Thạc Sĩ Một số vấn đề về vành chính Qui Von Neumann

Đề tài: Một số vấn đề về vành chính Qui Von Neumann

MỤC LỤC
trang
Trang phụ bìa . 1
Mục lục . 2
Các qui ước và kí hiệu 3
MỞ ĐẦU . 5
Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN . 8
1.1. Phần tử chính qui trong vành 8
1.1.1. Khái niệm về phần tử chính qui 8
1.1.2. Vành Abel 10
1.1.3. Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một
R - môđun 12
1.2. Vành chính qui Von Neumann . 13
1.2.1. Định nghĩa và một số ví dụ 13
1.2.2. Các điều kiện tương đương của vành chính qui 15
Chương 2 - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI . 16
2.1. Các tính chất cơ bản của vành chính qui 16
2.2. Môđun xạ ảnh trên vành chính qui . 29
2.3. Vành chính qui Abel . 48
Chương 3 - MỘT SỐ VÀNH CHÍNH QUI ĐẶC BIỆT . 62
3.1. Vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui 62
3.2. Vành các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert . 69
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 3
CÁC QUI ƯỚC VÀ KÍ HIỆU
ƒ Hầu hết các vành trong luận văn được giả sử rằng kết hợp và có đơn vị,
các vành con và đồng cấu vành cũng được cho là có đơn vị. Ta hay kí
hiệu R là vành với đơn vị 1.
ƒ Phép chiếu tự nhiên từ vành R đến vành thương R/I được cho bởi qui luật
x 6 x x I = + .
ƒ Đôi khi miền nguyên được hiểu là không cần giao hoán.
ƒ Cho vành R và số nguyên dương n, ( ) Mn
R là vành các ma trận vuông cấp
n trên R.
ƒ Với vành R bất kì, ta dùng kí hiệu
2
L ( ) R để chỉ dàn các iđêan hai phía
của R (được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm) và ta sử dụng kí
hiệu Mod - R để chỉ phạm trù tất cả R - môđun phải.
ƒ Tất cả các môđun trong luận văn đều là môđun trên một vành có đơn vị.
Hầu hết chúng là các môđun phải, và do đó các đồng cấu thường được
viết về phía bên trái chúng. Cụ thể, môđun phải A trên vành R được
xem như là một môđun trái trên End ( ) R
A - vành các tự đồng cấu của
nó.
ƒ Nếu A là R - môđun, kí hiệu B ≤ A nghĩa là B là môđun con của A, và kí
hiệu B < A nghĩa là B là môđun con thực sự của A.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu R là vành thì:
R
I ≤ R : I là iđêan phải của R
R
I ≤ R: I là iđêan trái của R
ƒ Với A, B là các môđun:
A ≤e
B : A là môđun con cốt yếu của B, nghĩa là A∩ ≠ C 0 với mọi
môđun con C khác 0 của B. 4
A ≺ B : A đẳng cấu với một môđun con của B.
ƒ Cho A là môđun và một số nguyên không âm n, nA là tổng trực tiếp n
bản sao của A.
Tương tự, nếu α là một bản số vô hạn, α A là tổng trực tiếp của α bản
sao của A.
ƒ Với môđun A tùy ý, E(A) là bao nội xạ của A, nghĩa là môđun nội xạ bé
nhất sao cho A cốt yếu trong E(A).
ƒ Một R - môđun phải không suy biến M được hiểu theo nghĩa M là môđun
sao cho phần tử duy nhất của M bị linh hóa bởi một iđêan phải của R là
phần tử không. 5
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Khái niệm vành chính qui Von Neumann xuất hiện năm 1936 khi John
Von Neumann định nghĩa một vành chính qui là một vành R với tính chất: với
mỗi phần tử a R ∈ luôn tồn tại b∈ R sao cho a aba = .
Để phân biệt với những vành chính qui khác như chính qui Noether trong
đại số giao hoán, lí thuyết các vành không giao hoán đã sửa đổi tên gọi và đưa
thêm “Von Neumann” vào tên gọi của loại vành đặc biệt này. Tuy nhiên thực
sự có rất ít cơ hội nhầm lẫn hai khái niệm này bởi vì chúng rất hiếm khi được
nghiên cứu chung.
Ví dụ điển hình về vành chính qui (Von Neumann) là vành đầy đủ các
phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia.
