Tiến Sĩ Nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên ITÔ

Luận án tiến sĩ năm 2012
Đề tài: Nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên ITÔ

MỤC LỤC
Mục lục 1
Bảng ký hiệu 3
Mỏ đầu 4
1 Kiến thức chuẩn bị 13
1.1. Số mũ Lyapunov 13
1.2. Phưdng trình vi phân ngẫu nhiên Itô 16
1.2.1 Chuyển động Brown 16
1.2.2 Phưdng trình vi phân ngẫu nhiển Itô 18
1.3. Phổ Lyapunov của phiídng trình vi phân ngẫu nhiền Itô tuyến tính
không ôtônôm 21
1.4. Tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân (tại số tuyến
tính chỉ số 1 23
1.4.1 Phư<íng trình vi phân (tại số tuyến tính chỉ số 1 . 23
1.4.2 Phưdng trình vi phân (tại số liên hợp 26
1.4.3 Tính chính qui Lyapunov của phiMng trình vi phân
đại số 29
2 Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô 31
2.1. Ví dụ m<ì (tầu 31
2.2. Nghiệm của phương trình vi phân (tại số ngẫu nhiển Itô 32
2.3. Phưdng trình vi phân (tại số ngẫu nhiên Itô chỉ số 1 35
2.4. Kết luận chưdng 2 43
3 Phổ Lyapunov của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên
Itô tuyến tính chỉ số 1 44
3.1. Dòng ngẫu nhiên hai tliarn số cảm sinh 44
3.2. Phố Lyapunov 47
3.3. Kết luận chưitng 3 GI
4 Tính chính qui Lyapunov của phiídng trình vi phân đại
số ngẫu nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1 62
4.1. Phưiing trình liên hợp của phitílng trình vi phân (tại số ngẫu nhiên
Itô tuyến tính chỉ số 1 62
4.2. Chỉ số của phưiing trình liên hi.tp 69
4.3. Tính chính qui Lyapunov 71
4.3.1 Phổ Lyapunov của phưiíng trình liên hợp 71
4.3.2 Tính chính qui Lyapunov 78
4.4. Kết luận chiíitng 4 95
Kết luận chung và kiến nghị 96
Danh mục công trình của NCS liên quan đến luận án 98
Tài liệu tham khảo 99
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong khoa học kỹ thuật và ứng dụng thực tiễn, có nhiều bài toán dẫn (tến nhu cầu cần nghiên cứu phiMng trình vi phân có sự tham gia của nhiễu trắng. Dỏ là phương trình dạng
x(t) = f(t, x{t)) + G(t, x(t)ỵt, i(t0) = X®, (1)
trong <16, là “nhiễu trắng" (White noise). Chang hạn, năm 1908, nhà vật lý ngiròi Pháp Langevin khi nghiển cứu chuyển íĩộng hỗn loạn của một hạt trong chất lỏng (tã (ĩề cập t/íi phương trình
Xi = -OíXị + ơ€(,
ỏ (tây, Xi là vận tốc của hạt tại thííi điểm t: Q, ơ là các hằng số diMng. Thành phần ơ£f the hiện sự tác động của lực ngoài vào do va chạm ngẫu nhiên vỏi các phần tứ của chất lỏng.
Ịi được các nhà vật lý gọi là nhiễu trắng và (ĨƯỢc hiểu như quá trình Gauss dừng Vtíi kỳ vọng bằng 0 và mật (tộ phổ là hằng trển toàn (tiròng thắng (mật (ĩộ phổ là biến đổi Fourier của hàm tự tiMng quan). Quá trình như vậy khổng tồn tại theo nghĩa thông till rông, vì hàm tiffing quan lúc này phải là hàm Dirac delta. Dựẽi vào đặc ítiểm này, nhiễu trắng till rông được (lùng như là lý tưỏng hóa nhiễu ngẫu nhiên mà tại các thíti ítiổm khác nhau là (tộc lập và có thăng giáng rộng. Quá trình dạng này có hàm mẫu không (tâu khả vi, vì vậy ta không thể xét (1) như phưiỉng trình vi phân thitòng được.
