Thạc Sĩ Một số vấn đề về lý thuyết chiều

Đề tài: Một số vấn đề về lý thuyết chiều
Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
Mục lục
MỘT SỐ KÍ HIỆU 1
MỞ ĐẦU 2
1 VÀNH NOETHER VÀ VÀNH ARTIN 4
1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ 4
2 Vành Noether 7
3 Vành Artin . 9
4 Vành phân bậc . 11
2 PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT 14
1 Môđun Noether . 14
2 Phân tích nguyên sơ trong môđun Noether 16
3 Tập các iđêan nguyên tố liên kết 19
4 Giá của môđun . 23
3 HÀM VÀ CHUỖI HILBERT 27
1 Môđun Artin 27
2 Môđun có độ dài hữu hạn . 29
3 Môđun phân bậc 34
4 Hàm Hilbert và đa thức Hilbert-Samuel 36
4 LÝ THUYẾT CHIỀU KRULL 41
1 Chiều Krull và định lý cơ bản của lý thuyết chiều 41
2 Độ sâu của môđun . 45
3 Vành Cohen-Macaulay . 50
4 Vành địa phương chính quy 53
Ths. Lê Văn Chua iMột số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
KẾT LUẬN 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO 57
Ths. Lê Văn Chua iiMột số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
MỘT SỐ KÍ HIỆU
Kí hiệu Nghĩa của kí hiệu Trang
Kết thúc chứng minh 5
√
q Căn của iđêan q 6
S
ư1
(R) Vành các thương của vành R theo S 7
Rp Địa phương hóa của vành R theo p 8
J(R) Căn Jacobson của vành R 10
N(R) Linh căn của vành R 10
{Rn | n ∈ N} Lọc của vành 12
gr(R) Vành phân bậc liên kết 12
λa Đồng cấu nhân bởi a 16
S
ư1
(M) Địa phương hóa của môđun M theo S 16
AssR(M) Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M 19
z(M) Tập các ước của không trong môđun M 20
Mp Địa phương hóa của môđun M theo p 23
Supp(M) Giá của môđun M 23
V (I) Tập các iđêan nguyên tố chứa I 24
Ann(M) Cái triệt của môđun M 24
lR(M) Độ dài của Rưmôđun M 31
{Mn | n ∈ N} Lọc của môđun 34
gr(M) Môđun phân bậc liên kết 34
H(M, n) Hàm Hilbert của môđun M 37
F(M, t) Chuỗi Hilbert của môđun M 37
PI (M, n) Hàm Hilbert-Samuel của môđun M 38
d(M) Bậc của đa thức Hilbert-Samuel của môđun M 39
dim M Chiều Krull của môđun M 41
dim R Chiều Krull của vành R 41
ht(I) Độ cao của iđêan I 41
Coht(I) Đối độ cao của iđêan I 41
δ(M) Chiều Chevalley của môđun M 42
Ext Hàm tử Ext 48
depth(M) Độ sâu của môđun M 49
Ths. Lê Văn Chua 1Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
MỞ ĐẦU
1. Mục tiêu nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu những đặc trưng cơ bản về chiều của vành và môđun. Từ đó đi
đến việc nghiên cứu hai lớp vành quan trọng trong Đại số giao hoán hiện đại là vành
Cohen-Macaulay và vành địa phương chính quy, cũng như mối quan hệ giữa chúng.
2. Nội dung nghiên cứu.
Lý thuyết chiều là một trong những lý thuyết trọng tâm và cơ bản nhất của Đại số
giao hoán hiện đại. Mọi bài toán khảo sát cấu trúc vành hay môđun trong Đại số giao
hoán đều được bắt đầu từ việc xem xét chiều của chúng. Khái niệm chiều mà tôi đang
nhắc đến có nguồn gốc từ Hình học và là dạng đại số của khái niệm chiều của một đa
tạp đại số.
Đề tài gồm 4 chương.