Chuyển động theo hệ tọa độ trong hình học xạ ảnh được nghiên cứu lại
trong thời gian này (1936) theo ngôn ngữ dàn, và Von Neumann giới thiệu
vành chính qui như một công cụ đại số để nghiên cứu những dàn thuộc dạng
này. Dàn được Von Neumann đặc biệt quan tâm được nảy sinh trong khi hợp
tác làm việc với F.J.Murray để giải quyết các vấn đề về đại số các toán tử trên
một không gian Hilbert, mà sau này được biết đến với tên gọi đại số Von
Neumann hay W
*
- đại số.
Mặc dầu W
*
- đại số A trở thành vành chính qui chỉ khi A hữu hạn chiều,
một vành chính qui có thể gán với A bằng cách làm việc với tập P(A) các
phép chiếu, mỗi một phép chiếu trên A trở thành một lũy đẳng tự liên hợp.
Đối với W
*
- đại số hữu hạn A, Murray và Von Neumann sử dụng một
vành chính qui R để “tọa độ hóa” P(A) theo nghĩa P(A) trở nên đẳng cấu tự6
nhiên với dàn các iđêan phải chính của R. Chú ý rằng hữu hạn ở đây là hữu
hạn trực tiếp, nghĩa là nếu
*
t t =1 thì
*
t t =1 với mọi t A ∈ .
Mở rộng ý tưởng này, Von Neumann đã phát minh ra các vành chính qui
sao cho có thể tọa độ hóa những dàn modular có phần bù, và một dàn L được
tọa độ hóa bởi một vành chính qui R nếu nó đẳng cấu với dàn các iđêan phải
chính của R. Như Von Neumann đã chỉ ra, hầu hết các dàn modular có phần
bù có thể tọa độ hóa bởi một vành chính qui nào đó.
Theo quan điểm lí thuyết các vành thuần túy, các vành chính qui được
xem như một chủ đề nghiên cứu bị lãng quên trong một quãng thời gian dài.
Trong quyển sách kinh điển của Nathan Jacobson về lí thuyết vành:
“Structure of rings”, vành chính qui được đề cập đến chỉ trong một phần nhỏ.
Tuy nhiên có thể nói rằng các vành chính qui có nhiều lợi ích xứng đáng để
nghiên cứu, bởi vì chúng xuất hiện trong rất nhiều ngữ cảnh.
Dùng những kiến thức đã học ở bậc Đại học và Sau đại học để tiếp tục
nghiên cứu các vấn đề khác, với cách nhìn tổng quát hơn là một trong những
mục tiêu quan trọng của học viên. Ngay từ thuở sinh viên, khi làm luận văn
tốt nghiệp bậc đại học, tác giả đã có dịp tiếp xúc với vành chính qui Von
Neumann với đề tài “Vành Chính Qui Von Neumann”. Thế nhưng, với những
hạn chế của một sinh viên lúc bấy giờ về Đại số đồng điều và các kiến thức về
Đại số giao hoán, Đại số không giao hoán, tác giả đã gặp nhiều khó khăn
và chưa thể có một cái nhìn thật sự tổng quan về vành chính qui Von
Neumann. Do vậy, sau khi đã được trang bị một số kiến thức mới từ khóa học
Sau đại học, tác giả quyết định tiếp tục nghiên cứu vành chính qui Von
Neumann với mong muốn dùng những kiến thức vừa được học để tiếp tục
nghiên cứu vấn đề. 7
2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích của đề tài là tiếp tục xem xét các tính chất của vành chính qui
Von Neumann trên cơ sở luận văn ở bậc đại học: “Vành chính qui Von
Neumann”. Đồng thời chú trọng việc cụ thể hóa những khái niệm liên quan
vào các vành cụ thể và tìm hiểu các tính chất đặc trưng của khái niệm đó.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
ƒ Đối tượng nghiên cứu: Vành chính qui Von Neumann.
ƒ Phạm vi nghiên cứu: Lí thuyết vành và môđun.
4. Ý nghĩa của việc nghiên cứu đề tài.
Luận văn có thể xem như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên
hoặc những người mới bắt đầu quan tâm đến vành chính qui Von Neumann -
một đối tượng rất hay gặp trong nhiều ngữ cảnh khác nhau của đại số.