1.2. Năm 1944, Kiyosi Itổ công bố bài báo ''Stochastic Integral" trong Pro¬ceedings of the Imperial Academy, Tokyo [49]. Bài báo này (ĩã đem đến một
công cụ mới, (tược chứng minh chặt chẽ về mặt toán học, cho tính toán ngẫu nhiên, đáp ứng nhu cầu của thực tiễn đã ítưực (tề cập tníổc (ló. Trong bài báo này, Itô giổi thiệu một loại tích phân và một công thức nổi tiếng, sau này (tược mang tên ông— Tích phân ngẫu nhiên ỉtô và Công thức Itô. Công thức Itô, là cổng cụ chính trong tính toán (tối với hàm ngẫu nhiên. C-Ó vai trò như cổng thức Newton-Leibniz trong giải tích cổ điển. Tích phân Itô ítưực xây dựng dựa vào chuyển động Brown. Do hầu chắc chắn quĩ (lạo của chuyển động Brown C-Ó biến phân không bị chặn trên mọi (ĩoạn hữu hạn nên tích phân ngẫu nhiên Itô khác hắn với tích phân Riemann-Stieltjes của giăi tích cổ (tien.
Sau bài báo nền tăng này của Itô, lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Itô íĩã được nghiên cứu, phát triển incì rộng theo nhiều lu rông khác nhau. Một trong những áp dụng quan trọng nhất của tích phân ngẫu nhiên Itô là dùng rtể phát triển đầy íĩủ một lý thuyết quan trọng: Lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô, viết tắt là PTVPNN.
Lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên Itồ ra đ(íi (tã (lem đến một công cụ chặt chẽ về mặt toán học, (ĩáp ứng cho nhu cầu nghiên cứu các phương trình vi phán C-Ó sự tham gia của nhiễu trắng, mà phư<íng trình Langevin là một tri ròng hợp đặc biệt.
1.3. Trong thực tiễn ứng dụng, có nhiều bài toán, chang hạn mô tả hệ (tộng lực, thiết kế mạch (tiện, lý thuyết (ĩiều khiển, nghiên cứu các hệ C(J học nhiều vật, các phản ứng hóa học .dẫn (ten phải nghiên cứu những hệ phương trình bị “ràng buộc đại số” b('li một số (tiều kiộn nào đấy. TÌY (ló xuất hiện nhu cầu nghiên cứu phương trình vi phân đại số, viết tắt là PTVPDS.
1.4. Thực tế, ngoài các ràng buộc (lại số đặt lên một hệ, thì hệ hoạt động vẫn không thế tránh khỏi bị ánh hưỏng của nhiễu một cách ngẫu nhiên. Vì vậy, dẫn íĩốn nhu cầu nghiên cứu các tác động ngẫu nhiên lên hệ có ràng buộc đại số. Khi mô hình toán học cho hệ vi phân (tại số với nhiễu trắng, dẫn đến nghiên cứu phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô. viết tắt là PTVPDSNN.
Phifdng trình vi phân (tại số ngẫu nhiên Itô (tifc.lc xem như mỏ rộng của phiíiing trình vi phân ngẫu nhiên Itô và phiMng trình vi phân (tại số. Bên cạnh phiícing trình vi phân thi fling (PTYP), thì phitdng trình vi phân (tại số và phitdng trình vi phân ngẫu nhiên [tô (tã lỉitc.lc nghiên CIÍU và thu <tiM( nhiều kết quả, phư<fng trình vi phân (lại số ngẫu nhiên Itô là một lĩnh VƯC 111 lì ì và khó, chưa itiíi.ir nghiên cứu nhiều.
1.5. Mặt khác, lý thuyết (tịnh tính các hệ phư<fng trình vi phân là một trong những hưổng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết phương trình vi phân.
V('li các lý do nêu trên, chúng tôi chọn (tề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: ‘"Nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục (tích chính của luận án là: Dưa ra khái niệm nghiệm và phififng pháp giải phitíing trình vi phân itại số ngẫu nhiên Itồ. Nghiên cứu phổ Lyapunov và tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân (tại số ngẫu nhiên Itô.
