Thạc Sĩ Một vài mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland

Mục lục
Mở đầu 4
1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển 6
1.1. Một vài tính chất của hàm nửa liên tục dưới 6
1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển 10
1.2.1. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric 10
1.2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu
hạn chiều . 15
1.3. Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland 17
1.3.1. Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ của
không gian metric . 17
1.3.2. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu 18
2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng
nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke 21
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị 21
2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng
nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke . 27
22.3. Điều kiện đủ để tồn tại cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự
dương của ánh xạ đa trị . 33
Kết luận 38
Tài liệu tham khảo 39
3Lời mở đầu
Một kết quả cổ điển trong giải tích chỉ ra rằng, một hàm f nửa liên
tục dưới trên một tập compact X thì đạt cực tiểu trên tập đó. Nếu bỏ giả
thiết X compact thì kết luận trên có thể không còn đúng nữa.
Năm 1974, I.Ekeland phát biểu một nguyên lý gọi là nguyên lý biến
phân Ekeland chỉ ra rằng nếu hàm f là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới
trong không gian metric đủ ta luôn tìm được một hàm nhiễu của hàm ban
đầu sao cho hàm nhiễu này có cực tiểu toàn cục.
Nếu hàm f là khả vi Gateaux và bị chặn dưới trong không gian Banach
thì đạo hàm của f có thể làm nhỏ tùy ý. Hơn nữa, nếu f thỏa mãn điều
kiện Palais-Smale thì f có cực tiểu.
Nguyên lý biến phân Ekeland mở ra hướng nghiên cứu mới cho toán
học và là một công cụ mạnh được ứng dụng hiệu quả trong các lĩnh vực:
lý thuyết tối ưu, giải tích phi tuyến, giải tích đa trị, . Ngày nay, nguyên
lý vẫn được rất nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và mở rộng
theo nhiều hướng: các ánh xạ đơn trị hoặc đa trị trong không gian lồi địa
phương, trong không gian vectơ, trong không gian Banach .
Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách có hệ thống một số
kết quả liên quan tới nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trong [2], [4],
[10] và một vài mở rộng của nguyên lý này cho ánh xạ đa trị theo [5]. Đối
với ánh xạ đa trị chúng ta sẽ dùng đối đạo hàm Clarke định nghĩa thông
qua nón pháp tuyến Clarke được giới thiệu trong bài báo [8].
4Luận văn gồm 2 chương
Chương 1. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển. Chương này bao
gồm một số kết quả cổ điển của giải tích về các điều kiện để hàm nửa
liên tục dưới đạt cực tiểu, nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển và
một số ứng dụng của nguyên lý này.
Chương 2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng
nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke. Đây là nội dung chính
của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số mở rộng
của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị trong không gian
Banach có sử dụng nón pháp tuyến, đối đạo hàm Clarke và một số
điều kiện đủ để ánh xạ đa trị có cực tiểu yếu, cực tiểu thực sự dương.
Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của
PGS.TS Trương Xuân Đức Hà. Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Cô.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, các
thầy cô và Trung tâm đào tạo sau đại học của Viện đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp khoa Khoa
học cơ bản - Cao đẳng công nghệ Hà Nội, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ
tôi rất nhiều trong quá trình học tập của mình.
Hà Nội, tháng 8 năm 2