Thạc Sĩ Nghiệm giải tích và nghiệm xấp xỉ của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

Mở đầu
Trên thực tế nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô
hình hóa tóan học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương
trình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là
phương trình song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút sự
quan tâm rất lớn của rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư và nhà toán học. Trong
vòng 3 thập niên qua nhiều phương pháp mới hữu hiệu giải phương trình
trên đã được nghiên cứu và phát triển. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ
của máy tính điện tử, các phương pháp số đã trở thành công cụ đắc lực
để giải quyết các bài toán kỹ thuật tuy nhiên vẫn có không ít tác giả đã
sử dụng phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp bình phương
cực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản để giải lớp phương trình song điều
hòa.Ngoài những phương pháp trên một số tác giả còn sử dụng phương
pháp lặp để giải phương trình song điều hòa và phương pháp này cũng là
phương pháp đáng lưu ý và cần nghiên cứu.
Nội dung chính của luận văn là trình bày các kết quả về lý thuyết và
thực nghiệm tính toán của phương pháp tìm nghiệm cho một số bài toán
biên đối với phương trình song điều hòa nhờ công cụ hỗ trợ là toán tử biên
và sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung,phần kết luận và
tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết quả bổ
trợ: một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, tổng quan ngắn về
bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng cấp hai và cấp bốn, định
tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai và phương trình
kiểu song điều hòa, phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán tử, sự
hội tụ của sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải số bài
toán biên của phương trình elliptic cấp hai trên miền hình chữ nhật.
2Chương 2: Trình bày một phương pháp tìm nghiệm giải tích giải bài
toán biên đối với phương trình song điều hòa gồm đề xuất phương pháp
và các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp cho mô hình toán của
một bài toán Vật lý: mô tả sự uốn của bản mỏng với biên bị ngàm đàn
hồi.
Chương 3: Trình bày tóm tắt những kết quả nghiên cứu về việc giải lặp
tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòa
nhờ việc sủ dụng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev. Một số thực
nghiệm trên máy tính điện tử.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa hoc – Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Lê Tùng Sơn – Đại học Sư
phạm – Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc về sự tận tâm và sự nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tôi
thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-
Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và quý thầy cô tham
gia giảng dạy lớp cao học Toán khóa 6 (2012-2014) đã quan tâm giúp đỡ
và mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong suốt thời gian học tập
tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng công nghệ
và kinh tế công nghiệp, các đồng nghiệp trường Cao đẳng công nghệ và
kinh tế công nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn thành
khóa học này.
Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập
hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ
đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi
sai sót rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận
văn hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 11 tháng 10 năm 2014.
Người thực hiện
Trần Thị Hải
3Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Các kiến thức trình bày trong chương này để sử dụng trong các chương
sau được tham khảo từ các tài liệu [2], [3], [4], [8], [14], [16].
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1 Không gian W 1,p
Định nghĩa 1.1. Cho Ω là một miền giới nội trong R n , p ∈ R, 1 ≤ p ≤
+∞, ta định nghĩa
L
p
(Ω) =



f : Ω → R|f;
Z
Ω
|f(x)|
p
dx < +∞



.
L
∞
(Ω) = {f : Ω → R|f; ∃C ∈ R
∗
+
: |f(x)| < C, ∀x ∈ Ω} .
L
p
loc
(Ω) =  f : Ω → R|f ∈ L
p
(U), ∀U : U ⊂ Ω .
Định lý 1.2. Cho p ∈ R, 1 ≤ p ≤ +∞, L p (Ω) là một không gian Banach
với chuẩn
kfk
L p (Ω)
=