3. Đối tượng nghiên cứu
Dối tượng nghiên cứu là phưring trình vi phân (tại số ngẫu nhiên Itô.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung của luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu l<íp pliiííing trình vi phân (tại số ngẫu nhiên Itô tuyến tính chỉ số 1.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phiíiíng pháp nghiên cứu của luận án là nghiên ertu lý thuyết. Chúng tôi sử dụng cốc kỹ thuật của lý thuyết ma trận đưiic Mărz áp dụng cho phiíiing trình vi phân (tại số: phiírtng pháp số mũ Lyapunov cổ điển <tif(.tc phát triển biíi Millionshchikov: lý thuyết dòng ngẫu nhiên hai thiim số phát triến b<ìi Kunita; kết hi.lp v<'ii các phif(tng pháp của lý tlmyết xác suất.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Y nghĩa khoa học: Góp phần làm phc>ng phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về pluíơng trình vi phân (tại số ngẫu nhiên Itô.
Y nghĩa thực tiễn: Ap dụng (tể khảo sát tính ổn (tịnh, ổn (lịnh hóa của
các hệ (tiều khiển ngẫu nhiên.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1 Tổng quan luận án
Xét phiMng trình vi phán dạng
A(t)dx(t) = Ị/(t, x(t))dt + G(t, x(t))dWf, t G J, (2)
trong (tó, J là một (loạn của R+. A 6 C(J. R'lXn), g € cụ X G € CỤ X R", Rnxm) và (Wt)t£j là chuyển động Brown TO—chiều trên không gian xắc suất (fi, T. P)
Doạn 3 có thổ hĩtu hạn hoặc vô hạn. không mất tính tổng quát ta luôn giả sứ J := Ịo.r]. T € p.+ hoặc J := p.+
Ta xét các tritỉlng h(.fp xảy ra (tối vííi hệ số của phiMng trình (2) như sau: Tnứng hợp 1: Ma trận A(t) khôiự suy biến viìi mọi í £ J và G = 0. Khi (tó (2) tri') thành phitcíng trình vi phân thưíìng.
Lý thuyết phưdng trình vi phán thưiìng (tifdc Newton-Lcilmitz xây dưng vào cuối thế kỷ 17, đã (tifde nghiên cứu, phát triển, md rộng theo nhiều hưrtng và thu đưt.ic nhiều kết quả hoàn chinh.
Một trong nhrtng liưdng quan trọng là nghiên cứu (tịnh tính plníiing trình vi phân thưcìng bằng phìtring pháp số mũ Lyapunov, (tưc)c Lyapunov (tita ra năm 1892. Theo hưilng này, lý thuyết phố của phitdng trình vi phân thitl'ing tuyến tính (lược nghiên cứu bc')i Millionshchikov, Demidovich. Bylov, Vinograd, Nemytskii, Erugin, Persidskii .: phổ Lyapunov của hệ động life (hệ động lực sinh b(ìi phitíing trình ôtônôm) (titực nghiên cứu bc')i Oseledets. Sinai. Pesin. Katok (Nga), Young. Bowen (Mỹ). Ruelle, Ledrapier (Pháp), Arnold (Đrte). Johnson (Italy), .
Dối với phương trình vi phân thương tuyến tính, Lyapunov đưa ra khái niệm chính qui Lyapunov và ông đã chứng minh ítưực rằng, một phưiing trình vi phân tuyến tính chính qui Lyapunov sẽ có nhiều tính chất tiệm cận tốt. Perron (tã dựa vào phiMng trình liên h(.)p của phitilng trình vi phân tuyến tính (tể ctita ra một (tịnh nghĩa titling (tưc)ng vcli tính chính qui Lyapunov (xem
[76]).
Việt nam, phương phấp số mũ Lyapunov cũng (tược nhiều nhà toán học sử dụng (ĩé nghiên cứu các bài toán khác nhau và thu (lược nhiều kết quá C-Ó ý nghĩa, chang hạn như công trình nghiên cứu của Trịnh Tuấn Anh, Nguyễn Dinh Công, Nguyễn Hữu Dư, Hoàng Hữu Đitòng, Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Vũ Tuấn, .
Tmỉờng h.Ợp 2: Ma trận A{t) không suy biến vdi mọi t G J. Khi đó (2) là phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô.
