Thạc Sĩ Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa
MỞ ĐẦU
1. Tình hình chung về nghiên cứu đề tài
Phương pháp toán tử (Operator Method) với các tính toán thuần đại số xây dựng
cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu sôi động
trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư
Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng và đã ứng dụng thành công cho một
loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán
lý thuyết trường. Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro,
Geryva Silverman, Wistchel và rất nhiều tác giả khác. Nhóm nghiên cứu của TSKH. Lê
Văn Hoàng cũng đã có nhiều đề tài trình bày về phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp
của anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho bài
toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ của chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương
pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều với
cường độ bất kì ” (2008). Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang đựợc giáo viên hướng
dẫn luận văn này đi vào nghiên cứu và phát triển cho các bài toán: hiệu ứng Stark, hiệu
ứng Zeeman, bài toán hệ nhiều hạt
2. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải
chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt
trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển
động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự
nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các
phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng
đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực
tương ứng.
Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng
tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống
kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và
hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không
gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu
Đặc biệt khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, ta chỉ thu được lời giải chính
xác khi điện trường yếu (cường độ điện trường Ee
có giá trị không lớn lắm
(
5
10
V
Ee
cm

 

 

), hoặc điện trường rất lớn (bài toán này có thể giải bằng phương pháp
nhiễu loạn), còn đối với điện trường trung bình thì bài toán vẫn chưa có lời giải.
Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và năng lượng
của dao động tử điều hòa, bài toán này còn có thể được giải rất gọn bằng cách đưa vào các
toán tử và liên hợp với nhau (hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy).
Như vậy, dựa trên hệ cơ sở trực giao đã biết của dao động tử điều hòa, có thể mở
ra phương pháp giải bài toán cho nguyên tử hydro bằng cách biểu diễn thông qua các toán
tử sinh hủy. Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có thể biểu
diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng
thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các
giao hoán tử của các toán tử sinh hủy.
aˆ aˆ

Khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, với phương pháp toán tử và áp dụng
thêm phương pháp nhiễu loạn, ta có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của điện
trường: từ điện trường yếu cho đến điện trường mạnh kể cả trong điện trường trung bình
mà các phương pháp trước chưa giải quyết được.
Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã
chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:
 Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải
tính tích phân của các hàm đặc biệt.
 Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa
 Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền
thay đổi tham số trường ngoài.
Phương pháp này có thể được phát triển để giải quyết nhiều bài toán khác trong cơ học
lượng tử. Tuy vậy trong khuôn khổ cho phép của một luận văn tốt nghiệp và giới hạn về
mặt thời gian nên chúng tôi chỉ xin được trình bày phương pháp toán tử ở mức độ bắt đầu
tìm hiểu và chỉ xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường
theo phương pháp này.
3. Tóm tắt đề tài luận văn
a. Mục tiêu của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới
với mục tiêu cụ thể là:
 Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu
điểm Ứng dụng của phương pháp này trong phương trình Schrodinger.
 Kiểm tra độ tin cậy của phương pháp bằng cách giải lại bài toán nguyên tử
hydro để xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro và so sánh
với lời giải chính xác đã có. Việc tính toán lại bài toán này ngoài tác dụng minh
họa cho phương pháp còn có thể cho thấy khả năng ứng dụng và phát triển
mạnh mẽ của phương pháp.
 Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo
phương pháp toán tử.
b. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp toán tử hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy. Các
toán tử aˆ và aˆ

tác động lên các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử aˆ giảm số phônôn 1
đơn vị hay toán tử hủy phônôn. Toán tử aˆ

tăng số phônôn 1 đơn vị hay toán tử sinh
phônôn. Ngoài ra, ta còn định nghĩa toán tử n a a ˆ ˆ ˆ

 gọi là toán tử trung hòa. Toán tử nˆ
tác dụng lên hàm  qui về việc nhân hàm này với n. Nói một cách khác, toán tử số
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa
phônôn nˆ trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó bằng số phônôn
có trong trạng thái đã cho.
c. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương:
Chương 1: Đại cương về bài toán nguyên tử hydro.
Trình bày các kết quả thu được của bài toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu là
xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Giới thiệu về bài toán nguyên tử
hydro dưới tác dụng của điện trường. Chương này sẽ đóng vai trò cơ sở cho việc so sánh
kết quả của các chương tiếp theo và kiểm tra độ tin cậy của phương pháp toán tử.
Chương 2: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro.
Trong chương này sẽ bày cơ sở của phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược về
phương pháp. Giải lại bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức là biểu
diễn Hamiltonian của nguyên tử hydro theo các toán tử, xác định mức năng lượng cơ bản
của nguyên tử hydro có tính đến bổ chính bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn. Chương 2
tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ chính xác của phương pháp toán tử dựa trên kết
quả đã có theo cách tính toán cổ điển trong chương 1.
Chương 3: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện
trường.
Chương 3 là các kết quả chính của luận văn. Trong chương này sẽ xác định lại mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi có tác dụng của điện trường. Khi cường độ
điện trường nhỏ, có thể coi tương tác giữa điện trường và nguyên tử hydro là nhiễu loạn,
bổ sung thêm phần nhiễu loạn này vào trong Hamiltonian của nguyên tử hydro và tìm lại
các kết quả của chương 2 với Hamiltonian mới trong điện trường. So sánh kết quả tính
toán được theo phương pháp toán tử với kết quả tính toán cổ điển.
Vẽ được đồ thị so sánh kết quả tính toán của hai phương pháp.
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa
Để đơn giản trong việc tính toán nên các công thức trong luận văn sẽ được viết
trong hệ đơn vị không thứ nguyên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử với
m e     1 .
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền