnh nghĩa 2.1.2[28]. Một hàm T : [0,1]́[0,1] → [0,1] được gọi là một t-chuẩn (tương ứng với phép hội trong lụgớc mệnh đề), nếu nó có tính giao hoán, kết hợp, đơn điệu không giảm theo từng biến, đồng thời T(x,1) = x với mọi x [0,1].
i) Một t-chuẩn được gọi là liên tục nếu nó liên tục theo từng biến.
ii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn Archimedean nếu nó liên tục, đồng thời: T(x,x) < x với mọi x (0,1).
iii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn chặt nếu nó là Archimedean, đồng thời: không tồn tại x, y (0,1) sao cho T(x,y) = 0.
iv) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn nilpotent nếu nó là Archimedean, đồng thời: tồn tại x, y (0,1) sao cho T(x,y) = 0.
2.1.3. T-đối chuẩnĐịnh nghĩa 2.1.3[28]. Một hàm S : [0,1]́[0,1] → [0,1] được gọi là một t-đối chuẩn(tương ứng với phép tuyển) nếu nó có tính giao hoán, kết hợp, đơn điệu không giảm theo từng biến, đồng thời S(0,x) = x với mọi x [0,1].
Kết quả sau đây cho ta thấy mối tương quan giữa t-chuẩn và t-đối chuẩn.
Định lư 2.1.2[28]. S là t-đối chuẩn nếu và chỉ nếu tồn tại t-chuẩn T và phủ định mạnh n sao cho S(x,y) = n(T(n(x),n(y))) với mọi x,y [0,1].
Cặp (T,S) được gọi là đối ngẫu nhau qua phủ định mạnh n.
Bộ ba (T,n,S) được gọi là bộ ba De Morgan.
Một t-đối chuẩn được gọi là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent nếu đối ngẫu của nó là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent tương ứng.
2.1.4. Kéo theoĐịnh nghĩa 2.1.4[19]. Một hàm I: [0,1]́[0,1]→[0,1] là một hàm kéo theo nếu thoả các tính chất sau:
i) I(x,y) ≥ I(u,y) nếu x ≤ u
ii) I(x,y) ≥ I(x,v) nếu y ≥ v
iii) I(0,x) = 1
iv) I(x,1) = 1
v) I(1,0) = 0
Trong thực tế, người ta thường sử dụng các hàm kéo theo được định nghĩa dựa trên các toán tử khác như t-chuẩn, t-đối chuẩn và hàm phủ định. Ta cú cỏc kết quả sau:
Mệnh đề 2.1.3[19]. Cho S là t-đối chuẩn, n là hàm phủ định chặt, thế th́ I(x,y) = S(nx,y) là một hàm kéo theo.
Mệnh đề 2.1.4[19]. Cho T là t-chuẩn, thế th́ I(x,y) = sup[SUB]z[/SUB]{T(x,z) ≤ y} là hàm kéo theo.
Phần tiếp theo là các khái niệm về toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, đồng thời chúng tôi cũng sẽ nhắc lại một số tớnh chất của các toán tử mờ sau đó xem xét mở rộng sang t-chuẩn có ngưỡng.
2.2 Toán tử mờ có ngưỡngToán tử mờ có ngưỡng cũng là các toán tử biểu diễn các phép toán trờn cỏc giá trị chân lư của các mệnh đề trong lụgớc mờ. Bênh cạnh đó, mỗi toán tử thuộc loại này sẽ được gắn thờm cỏc giá trị ngưỡng nhằm biểu diễn sự suy diễn theo ngưỡng mà chúng tôi đă nói đến ở phần đầu chương.
2.2.1. t-chuẩn có ngưỡngTrước hết chúng ta sẽ xem xét định nghĩa về t-chuẩn có ngưỡng.
Kư hiệu
J = [0,1].
Cho t[SUB]1[/SUB], t[SUB]2[/SUB] là hai t-chuẩn, kư hiệu t[SUB]1[/SUB] ≥ t[SUB]2[/SUB] nếu và chỉ nếu t[SUB]1[/SUB](x,y) ≥ t[SUB]2[/SUB](x,y) với mọi x, y J.
Cho α là ngưỡng, nghĩa là α = (α[SUB]x[/SUB],α[SUB]y[/SUB]), với 0 ≤ α[SUB]x[/SUB],α[SUB]y[/SUB] ≤ 1. Cho t[SUB]1[/SUB], t[SUB]2[/SUB] là các t-chuẩn sao cho t[SUB]1[/SUB] ≥ t[SUB]2[/SUB].
Định nghĩa 2.2.1[9]. t-chuẩn có ngưỡng T(x,y,α) được định nghĩa trên J[SUP]2[/SUP] như sau:
T(x,y,α) =
Định nghĩa 2.2.2. Lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng là tập các t-chuẩn có ngưỡng được xác định như sau:
=
Ta có thể thấy, việc xác định một t-chuẩn có ngưỡng tương ứng với việc xác định hai t-chuẩn t[SUB]1[/SUB], t[SUB]2[/SUB], và ngưỡng α, việc xác định một lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng tương ứng với việc xác định hai t-chuẩn t[SUB]1[/SUB] và t[SUB]2[/SUB].
Ta cũng gọi T(x,y,α) là t-chuẩn có ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, nếu t[SUB]1[/SUB], t[SUB]2[/SUB] là liên tục, Archimedeanm chặt, nilpotent tương ứng.