Đe cho ít<ln giản ta xem A(t) là ma trận (ĩ(ín vị. Phưííng trình (2) (tược hiểu là phưiíng trình tích phân

trong (tó x(0) là Rn—biến ngíẫu nhiên, (tộc lặp vdi (Wị). Do hầu chắc chắn quĩ đạo của chuyển (tộng Brown có biến phân không bị chặn trên mọi (toạn hữu hạn, nên tích phán thứ hai trong (3) không phân tích <tư«Jc Iihư tích phân Riemann-Stieltjes của giải tích cổ (tiển mà là tích phân Itô (tích phân thứ nhất là tích phân Riemann).
Phiídng trình vi phân ngẫu nhiên Itô có nhiều áp dụng quan trọng trong lý thuyết lọc. lý thuyết (tiều khiển, toán tài chính, vật lý ., chẳng hạn. Lý thuyết Black-Scholes trong toán tài chính, mô hình này íĩã (ìược sử dụng rất thành công trong việc (tánh giá quyền chọn mua trên các thị tnròng tài chính. Nh('l mô hình này mà Robert c. Merton và Myron Scholes (tã (tạt giải Nobel kinh tế năm 1997.
Phư<Jng trình vi phân ngẫu nhiên Itô ítã (tược nhiều nhà toán học nghiên cứu (xem [9, 40, 42, 51, 52, 59] .). Các phưiỉng pháp giải quyết bài toán ổn (tịnh của Lyapunov (tã thu (tư«tc nhiều kết quả, (tặc biệt là phiíiỉng trình ôtônôm (xem Khasminskii [53], Kunita [52]). Dối với phưiing trình vi phân ngẫu nhiên Itô, phưcỉng phấp nghiên cứu số mũ Lyapunov còn hạn chế lum so với phương pháp hàm Lyapunov. Lý thuyết số mũ Lyapunov khi áp dụng vào lý thuyết ergodic dẫn t(ìi một lĩnh vực nghiên cứu hoàn toàn m<íi: Lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên (xem Arnold [10]. Nguyễn Dìnli Công [22]). 
Lý thuyết số mũ Lyapunov của phưdng trình vi phân ngẫu nhiên Itô không ôtônổm mổi phát triến trong tlnM gian gần (tây (xem Nguyễn Dinh Công [27, 28, 29, 32, 33]). Dối Vtíi phưring trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính khổng ôtônôm, ta không áp dụng được lý thuyết của hệ (tộng lực ngẫu nhiên. Trong tri rông h(jp này, Nguyễn Đình Công [29] (ĩã dựa vào lý thuyết số mũ Lyapunov cổ cìiển phát triển b<ìi Millionshchikov [60, 61, 62] và lý thuyết dòng ngẫu nhiên hai tham số phát triển bỏi Kunita [52] (tể xây dựng lý thuyết pho Lyapunov.
TmCcỉng hợp 3: Ma trận A(t) suy biến với mọi t G J và G = 0. Khi (tó (2) trỏ thành phương trình vi phân (tại số.
Tong quát htín, xét phương trình vi phân ấn
F(x,(t), x(t), t) = 0, t € J. (4)
Nếu jjp- không suy biến thì ta có thể giải (4) (ít nhất là về mặt. lý thuyết) theo xf và thu (tược phiMng trình vi phân thiròng. Tuy nhiên, nếu biến thì (tiều trên là không thế và nghiệm phải thỏa mãn các ràng buộc (tại số nào (tó, khi (tó ta nói (4) là phương trình vi phân đại số.
Phưdng trình vi phân (ĩại số là lớp phưdng trình có ý nghĩa ứng dụng thực tế cao, xuất hiện trong lý thuyết íìiều khiến, mô phỏng mạch (tiện, phan ứng hóa học, hệ C<1 học nhiều vật .(xem [18]) và là m(ì rộng thực sự lớp phương trình vi phân thitòng (xem [GG]). Phưdng trình vi phân đại số (tược nghiên cứu từ những năm 70 của thế kỷ 20. Dóng góp (táng kể nhất về lĩnh vực này là nhổm các nhà toán học ồ tritòng Dại học Humboldt. - Berlin - Dức (xem [13, 17, 18, 19, 46. 47, 54] .) và nhóm các nhà toán học Nga (xem [77]).
