Thạc Sĩ Một vài vấn đề về phương trình Diophantine

Mục lục
Mở đầu 1
1 Giải phương trình Diophantine 3
1.1 Phương trình Diophantine . 3
1.1.1 Vành chính Z 3
1.1.2 Phép chia với dư 4
1.1.3 Khái niệm phương trình Diophantine . 5
1.1.4 Phương trình Diophantine có điều kiện 8
1.1.5 Tổng các số chính phương 11
1.2 Một vài phương pháp giải phương trình Diophantine . 13
1.2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử . 13
1.2.2 Phương pháp đồng dư 15
1.2.3 Phương pháp đánh giá . 16
1.2.4 Phương pháp tham số hóa . 18
1.2.5 Phương trình nghiệm hữu tỷ qua tham số hóa . 21
1.2.6 Chứng minh phương trình nhiều vô hạn nghiệm 26
1.2.7 Công thức tính nghiệm . 28
1.3 Một vài phương trình cổ điển 29
1.3.1 Phương trình Pythagoras 29
1.3.2 Phương trình Mordell 32
1.3.3 Phương trình Pell 34
2 Hệ phương trình Pell 40
2.1 Hệ phương trình Pell 40
2.1.1 Tiêu chuẩn Legendre 40
2.1.2 Hệ phương trình Pell 41
2.2 Phương trình ba hệ số tổ hợp liên tiếp . 42ii
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 461
MỞ ĐẦU
Số học nói chung và Phương trình Diophantine nói riêng là những lĩnh vực
cổ xưa nhất của Toán học, và cũng là lĩnh vực còn tồn tại nhiều những bài
toán, giả thuyết chưa có câu trả lời. Trong suốt quá trình phát triển của Toán
học, phương trình Diophantine luôn thu hút được nhiều người quan tâm nghiên
cứu và tìm hiểu. Chính việc đi tìm lời giải cho các bài toán hay chứng minh các
giả thuyết về phương trình Diophantine đã làm nảy sinh các lý thuyết, phương
pháp khác của Toán học. Các bài toán về phương trình Diophantine không có
quy tắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản. Mỗi
phương trình với dạng riêng của nó đòi hỏi một cách giải đặc trưng phù hợp.
Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy mền dẻo, linh hoạt hơn cho người làm
toán.Chính vì thế, trong hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh giỏi
Toán quốc gia, quốc tế, thi Olympic toán ., các bài toán liên quan đến phương
trình Diophantine cũng hay được đề cập đến và thường là những bài toán khó.
Việc hệ thống một cách tương đối các phương pháp giải phương trình Dio-
phantine và đưa ra các vấn đề mở về phương trình Diophantine là cần thiết
đối với việc giảng dạy và nghiên cứu toán học, đặc biệt là công tác ôn luyện
học sinh giỏi. Với lý do đó, trong luận văn này, tôi trình bày khái niệm phương
trình Diophantine, hệ phương trình Pell và tổng hợp một số phương pháp giải
phương trình và hệ phương trình này.
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia làm hai chương đề cập
đến các vấn đề sau:
Chương 1: Giải phương trình Diophantine.
1.1 Phương trình Diophantine.
1.2 Một vài cách giải phương trình Diophantine.
1.3 Một vài phương trình cổ điển.
Chương 2: Hệ phương trình Pell
2.1 Trình bày Hệ phương trình Pell.2
2.2 Trình bày Phương trình ba hệ số tổ hợp liên tiếp.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS. Đàm
Văn Nhỉ. Tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dành
cho tôi sự hướng dẫn chu đáo, nghiêm túc trong qua trình học tập, nghiên cứu
và thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô khoa Toán trường Đại Học
Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên,các Thầy, Cô tham gia giảng dạy khóa Cao
học 2013 - 2015,Trường THPT Lý Tự Trọng và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ
tạo điều kiện cho tôi hoàn thành bản luận văn này.