R
Ω
|f(x)|
p
dx

1
p
, p < +∞
inf{C, |f(x)| ≤ C, x ∈ Ω}, p = +∞
Với p = 2, L 2 (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
(f, g) =
Z
Ω
f(x)g(x)dx
.
4Định lý 1.3. Không gian L 2 (Ω) là tách được với 1 ≤ p < +∞, lồi đều
với 1 < p < +∞.
Bất đẳng thức Holder Cho 1 ≤ p ≤ +∞, p
0
là số liên hợp của số p,
nghĩa là
1
p0
= 1 ư
1
p
, 1 < p < +∞,
p
0
= 1, p
0
= +∞,
p
0
= +∞, p = 1.
Khi đó
R
Ω
|f(x)g(x)| dx ≤ kfk
L p (Ω)
.kgk
L p
0
(Ω)
, ∀f ∈ L p (Ω), g ∈ L p
0
(Ω).
Với p = 2 ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwartz.
Hệ quả 1.1. Với 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞ thì L q (Ω) ⊂ L p (Ω) và kfk
L p (Ω)
≤
Ckfk
L q (Ω)
, trong đó hằng số C phụ thuộc vào p, q.
Định lý 1.4. Cho 1 ≤ p ≤ +∞ và p
0
là số liên hợp với p, f ∈ [L p (Ω)]
∗
,
khi đó tồn tại duy nhất g ∈ L p
0
(Ω) sao cho
(f, ϕ)
[L p (Ω)]
∗
,L p (Ω)
=
Z
Ω
g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ L
p
(Ω),
hơn nữa kgk
L p
0
(Ω)
= kfk
[L p (Ω)]
∗ .
1.1.2 Đạo hàm suy rộng và không gian W m,p (Ω)
Cho Ω là một miền giới nội trong R n
, (n = 1, 2, .), kí hiệu
D
α
=
∂ α 1 +α 2 + .+α n
∂x
α 1
1
∂x
α 2
2
.∂x
α n
n
, α = (α 1 , α 2 , ., α n )
là đa chỉ số với các thành phần α i là các số nguyên không âm, |α| =
α 1 + α 2 + . + α n , p ≥ 1, f ∈ L p (U) với mọi tập con mở U ⊂ Ω, U ⊂ Ω
và C
∞
0
(Ω) là tập các hàm f khả vi vô hạn lần trên Ω sao cho suppf ⊂ Ω,
trong đó suppf là giá trị của hàm f.
Cho u, ω ∈ L 1
loc
(Ω) thì ω được gọi là đạo hàm suy rộng của u bậc α
nếu
Z
Ω
uD
α
ϕdx = (ư1)
|α|
Z
Ω
ωϕdx, ϕ ∈ C
∞
(Ω).
Kí hiệu ω = D α u.
5Định nghĩa 1.5. Không gian Sobolev W m,p (Ω), trong đó m là một số
nguyên dương, được xác định bởi
W
m,p
(Ω) = {u| u ∈ L
p
(Ω), D
α
u ∈ L
p
(Ω), ∀α, |α| ≤ m} ,
với m = 0, đặt W 0,p (Ω) = L p (Ω), với p = 2, kí hiệu W m,2 (Ω) = H m (Ω).
Định lý 1.6. Không gian W m,p (Ω) là không gian Banach tương ứng với
chuẩn
kfk
W m,p (Ω)
=


X
|α|≤m
kD
α
fk
p
L p (Ω)


1
p
, 1 ≤ p < +∞.
Không gian H m (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
(f, g)
H m (Ω)
=
X
|α|≤m
(D
α
f, D
α
g)
L 2 (Ω)
, ∀f, g ∈ H
m
(Ω).
Định lý 1.7. Định lý Nhúng (The Sobolev imbedding Theorem). Cho Ω
là một miền giới nội trong R n
có biên khả vi lớp C 1
. Khi đó
a) Nếu n ≥ 3 thì H 1 (Ω) ⊂ L q (Ω), q ∈
h
1,
2n
nư2
i
,
b) Nếu n = 2 thì H 1 (Ω) ⊂ L q (Ω), q ≥ 1,
c) H m (Ω) ⊂ C
[mư n
2
ưε]
(Ω), ε > 0,
trong đó các toán tử nhúng trong a), b), c) là compact.
Hệ quả 2.1. Với m 1 > m > 0, ta có
H
m 1 (Ω) ⊂ H
m
(Ω) ⊂ L
2
(Ω) = H
0
(Ω).
Định lý 1.8. Định lý về tính trù mật. Cho 1 ≤ p < +∞, D (R n ) là tập
các hàm có giá compact trong R n
khi đó D (R n ) trù mật trong W 1,p (R n ),
hơn nữa nếu ∂Ω là liên tục Lipschitz thì D(Ω) trù mật trong W 1,p (Ω).
Định lý 1.9. Định lý về sự thác triển. Giả sử ∂Ω là liên tục Lipschitz,
khi đó tồn tại một toán tử thác triển tuyến tính liên tục P từ H 1 (Ω) vào
H 1 (R n ) thỏa mãn
i) P u = u trên Ω,
ii) kP u k
L 2 (R n )
≤ Ckuk
L 2 (Ω)
iii) kP u k
H 1 (R n )
≤ Ckuk
H 1 (Ω)
61.1.3 Không gian H s (Ω), s ∈ R
Trong mục này, ta đưa định nghĩa các không gian H s (Ω) với s không
nguyên. Xét không gian
S(R
n
) =  u ∈ C
∞
(R
n
)| ∀α, β > 0,