Trong các công trình nghiên cứu về phư<lng trình vi phân đại số thì các công trình nghiên cứu về phưdng trình vi phân (tại số tuyến tính là thu (tược nhiều kết quả. Phiíiỉng trình vi phân (tại số tuyến tính thu (tược khi tuyến tính hóa phương trình dạng ẩn không tuyến tính dọc theo một nghiệm cụ thể (xem [19]).
Không giống như phương trình vi phân tlnrông, (tối với phưdng trình vi phân (tại số, các ràng buộc cìại số xác (tịnh một (ta tạp và điều kiện ban (tầu
phải chọn sao cho thỏa mãn các ràng buộc này. Dây là những khổ khăn líín khi nghiển cứu phưiíng trình vi phân đại số. Những khó khăn này thiròng (ĩưực (tặc- trưng b<ìi một trong nhiều khái niệm chí số. Nói một cách nôm na thì chỉ số là số <to íìộ lệch giữa phưíing trình vi phân (tại số và phưiíng trình vi phân thường, (ĩo íìộ phức tạp của phương trình vi phân cĩại số. Có nhiều khái niệm chí số (tược rìiía ra (tể nghiên cứu phương trình vi phân đại số, (tó là chỉ số Kronecker, chi số vi phân, chỉ số nhiễu, chí số mềm, chí số hình học, chỉ số lạ (xem [17, 47, 48, 54, 68]). Các khái niệm chỉ số này là (tồng nhất trên một l<íp phưcỉng trình vi phân cĩại số nào (ĩó. PhifcJng trình vi phân (tại số có chí số cao có thể dùng phưcỉng pháp hạ chỉ số íĩể cĩưa về phương trình có chỉ số thấp hơn. Vì thế các hiróng nghiên cứu phưíing trình vi phân (tại số chủ yếu tập trung vào nghiên cứu phiMng trình có chỉ số 1 và 2.
Dối v«ìi phưiíng trình vi phân đại số, cách tiếp cận là phân rã nó về một phương trình vi phân till rông thỏa mãn trên một (ta tạp (ĩại số và nghiên cứu nó dựa vào phương trình vi phân thiròng titling ứng (tó. Theo cách tiếp cận này, hầu hết các khái niệm cổ (ĩiển của lý thuyết định tính pluMiig trình vi phân thitòng phải thay <tối khi áp dụng vào phiMng trình vi phân (lại số. Cho t/JÌ nay, các kết quả thu íìược về lý thuyết (ĩịnh tính và giải số phương trình vi phân (tại số là khá hoàn chính, (tặc biệt là l<íp phương trình có chí số thấp. Chẵng hạn, các kết quả về nghiệm [13, 41, 46, 47], về tính ổn (tịnh, tiêu chuẩn ổn định [46, 47, 72, 70, 38]. lý thuyết Floquet [55], bán kính ổn (tịnh [21, 38, 39]. phiíiíng trình vi phân (tại số liên hợp [15, 16, 14]: bài toán biên (la điểm [8], tính nhị phân [56], lý thuyết Lyapunov, tính chính qui Lyapunov, số mũ Bohl ([30, 31, 58, 71, 73]), các kết quả về giải số ([12, 17, 54, 68] .) và nhiều kết quả khác nữa.
(ỉ Việt nam phưcỉng trình vi phân đại số (ÌƯ(.1C nghiên cứu từ những nam 90 của thế kỷ 20 và (ĩã có nhiều (tóng góp (ĩáng ke trong lĩnh vực này, (ĩó là các công trình của Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đình Công, Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh, Vũ Tuấn .(xem [8; 21, 30, 31, 38, 39, -58, 73] .).
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt:
[1] Nguyễn Dinh Công (1999). Tong quan về lý thuyết số mũ Lyapunov, Bài giảng cho học viên cao học của Viện Toán học.
[2] Nguyễn Dinh Công (2002), Lý thuyết hệ động lực, NXB Dại học Quốc giĩi Htt nội.