Chương 1. Vành Noether và vành Artin, Chương này nghiên cứu hai lớp vành
quan trọng là vành Noether và vành Artin. Chúng là nền tảng cơ bản để xây dựng cơ sở
lý thuyết chiều. Nội dung chương gồm các vấn đề sau: Iđêan nguyên tố, Iđêan cực đại và
iđêan nguyên sơ; Vành Noether; Vành Artin; Vành phân bậc.
Chương 2. Phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết, Chương này
nghiên cứu lớp môđun Noether và sự phân tích nguyên sơ trong nó, bên cạnh đó còn
nghiên cứu lớp các iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun. Nội dung chương gồm các
vấn đề sau: Môđun Noether; Phân tích nguyên sơ trong môđun Noether; Tập các iđêan
nguyên tố liên kết; Giá của môđun.
Chương 3. Hàm và chuỗi Hilbert, Chương này nghiên cứu lớp môđun Artin, đặc
biệt là mối quan hệ giữa vành Noether và vành Artin thông qua khái niệm độ dài hữu hạn
của môđun. Cùng với cấu trúc môđun phân bậc, tôi tiếp tục nghiên cứu hai đối tượng
quan trọng khác trong đại số giao hoán là hàm Hilbert và Đa thức Hilbert-Samuel của
một môđun. Nôi dung chương gồm các vấn đề sau: Môđun Artin; Môđun có độ dài hữu
hạn; Môđun phân bậc; Hàm Hilbert và đa thức Hilbert-Samuel.
Chương 4. Lý thuyết chiều Krull, Đây là nội dung trọng tâm của đề tài. Với khái
niệm chiều Krull của vành và môđun dẫn đến sự thống nhất ba đối tượng bất biến của
một môđun. Đó là bậc đa thức Hilbert-Samuel, chiều Krull và chiều Chevalley thông qua
Định lý cơ bản của lý thuyết chiều. Trong chương này còn nghiên cứu những đặc trưng
khác như: Hệ tham số; Dãy chính quy; Độ sâu của môđun và đặc biệt là vành CohenMacaulay và vành địa phương chính quy. Nội dung chương gồm các vấn đề sau: Chiều
Krull và định lý cơ bản của lý thuyết chiều; Độ sâu của môđun; Vành Cohen-Macaulay;
Vành địa phương chính quy.
Trong toàn bộ đề tài nghiên cứu khoa học này, các vành được nhắc đến là các vành
giao hoán có đơn vị 1 khác 0.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu một số đối tượng cơ bản sau: Môđun Noether, Môđun Artin, Môđun
phân bậc, Độ dài hữu hạn của môđun, Hàm Hilbert và đa thức Hilbert-Samuel, Chiều
Krull của vành và môđun, Độ sâu của môđun. Đặc biệt là sự nghiên cứu hai cấu trúc
Ths. Lê Văn Chua 2Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
vành Cohen-Macaulay và vành địa phương chính quy, cũng như mối quan hệ giữa chúng.
4. Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu.
Đề tài "Một số vấn đề về lý thuyết chiều" chủ yếu dựa trên cơ sở của lý thuyết vành
và lý thuyết môđun.
Đề tài sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp các nguồn tài liệu liên quan, để
thu nhận những nội dung cần thiết nhằm phục vụ tốt cho việc nghiên cứu đề tài.
Ths. Lê Văn Chua 3Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
Chương 1
VÀNH NOETHER VÀ VÀNH
ARTIN
1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ
Định nghĩa 1.1.
Một iđêan p của một vành R được gọi là nguyên tố của R nếu p khác R và với mọi
a, b ∈ R sao cho ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p.
Một iđêan m của một vành R được gọi là cực đại của R nếu m khác R và với mọi J
là một iđêan tùy ý của R sao cho m ⊂ J ⊂ R thì m = J hoặc J = R.
Định lý 1.2.
1. Một iđêan p của một vành R là nguyên tố khi và chỉ khi R/p là một miền nguyên.
2. Một iđêan m của một vành R là cực đại khi và chỉ khi R/m là một trường.
Chứng minh.