x
α
D
β
u

≤ C α,β
,
trong đó x = (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ R n
, x α = x
α 1
1
x
α 2
2
.x α n
n
. Trong S(R n ) xét
chuẩn sau
kuk
2
S(R n )
=
Z
R n
(1 + |ξ|
2
)
s |
b
u(ξ)|
2
dξ, (1.1)
b
u là biến đổi Fourier của u tại điểm ξ,
b
u(ξ) = (2π)
ư n
2
Z
R n
e
ưi(x,ξ)
u(x)dx.
Định nghĩa 1.10. Không gian Sobolev H s (R n ) với s ∈ R được xác định
bởi
H
s
(R
n
) = S(R n ),
trong đó bao đóng được lấy theo chuẩn (1.1).
Định nghĩa 1.11. Không gian Sobolev H s
0
(Ω), trong đó Ω là một miền
giới nội nào đó trong R n
được xác định bởi
H
s
0
(Ω) = C
∞
0
(Ω),
trong đó C
∞
0
(Ω) là tập các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact trên Ω
và bao đóng được lấy theo chuẩn (1.1).
Định nghĩa 1.12. Không gian Sobolev H s (Ω) với s không nguyên được
xác định bởi
H
s
(Ω) = {uk ∃
e
u ∈ H
s
(R
n
),
e
u|
Ω
= u, (
e
u, ϕ) = (u, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω)} ,
trong đó
kuk
H s (Ω)
= inf
e
u|
Ω
=u
k
e
uk
H s (R n )
.
71.1.4 Vết của hàm trên biên
Định lý 1.13. Định lý vết. Giả sử Ω là một miền mở trong R n
có biên
∂Ω là liên tục Lipschitz, khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
liên tục
λ : H
1
(Ω) → L
2
(∂Ω)
sao cho với bất kỳ u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ta có γ(u) = u|
∂Ω
.
Hàm γ(u) được gọi là Vết của u trên ∂Ω.
Định lý 1.14. Giả sử ∂Ω là liên tục Lipschitz, khi đó
i) H
1
2 (∂Ω) là một không gian Banach với chuẩn
kuk
2
H
1
2 (∂Ω)
=
Z
∂Ω
|u(x)|
2
ds x +
Z
∂Ω
Z
∂Ω
|u(x) ư u(y)|
2
|x ư y|
ds x ds y .
ii) Tồn tại một hằng số C γ (Ω) được gọi là hằng số của Vết.
iii) Nhúng H
1
2 (∂Ω) ⊂ L 2 (∂Ω) là compact
iv) Tập {u|
∂Ω
, u ∈ C
∞
(R n )} trù mật trong H
1
2 (∂Ω).
v) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H
1
2 (∂Ω) → u g ∈ H
1
(Ω),
với γ(u g ) = g và tồn tại hằng số C 1 (Ω) chỉ phụ thuộc vào miền Ω sao cho
ku g k
H 1 (Ω)
≤ C 1 (Ω)kgk
H
1
2 (∂Ω)
, ∀g ∈ H
1
2 (∂Ω).
Công thức Green. Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, cho u, v ∈ H 1 (Ω),
khi đó:
Z
Ω
u
∂v
∂x i
dx = ư
Z
Ω
v
∂u
∂x i
dx +
Z
∂Ω
γ(u)γ(v)n i ds,
với 1 ≤ i ≤ N, trong đó n = (n 1 , n 2 , ., n N ) là véctơ pháp tuyến ngoài
của Ω.
Bất đẳng thức Poincare. Tồn tại một hằng số C Ω sao cho
kuk
L 2 (Ω)
≤ C(Ω)k∇uk
L 2 (Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω)
trong đó , ∇u =

∂u
∂x 1
,
∂u
∂x 2
, .,
∂u
∂x n

, C Ω là hằng số phụ thuộc vào đường
kính của Ω, được gọi là hằng số Poincare và
H
1
0
(Ω) = {u|u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0},
8Bất đẳng thức Poincare có nghĩa: kuk = k∇uk
L 2 (Ω)
là một chuẩn trên
H 1
0
(Ω) tương đương với chuẩn của H 1 (Ω) đã được xác định.
1.1.5 Không gian H
ư1 (Ω) và H
ư 1
2 (∂Ω)
Định nghĩa 1.15. Ta kí hiệu H
ư1 (Ω) là một không gian Banach được xác
định bởi H
ư1 (Ω) = H 1
0
(Ω)

0
với chuẩn
kFk
Hư1 (Ω)
= sup
H 1
0
(Ω)\{0}



hF, ui
Hư1 (Ω),H 1
0
(Ω)



kuk
H 1
0
(Ω)
.
Định lý 1.16. Cho F ∈ H
ư1 (Ω) thì tồn tại (n+1) hàm f 0 , f 1 , ., f n trong
L 2 (Ω) sao cho
F = f 0 +
n
X
i=1
∂f ∂i
∂x i
theo nghĩa phân phối và đồng thời
kFk
2
Hư1 (Ω)
= inf
n
X
i=0
kf i k
2
L 2 (Ω)
,
trong đó infimum lấy trên tất cả các véctơ (f 0 , f 1 , ., f n ) ∈  L 2 (Ω) 
n+1
.
Định nghĩa 1.17. Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, ta kí hiệu H
ư 1
2 (∂Ω) là
một không gian Banach được xác định bởi
H
ư 1
2 (Ω) =

H
ư 1
2 (Ω)

0
với chuẩn tương ứng
kFk
H
ư
1
2 (Ω)
= sup
H
1
2 (∂Ω)\{0}




hF, ui
H
ư
1
2 (Ω),H
1
2
0
(Ω)