[3] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên và phĩtrtng trình vi phẫn ngẫu nhiên. NXB Khoa học và Kỹ thuật.
[4] Đặng Hùng Thắng (2007), Tinh toán ngẫu nhiên, NXB Quốc gia Hà nội.
[5] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xấc suất và ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Quốc gia Hà nội.
[C] Vũ Tuấn (2002), Tổng quan về PTVPĐS, Thông báo khoa học của cấc trường Dại học, Toán-Tin học, Bộ Giáo dục và Dào tạo, trang 7-13.
Tiếng nước ngoài:
[7] A. Alabert and M. Ferrante (2006). Linear stochastic differential- algebraic equations with constant coefficients, Electronic Commu-nications in Probability, 11, pp. 316-335.
[8] Pham Ky Anh (1997), Multipoint boundary-value problems for transferable diđerential-algebraie equa- tions, I-Linear case, Vietnam Journal of Mathematics, 25, pp. 347-358.
[9] L. Arnold (1974), Stochastic Differential Equations. Wiley. New York.
[10] L. Arnold (1998), Random Dynamical Systems. Springer-Verlag, Berlin.
[11] L. Arnold and M. Schcutzow (1995), Perfec t cocycles through stochas¬tic differential equations, Probab. Th. Rel. Fields, 101, pp. G5-88.
[12] u. M. Ascher and L R. Petzold (1998), Computer Methods for Ordi¬nary Differential Equations and Differential- Algebraic Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadel¬phia. PA.
[13] K. Balia (1996). Linear subspaces for linear DAEs of index 1. Com-puters k Mathematics with Applications. Vol. 31. Issues 4-5. pp. 81-86.
[14] K. Balia and Vu Hoang Linh (2005). Adjoint pairs of differential- algebraic equations and Hamiltonian systems. Appl. Numer. Math, 53. pp. 131-148.
[15] K. Balia, R. Marz (2000), Linear differential algebraic equations of index 1 and their adjoint equations, Results Math. 37. No.1-2. pp. 13-35.
[16] K. Balia, R. Marz (2002). An unified approach to linear differential algebraic equations and their adjoints, z. Anal. Anwendungen, 21, No.3, pp. 783-802.
[17] K. E Brenan, s. L. Campbell, L R. Petzold (1989), Numerical so¬lution of initial-value problems in differential-algebraic equations, North-Holland, New York.
[18] S. L. Campbell (1980). Singular Systems of Differential Equations, Pitman, London.
[19] S. L. Campbell (1995). Linearization of DAE's along trajectories, z. Angew. Math. Phys, 46. pp. 70-84.
[20] o. Chein. G. Dcnk (1998). Numerical solution of stochastic differential algebraic equatic )11S with applications t<) transient noise simulation of microelectronic circuit, J. Comput. Appl. Math. 100, pp. 77-92.
[21] c .] Chyan, Nguyen Huu Du and Vu Hoang Linh (2008). ()n data- dependcnce of exponential stability and the stability radii for lin-ear time-varying differential-algebraic systems. J. Differential Equa-tions. 245. pp. 2078-2102.
[22] Nguyen Dinh Cong (1997). Topological dynamics of random dy¬namical systems, Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press. New York.
[23] Nguyen Dinh Cong (1988). Stochastic stability test for the highest Lyapunov exponent, Mat Zametki, No.l. (82-97): English transl. in Math, Notes, 43. No.l. pp.49-57.
[24] Nguyen Dinh Cong (1990). On central and auxiliary exponets of linear systems with coefficients perturbed by a white noise, Diffrentsial’nye Uravneniya, 26. No.3, 420-427. English trails), in Differential equa¬tion, 26. No.3, pp. 307-313.
[25] Nguyen Dinh Cong (1990). On Lyapunov exponents and central ex¬ponents of linear systems of differential equations with almost pe¬riodic coefficients under random perturbation. Acta Mathematica Vietnamica. 15. No.l. pp. 69-73.
[26] Nguyen Dilih Cong (1991). Lyapunov exponents and central expo-nents of systems with weakly varying coefficients under .small random perturbation, Differensial'nye Uravneniya, 27. No.10, pp. 1712- 1720. (in Russian).