Thạc Sĩ Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập

Đề tài: Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn của mình đối với thầy Tiến Sĩ
Trần Lưu Cường, người đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện.
Tác giả xin chân thành cám ơn Quý Thầy tham gia giảng dạy lớp Cao Học khóa 13, chuyên
ngành Giải tích của Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM, những người đã tận tình truyền đạt kiến
thức cho tác giả.
Tác giả vô cùng biết ơn Quý Thầy Cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm
TPHCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn với gia đình, bạn bè và người thân đã hỗ trợ, động
viên tác giả trong suốt thời gian qua. Chương 1
MỘT SỐ CÔNG CỤ
1.1 Bổ đề Fatou
Nếu f1, f2 , . là dãy hàm không âm, khả tích xác định trên  ,  và thỏa
lim inf fn(x)=f(x) h.k.n, trong đó f là hàm khả tích trên  , , thì .)(inflim)(
 




 dxxfdxxf n
1.2 Định lý hội tụ bị chặn
Nếu f1 , f2 , . là dãy hàm khả tích trên  ,  và tồn tại hàm khả tích F sao cho
  Nn , )x(F)x(fn
 h.k.n
thì f là hàm khả tích và
 
.)()(lim





 dxxfdxxfn
n
1.3 Định lý Fubini
Nếu
 




dxdy)y,x(f hội tụ tuyệt đối thì



dy)y,x(f tồn tại hầu khắp nơi và là hàm khả tích
theo biến x. Hơn nữa
   








 dxdyyxfdyyxfdx .),(),(
Tương tự
.),(),(
   








 dxdyyxfdxyxfdy
1.4 Định lý Tonelli-Hobson Nếu một trong hai tích phân ,),(
 




dyyxfdx
 




dx)y,x(fdy hội tụ tuyệt đối thì
 




dxdy)y,x(f hội tụ tuyệt đối và
 




dxdy)y,x(f =
 




dy)y,x(fdx = .),(
 




dxyxfdy
1.5 Định lý
Nếu f là hàm khả tích trên  R,R ,   0R thì
 

h
0
0h
0dt)x(f)tx(f
h
1
lim h.k.n  x  .
Tập hợp các x thỏa mãn điều kiện trên được gọi là tập Lesbegue của f. Rõ ràng tập Lesbegue
của f chứa các điểm x mà tại đó f liên tục.
1.6 Định nghĩa
Cho  p1   . Hàm f xác định trên  ,  được gọi là thuộc L
p
nếu



dx)x(f 
p
.
Khi đó, ta đặt
.)(
/1 p
p
p
dxxff








1.7 Định lý
Nếu f
p
 L thì .0)()(lim
0




dxxftxf 
p
t
1.8 Định lý
Nếu f, g
p
 L thì
ppp
 gfgf ,
ppp
 gfgf .
1.9 Định lý
Cho f1 , f2
, . thuộc L
p
. Nếu 0fflim mn p
n,m


thì tồn tại f
p
 L sao cho
0fflim n p
n


.
1.10 Định lý
Cho f1, f2
, . thuộc L
p
. Nếu 0fflim n p
n


và n
)x(g)x(flim
n


h.k.n  x   thì f(x) =
g(x) h.k.n  x  .
1.11 Bất đẳng thức Hưlder
Cho
p
f  L và
'p
 Lg với  pp ',1   và 1
'
11

pp
. Khi đó fg
1
 L và
.)()(
pp '
 gfdxxgxf



1.12 Định lý
Cho f, f1, f2, .thuộc L
2
và
2
lim 0
n
n
f f

  thì với g bất kì thuộc L
2
, ta có
lim ( ) ( ) ( ) ( ) . n
n
f x g x dx f x g x dx
 

 

 