kuk
H
1
2 (Ω)
.
91.2 Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương
trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và cấp
bốn
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u(x),
x = (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ Ω ⊂ R n
, trong đó Ω là miền giới nội với biên Γ = ∂Ω
Au =
X
|α|≤2m
a α (x)D
α
u = f(x), (1.2)
trong đó α = (α 1 , ., α 2 ), α j ∈ N, |α| = α 1 + α 2 + . + α n , j = 1, 2, ., n.
D
α
=
∂
|α|
∂
α 1
x 1
∂
α 2
x 2
.∂
α n
x n
,
a α (x), f(x) là hàm cho trước, A là một toán tử vi phân tuyến tính. Với
m = 1, (1.2) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, với m = 2, (1.2) là
phương trình đạo hàm riêng cấp 4.
Giả thiết nghiệm của (1.2) được xét trong Ω ⊂ R n
. Bài toán tìm nghiệm
của (1.2) sao cho trên biên Γ = ∂Ω của Ω, nghiệm u(x) thỏa mãn một số
điều kiện biên sau đây
B j (u)| Γ = g j , j = 0, 1, ., m ư 1 (1.3)
được gọi là bài toán biên (1.1), (1.2).
1.2.1 Định lý Lax-Milgram
(Xem [4]) Giả sử V là không gian Hilbert, dạng song tuyến tính a(., .) :
V × V → R liên tục và V-elliptic theo nghĩa ∃α > 0, ∀υ ∈ V, a(υ, υ) ≥
αkυk
2
và f : V → R là dạng tuyến tính liên tục. Khi đó bài toán biến
phân trừu tượng: tìm u ∈ V sao cho
a(u, υ) = f(υ), ∀υ ∈ V
có nghiệm duy nhất.
101.2.2 Bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai
A. Bài toán Dirichlet
Giả sử A(x) = (a ij (x)) n×n , f ∈ H 1 (Ω) xét bài toán sau, gọi là bài toán
Dirichlet thuần nhất
(
ưdiv(A(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω
(1.4)
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u ∈ H 1
0
(Ω) thỏa mãn
a(u, υ) = hf, υi
H 1 (Ω),H 1
0
(Ω)
, ∀υ ∈ H
1
0
(Ω), (1.5)
trong đó
a(u, υ) =
n
X
i,j=1
Z
Ω
a ij (x)
∂u
∂x i
∂υ
∂x j
dx =
Z
Ω
A∇u∇υdx, ∀u, υ ∈ H
1
(Ω).
Bổ đề 2.1 Giả sử ∂Ω khả vi lớp C 1
. Cho A ∈ (C 1 (Ω)) n×n , f ∈ C 0 (Ω) và
u ∈ C 2 (Ω). Khi đó u là nghiệm của bài toán (1.4) nếu u là nghiệm của
(1.4).
Kí hiệu M(α, β, Ω) là tập hợp các ma trận (a ij (x)) n×n ∈ (L
∞
(Ω)) n×n
với α, β ∈ R, 0 < α < β thỏa mãn
(
(A(x)λ, λ) ≥ α|λ|
2
,
|A(x)λ| ≤ β |λ| ,
trong đó λ ∈ R.
Định lý 1.18. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet thuần nhất).
Giả sử ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với bất kỳ f ∈ H
ư1 (Ω), tồn tại duy
nhất nghiệm u ∈ H 1
0
(Ω) của bài toán (1.5). Hơn nữa
kuk
H 1
0
(Ω)
≤
1
α
kfk
Hư1 (Ω)
trong đó
kuk
H 1
0
(Ω)
= k∇uk
L 2 (Ω)
.
thì nghiệm đó thỏa mãn ước lượng
kuk
H 1
0
(Ω)
≤
C Ω
α
kfk
L 2 (Ω)
,
11trong đó C Ω là hằng số Poincare.
Cho f ∈ H
ư1 (Ω), g ∈ H
1
2 (∂Ω). Xét bài toán sau, gọi là bài toán Dirich-
let không thuần nhất
(
ưdiv(A(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω
u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω
(1.6)
Định lý 1.19. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet không thuần
nhất). Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz và ma trận A ∈ M(α, β, Ω). Cho
f ∈ H
ư1 (Ω), g ∈ H
1
2 (∂Ω) thì bài toán (1.6) tồn tại duy nhất nghiệm
u ∈ H 1 (Ω). Hơn nữa
kuk
H 1 (Ω)
≤ C 1 kfk
Hư1 (Ω)
+ C 2 kgk
H
1
2 (∂Ω)
,
trong đó
C 1 =
1 + C Ω
α
, C 2 =
2(1 + C Ω )
α
βC 1 (Ω)
là hai hằng số dương phụ thuộc vào α, β, Ω.
B. Bài toán Neumann
Cho f ∈ H 1 (Ω)

0
, xét bài toán sau, gọi là bài toán Neumann thuần
nhất
(
ưdiv(A(x)∇u(x)) + u(x) = f(x), x ∈ Ω
∂u(x)
∂υ A
= 0, x ∈ ∂Ω.
trong đó
∂
∂υ A
=
n
P
i,j=1
a ij (x)n i
∂
∂x i
, n = (n 1 , ., n n ) là véctơ pháp tuyến ngoài
tới biên ∂Ω.
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u ∈ H 1 (Ω) thỏa mãn
a(u, υ) = hf, υi
(H 1 (Ω))
0
H 1 (Ω)
, ∀υ ∈ H
1
(Ω), (1.7)
trong đó
a(u, υ) =
Z
Ω
A∇u∇υdx +
Z
Ω
uυdx, ∀u, υ ∈ H
1
(Ω).
Định lý 1.20. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann thuần nhất).
Giả sử ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với bất kỳ f ∈ H 1 (Ω)

0
, tồn tại duy
nhất nghiệm u ∈ H 1 (Ω) của bài toán (1.7). Hơn nữa
kuk
H 1 (Ω)
≤
1
α 0
kfk
(H 1 (Ω))
0 ,
12trong đó α 0 = min{1, α}. Nếu f ∈ L 2 (Ω) thì nghiệm này thỏa mãn ước
lượng
kuk
H 1 (Ω)
≤
1
α 0
kfk
L
2
(Ω)
.
Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, cho f ∈ L 2 (Ω), g ∈ H
1
2 (∂Ω). Xét bài toán
sau, gọi là bài toán Neumann không thuần nhất
(
ưdiv(A(x)∇u(x)) + u(x) = f(x), x ∈ Ω
∂u(x)
∂υ A
= 0, x ∈ ∂Ω.
(1.8)
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm thỏa mãn
a(u, υ) =
Z
Ω
fυdx + hg, υi
H
ư
1
2 (Ω)
H
1
2 (Ω)
, ∀υ ∈ H
1
(Ω), (1.9)
Định lý 1.21. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann không thuần
nhất). Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz và ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với
bất kỳ f ∈ L 2 (Ω), g ∈ H
ư 1
2 (∂Ω), bài toán (1.9) tồn tại duy nhất nghiệm
u ∈ H 1 (Ω) . Hơn nữa
kuk
H 1 (Ω)
≤
1
α 0

kfk
L 2 (Ω)
+ C γ (Ω)kgk
H
ư
1
2 (∂Ω)

,
trong đó α 0 = min{1, α} và C γ (Ω) là hằng số vết.
1.3 Phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán
tử
1.3.1 Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử
Xét phương trình toán tử
Au = f (1.10)
trong đó A là một toán tử tuyến tính, từ không gian Hilbert H vào H, giả
sử A = A
∗
> 0, f ∈ H, Các phương trình lặp nhằm xác định liên tục các
nghiệm xấp xỉ y 1 , y 2 , ., y k+1 của phương trình (1.14) với xấp xỉ ban đầu
y 0 ∈ H. Mỗi xấp xỉ như vậy được xem như là giá trị lặp số lần tương ứng
13k = 1, 2, . Giá trị y k+1 có thể được nhận thông qua các giá trị ở các bước
trước y kư1 , y k . Một phương pháp lặp được gọi là một lớp hay hai lớp tùy
thuộc vào việc một hoặc hai giá trị lặp ở bước trước là cần thiết cho việc
tìm ra giá trị lặp y k+1 ở bước sau.
Một phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước tuyến tính
nếu nó có dạng
B k y k+1 = C k y k + F k , k = 0, 1, ., (1.11)
trong đó, B k , C k là các toán tử tuyến tính từ H vào H, F k ∈ H là một
hàm đã biết ở bước lặp thứ k, y k là giá trị lặp thứ k.
Giả sử tồn tại B
ư1
k
, đưa vào tham số τ k+1 > 0 thỏa mãn các đẳng thức
τ
ư1
k+1
(B k ư C k ) = A, F k = τ k+1 f, k = 0, 1, .,
khi đó dạng chuẩn của sơ đồ lặp hai lớp là
B k
y k+1 ư y k
τ k+1
+ Ay k = f, k = 0, 1, ., (1.12)
với xấp xỉ ban đầu y 0 ∈ H được lựa chọn sao cho phù hợp.
Nếu B k = I là toán tử đơn vị thì (1.16) được gọi là sơ đồ lặp hiện, nếu
B k 6= I thì (1.16) được gọi là sơ đồ lặp ẩn.
Nếu sơ đồ lặp
B
y k+1 ư y k
τ
+ Ay k = f, k = 0, 1, ., (1.13)
trong đó B là toán tử hằng, τ là hằng số thì (1.17) được gọi là sơ đồ lặp
dừng.
1.3.2 Sự hội tụ của các sơ đồ lặp
Định lý 1.22. (Xem [8]) Giả sử A là một toán tử tuyến tính, dương và
hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert H, u là nghiệm của phương
trình (1.14), khi đó ta có các sơ đồ lặp sau
u k+1 ư u k
τ
+ Au k = f, k = 0, 1, ., (1.14)
với 0 < τ <
2
kAk
.
u k+1 ư u k
τ k+1
+ Au k = f, k = 0, 1, ., (1.15)
14