Từ các định nghĩa về t-chuẩn nilpotent và t-chuẩn chặt, và ràng buộc t[SUB]1[/SUB] ≥ t[SUB]2[/SUB], ta có thể thấy t-chuẩn có ngưỡng Archimedean có thể chia làm ba loại:
i) t-chuẩn có ngưỡng chặt
ii) t-chuẩn có ngưỡng nilpotent
iii) t-chuẩn có ngưỡng hỗn hợp (t[SUB]1[/SUB] là chặt và t[SUB]2[/SUB] là nilpotent).
Ta có kết quả sau thu được trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 2.2.1[9]: Với mọi α [0,1], với mọi x,y [0,1], ta luôn có t[SUB]1[/SUB](x,y) ≥ T(x,y,α) ≥ t[SUB]2[/SUB](x,y).
Trong các bài toán cụ thể, nói chung, miền ngưỡng α được đưa ra dựa trên ư kiến của các chuyên gia, chúng phụ thuộc vào thế giới đang được xem xét. Sau đơy, chúng tôi sẽ xem xét về các phương pháp để xơy dựng các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean, nói cách khác là việc tạo ra các bộ t[SUB]1[/SUB], t[SUB]2[/SUB] thoả t[SUB]1[/SUB](x,y) ≥ t[SUB]2[/SUB](x,y) với mọi x,y.
Trước hết, ta nhắc lại phương pháp sử dụng hàm sinh, trong [28], sau đó, ta sẽ xem xét mở rộng cho t-chuẩn có ngưỡng với cặp hàm sinh.
Kư hiệu
i) Aut(J) là tập các tự đẳng cấu của J, nghĩa là tập các song ánh J → J, bảo toàn thứ tự.
ii) Aut(J,a) là tập các song ánh bảo toàn thứ tự J → [a,1] với a [0,1).
Kư hiệu
z[SUB]1[/SUB] z[SUB]2[/SUB] = max(z[SUB]1[/SUB],z[SUB]2[/SUB]) z[SUB]1[/SUB] z[SUB]2[/SUB] = min(z[SUB]1[/SUB],z[SUB]2[/SUB])
Định lư 2.2.2[28]. Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại f tăng chặt: [0,1] → [0,1], với f(1) = 1, sao cho:
t(x,y) = f[SUP]-1[/SUP](f(x)f(y) f(0))
hàm f được xác định duy nhất sai khác một số mũ dương.
Hàm f ở trên được gọi là hàm sinh nhơn tớnh của t-chuẩn Archimedean t. Ta cũng có thể thấy, nếu t là t-chuẩn chặt th́ f(0) = a = 0, cũn nếu t là t-chuẩn nilpotent, ta có f(0) > 0.
Bên cạnh việc biểu diễn các t-chuẩn Archimedean thông qua hàm sinh nhơn tớnh, chúng ta cũng có thể sử dụng hàm sinh cộng tớnh để xơy dựng các t-chuẩn này [28].
Định lư 2.2.3 [28] Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại hàm g liên tục, giảm chặt: [0,1] → [0,∞], với g(1) = 0, sao cho:
t(x,y) = g[SUP]-1[/SUP](g(x)+g(y)g(0))
hàm g xác định duy nhất sai khác một hằng số nhơn dương.
Hàm g được gọi là hàm sinh cộng tính của t-chuẩn t. Và nếu t là t-chuẩn chặt, ta có g(0) = ∞, nếu t là t-chuẩn nilpotent, ta có g(0) < ∞. Kết quả sau cho ta mối tương quan giữa hàm sinh nhơn tớnh và hàm sinh cộng tớnh.
Mệnh đề 2.2.4 [28]. Cho t là t-chuẩn Archimedean với g là hàm sinh cộng tớnh, thế th́ f(x) = e[SUP]-g(x)[/SUP] là hàm sinh nhơn tớnh của t.
Kư hiệu
t[SUB]f[/SUB] là t-chuẩn sinh bởi hàm sinh nhơn tớnh (cộng tớnh) f.
Ta có thể thấy, lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng được xác định dựa theo hai t-chuẩn thành phần t[SUB]1[/SUB], t[SUB]2[/SUB] sao cho t[SUB]1[/SUB] ≥ t[SUB]2[/SUB]. Để mở rộng khái niệm hàm sinh, trước hết, ta xem xét các kết quả về so sánh giữa hai t-chuẩn Archimedean thông qua các hàm sinh của chúng.
Định lư 2.2.5 [34]. Cho t[SUB]1[/SUB], t[SUB]2[/SUB] là hai t-chuẩn Archimedean với g[SUB]1[/SUB], g[SUB]2[/SUB] là hai hàm sinh cộng tớnh tương ứng. Khi đó, t[SUB]1[/SUB] ≤ t[SUB]2[/SUB] khi và chỉ khi h = g[SUB]1○[/SUB]g[SUB]2[/SUB][SUP]-1[/SUP] là hàm dưới cộng tính, nghĩa là:
g[SUB]1○[/SUB]g[SUB]2[/SUB][SUP]-1[/SUP](u+v) ≤ g[SUB]1○[/SUB]g[SUB]2[/SUB][SUP]-1[/SUP](u) + g[SUB]1○[/SUB]g[SUB]2[/SUB][SUP]-1[/SUP](v)
với mọi u, v [0,g[SUB]2[/SUB](0)] sao cho u+v [0,g[SUB]2[/SUB](0)].