Thạc Sĩ Nghiên cứu Didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy học toán ở trung học cơ sở

Đề tài: Nghiên cứu Didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy học toán ở trung học cơ sở
MỞ ĐẦU
II. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Chúng tôi xin được bắt đầu bằng một bài toán hình học trong sách giáo khoa
Toán lớp 8 như sau:
“Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Tìm điều
kiện của ABCD để tứ giác MNPQ là:
a/ hình chữ nhật
b/ hình thoi
c/ hình vuông
Chúng tôi ghi nhận được lời giải của một số học sinh lớp 8 sau đây:
“Nếu tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (sau khi đã chứng minh được MNPQ là
hình bình hành) thì MN  MQ
Mà MN// AC
Mà MQ// BD
Nên AC BD
Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì hai đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau.”
Lí luận tương tự, các em cũng kết luận rằng:
“Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi thì hai đường chéo AC và BD bằng nhau”.
“ Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo AC và BD vừa bằng
nhau vừa vuông góc với nhau”.
Như vậy, trong lời giải thật ra các em mới tìm được một điều kiện cần trong
khi yêu cầu của bài toán là phải tìm điều kiện cần và đủ. Nói cách khác, học
sinh chỉ mới đưa ra được một điều kiện để MNPQ là hình chữ nhật (tương
ứng hình thoi, hình vuông) mà chưa chứng minh được rằng ngoài điều kiện đã nêu, bài toán không còn điều kiện nào khác. Vì vậy, học sinh đã nêu ra một
lời giải đúng về mặt kết quả nhưng sai lầm về mặt lập luận.
Từ những ghi nhận ban đầu đó, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra các câu
hỏi sau đây:
- Phép kéo theo và phép tương đương được sách giáo khoa đưa vào ở
thời điểm nào, bằng cách nào, và nhằm mục đích gì?
- Quan hệ giữa phép kéo theo và phép tương đương được thể hiện như
thế nào trong sách giáo khoa?
- Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng thế nào đến việc tiếp
thu của học sinh? Tri thức này được học sinh vận dụng như thế nào?
- Có những qui tắc nào của hợp đồng didactic về phép kéo theo và phép
tương đương đã ảnh hưởng sâu sắc đến việc dạy và học khái niệm này? Nó có
tạo những khó khăn cho học sinh khi vận dụng chúng để giải các bài tập cụ
thể hay không? Ứng xử của giáo viên trước những “sai lầm” về mặt lôgic như
đã nêu trong phần trên?
III. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Để tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu
của mình trong lí thuyết didactic toán, cụ thể là :
 Lí thuyết nhân chủng học didactic
 mối quan hệ thể chế , cách tiếp cận sinh thái
 mối quan hệ cá nhân
 các tổ chức toán học
 Khái niệm hợp đồng didactic
IV.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu vừa lựa chọn, chúng tôi
trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm phép kéo theo, phép
tương đương có thể được phân tích và tổng hợp từ các công trình nghiên cứu
đã có? Những kiểu tình huống, những kiểu bài toán nào làm cho phép kéo
theo, phép tương đương được xuất hiện? Những đối tượng toán học nào có
ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển khái niệm này?
Q2: Khái niệm phép kéo theo, phép tương đương được trình bày như thế nào
trong chương trình và sách giáo khoa Toán lớp 7 nói riêng và các lớp ở trung
học cơ sở nói chung? Những dạng bài tập nào được sách giáo khoa, sách bài
tập ưu tiên đưa ra trong hệ thống bài tập mà ở đó phép kéo theo, phép tương
đương có khả năng vận hành tốt nhất?
Q3: Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái
niệm này của học sinh? Đâu là những chướng ngại của học sinh khi học khái
niệm này?
Q4: Những qui tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên
và học sinh trong quá trình dạy- học khái niệm này?
V. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài này là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã
nêu ra ở trên.
Để làm được điều đó, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau đây:
- Phân tích, tổng hợp các tài liệu hoặc các công trình đã được công bố
về lịch sử toán học hay về khoa học luận để làm rõ nghĩa của phép
kéo theo, phép tương đương. Kết quả này sẽ là câu trả lời cho câu hỏi
Q1 và là cơ sở tham chiếu cho mối quan hệ thể chế nghiên cứu ở
phần sau. - Phân tích chương trình và sách giáo khoa Việt Nam có so sánh, đối
chiếu với sách giáo khoa của Pháp. Đồng thời tiến hành phân tích các
tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm phép kéo theo, phép
tương đương để làm rõ các câu hỏi Q2, Q3, Q4. Từ đó, có thể đưa ra
các giả thuyết nghiên cứu.
- Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về tính thỏa đáng của các
giả thuyết nghiên cứu nêu ra ở trên và làm rõ ảnh hưởng của mối
quan hệ thể chế của khái niệm này lên mối quan hệ cá nhân của học
sinh.
VI. Tổ chức của luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm có bốn chương:
- Mở đầu: những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
- Chương 1: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo
theo, phép tương đương.
- Chương 2: Nghiên cứu khoa học luận về các khái niệm phép kéo
theo, phép tương đương.
- Chương 3: Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo, phép tương
đương trong việc giải một số bài toán hình học tiêu biểu và trong việc
giải các phương trình có chứa căn, các phương trình có chứa ẩn ở
mẫu và các bài toán có tham số.
- Chương 4: Thực nghiệm để kiểm tra rính thỏa đáng của các giả
thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên.
- Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3, 4 và
nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn .
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cám ơn
Danh mục các bảng
Mở đầu 1
Chương 1: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC KHÁI
NIỆM PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG
1.1. Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán trung
học cơ sở 5
1.1.1: Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán
lớp 7 5
1.1.2: Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán
lớp 8 7
1.1.3: Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán
lớp 9 9
1.2. Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa Toán Việt Nam
.10
1.2.1: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán
lớp 7 .10
1.2.2: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán
lớp 8 19
1.2.3: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán
lớp 9 28
1.3 Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa Toán Pháp
32
1.3.1: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán
Pháp lớp 7 33
1.3.2: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán
Pháp lớp 8 37
1.3.3: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán
Pháp lớp 9 .42
1.4 Kết luận 44
Chương 2: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP KÉO THEO VÀ
PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG
2.1: Vài nét lịch sử về phép kéo theo và phép tương đương 47
2.1.1: Giai đoạn 1: Trước thế kỷ XIX .47
2.1.2: Giai đoạn 2: Sau thế kỷ XIX 50 2.2: Đặc trưng của khái niệm phép kéo theo và phép tương đương trong phạm vi
toán ở bậc đại học 55
2.2.1: Mệnh đề với Phép kéo theo và Phép tương đương .55
2.2.2.: Suy luận diển dịch 57
2.2.2.a: Phép suy diễn từ một tiền đề .57
2.2.2.b: Phép suy diễn từ nhiều tiền đề và quy tắc suy diễn 57
2.2.2.c: Những suy luận không hợp logich thường gặp 58
2.2.2.d: Suy luận hợp logich va chứng minh .59
2.3: kết luận .60
Chương 3: NGHIÊN CỨU SỰ VẬN HÀNH CỦA PHÉP KÉO THEO VÀ
PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIÊU
BIỂU Ở THCS
3.1: Các bài toán hình học tiêu biểu 63
3.2: Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới mẫu thức , phương trình chứa
ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai .67
3.2.1: Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới mẫu thức .67
3.2.2.:Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối
.69
3.2.3: Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai 71
3.3: Kết luận 73
Chương 4: THỰC NGHIỆM
4.1. Mục đích thực nghiệm .76
4.2. Đối tượng, hình thức thực nghiệm .76
Thực nghiệm 1
4.3. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 76
4.3.1. Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm .76
4.3.2. Phân tích các câu hỏi thực nghiệm 78
4.3.3. Phân tích các chiến lược và cái có thể quan sát .79
4.4. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm .83
4.4.1. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 1 83
4.4.2. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 2 84
4.4.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3 86
4.4.4. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 4 . 87
Thực nghiệm 2
4.5. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 88
4.5.1. Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm .88
4.5.2. Phân tích các câu hỏi thực nghiệm 91
4.5.3. Phân tích các chiến lược và cái có thể quan sát .92
4.6. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm .95
4.6.1. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 1 .95
4.6.2. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 2 .96
4.6.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3 97 4.6.4. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 4 . 99
4.7. Kết luận về thực nghiệm .100
KẾT LUẬN 102
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC