Tiến Sĩ Một số vấn đề về phép tính vi phân và tích phân trong giải tích không trơn và lý thuyết tối ưu

Viện Toán học
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu
NĂM - 2011
Mục lục
Mở đầu 3
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị 11
1.1 Vi phân suy rộng 11
1.2 Tích phân Aumann . 19

Chương 2. Tích phân của ánh xạ dưới vi phân 22
2.1 Tích phân của ánh xạ dưới vi phân Clarke . 22
2.2 Tích phân của ánh xạ dưới vi phân Mordukhovich 36

Chương 3. Dưới vi phân của phiếm hàm tích phân 39
3.1 Dưới vi phân của tích phân bất định 40
3.2 Dưới vi phân của phiếm hàm tích phân trên không gian L1(;E) 47

Chương 4. Miền giá trị của ánh xạ dưới vi phân 63
4.1 Trường hợp không gian Banach phản xạ 64
4.2 Trường hợp không gian Asplund 66
4.3 Một vài ứng dụng . 73
Kết luận 77
Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đến luận án 79
Tài liệu tham khảo 80
Mở đầu
Hàm số không trơn và tập có biên không trơn xuất hiện thường xuyên và được biết đến từ lâu ở trong toán học và các khoa học ứng dụng. Vì lý thuyết vi phân cổ điển không còn phù hợp cho việc khảo sát các đối tượng đó nên các lý thuyết vi phân suy rộng đã được xây dựng.
Từ đầu thập niên 60, đã có nhiều nỗ lực nghiên cứu nhằm xây dựng một lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm xác định trên các không gian véctơ thực và nhận giá trị trong tập các số thực suy rộng để có thể phân tích thấu đáo các bài toán tối ưu với dữ liệu không trơn. Kết quả bước đầu của quá trình này là lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm lồi. Với những cống hiến quan trọng của R. T. Rockafellar và các nhà toán học khác, quy hoạch lồi - dựa trên giải tích lồi - đã trở thành một phần quan trọng và đẹp đẽ của lý thuyết tối ưu (xem [4], [9], [30], [39], [53]).
Năm 1973, F. H. Clarke đưa ra những khái niệm cơ bản đầu tiên dẫn đến lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm số Lipschitz địa phương. Đây là một bước tiến quan trọng của giải tích không trơn. Lý thuyết này bao hàm được lý thuyết vi phân cổ điển và lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm lồi Lipschitz địa phương. Cuối thập niên 70 đầu thập niên 80, lý thuyết vi phân suy rộng Clarke đã được R. T. Rockafellar, J.-B. Hiriart-Urruty, J.-P. Aubin và một số nhà toán học khác phát triển cho các hàm nhận giá trị thực suy rộng. Chỉ sau 10 năm (1973 - 1983), lý thuyết vi phân suy rộng Clarke đã đạt được nhiều thành tựu quan trọng cả về mặt lý thuyết cũng như về ứng dụng (xem [23], [24], [25], [55]).
Trong nỗ lực để thu được các điều kiện cần cực trị của bài toán điều khiển tối ưu có tập ràng buộc điểm cuối được cho dưới dạng hình học, năm 1976 B. S. Mordukhovich đã đưa ra định nghĩa nón pháp tuyến và dưới vi phân qua giới hạn [41]. Đây là mốc đánh dấu sự ra đời của một lý thuyết vi phân suy rộng mới: lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich. Giai đoạn 1993 - 1996, có nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được công bố (xem [42], [43], [44], [45], [47], [48], [49]). Tiêu chuẩn Mordukhovich cho tính liên tục Aubin của các ánh xạ đa trị trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình suy rộng. Ngày nay lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich vẫn tiếp tục phát triển và đóng một vai trò trung tâm trong giải tích đa trị và biến phân (xem [14], [46], [56], [61]).
Năm 1965, R. J. Aumann định nghĩa tích phân của ánh xạ đa trị như là tập hợp các giá trị tích phân của các lát cắt khả tích của ánh xạ đa trị đó [6]. Dưới vi phân của một hàm số là một ánh xạ đa trị đặc biệt, có vai trò tương tự như đạo hàm ở trong lý thuyết vi phân cổ điển. Trong lý thuyết tích phân Lebesgue [57, tr. 167], người ta đã chứng minh rằng nếu f : [a; b] ! R (a; b 2 R) là một hàm số Lipschitz (hoặc, tổng quát hơn, là hàm liên tục tuyệt đối) thì công thức Newton-Leibniz