1. Giả sử p là một iđêan nguyên tố của R. Để chứng minh R/p là một miền nguyên ta
cần chứng minh R/p không có ước của không. Thật vậy, nếu (a+p)(b+p) = 0+p thì
ab+p = 0+p kéo theo ab ∈ p. Do p là một iđêan nguyên tố nên a ∈ p hoặc b ∈ p hay
a + p = 0 + p hoặc b + p = 0 + p. Vậy R/p là một miền nguyên. Đảo lại, nếu R/p là
một miền nguyên thì R/p là một vành giao hoán có đơn vị 1+p = 0+ 6 p suy ra 1 ∈/ p
và do đó p =6 R. Giả sử ab ∈ p. Khi đó ab+p = 0+p kéo theo (a+p)(b+p) = 0+p.
Do R/p là một miền nguyên nên a + p = 0 + p hoặc b + p = 0 + p hay a ∈ p hoặc
b ∈ p. Vậy p là một iđêan nguyên tố của R.
2. Giả sử R/m là một trường. Khi đó ta có R/m là một vành giao hoán có đơn vị
1 + m = 0 + 6 m kéo theo 1 ∈/ m. Vậy m =6 R. Để chứng minh m là một iđêan cực đại,
ta giả sử J là một iđêan của R sao cho m ⊂ J ⊂ R và cần phải chứng minh m = J
hoặc J = R. Nếu m =6 J thì tồn tại a ∈ J ư m và do đó phần tử a + m khác không
trong vành R/m. Vì R/m là một trường nên a+m khả nghịch, nghĩa là tồn tại phần
tử b + m để (a + m)(b + m) = 1 + m. Điều này tương đương với ab ư 1 = m ∈ m
Ths. Lê Văn Chua 4Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
suy ra 1 = ab ư m ∈ J. Vậy J = R và do đó m là một iđêan cực đại của R. Đảo lại,
giả sử m là một iđêan cực đại của R. Khi đó ta có R/m là một vành giao hoán có
đơn vị 1 + m = 0 + 6 m. Để chứng minh R/m là một trường, ta phải chứng minh mọi
phần tử khác không của R/m đều khả nghịch. Nếu a + m ∈ R/m khác không thì
a /∈ m. Xét J = m + Ra = {m + ra | m ∈ m; r ∈ R}. Dễ dàng kiểm tra được J là
một iđêan của R chứa m. Vì a = 0 + 1a ∈ J nên J là iđêan thực sự chứa m. Do m
là một iđêan cực đại nên J = R. Khi đó tồn tại m ∈ m và b ∈ R sao cho 1 = m+ ab
suy ra ab ư 1 = ưm ∈ m kéo theo (a + m)(b + m) = 1 + m. Vậy a + m khả nghịch
và do đó R/m là một trường.
Hệ quả 1.3. Mọi iđêan cực đại của một vành R đều là iđêan nguyên tố.
Định lý 1.4. Mỗi vành R luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại.
Chứng minh. Gọi ℜ là tập tất cả các iđêan khác với R. Vì 0 ∈ ℜ nên ℜ khác rỗng.
Bây giờ, giả sử {Ji
| i ∈ I} là một họ tùy ý các iđêan của R sao cho
J0 ⊂ J1 ⊂ · · · ⊂ Jn ⊂ · · · .
Đặt J = ∪i∈IJi
. Ta sẽ chứng minh J là một iđêan của R. Nếu a, b ∈ J thì tồn tại các chỉ
số i, j ∈ I sao cho a ∈ Ji và b ∈ Jj
. Ta giả sử Jj ⊂ Ji
. Khi đó a, b ∈ Ji
. Vì Ji
là một iđêan
của R nên a ư b ∈ Ji và ra ∈ Ji với mọi r ∈ R, mà Ji ⊂ J nên a ư b ∈ J và ra ∈ J với
mọi r ∈ R. Vậy J là một iđêan của R. Hơn nữa J ∈ ℜ. Bởi vì, nếu 1 ∈ J thì sẽ có một
chỉ số i để 1 ∈ Ji kéo theo Ji = R. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Rõ ràng J là một chặn
trên của họ {Ji
| i ∈ I}. Theo Bổ đề Zorn thì trong ℜ với quan hệ bao hàm phải có phần
tử cực đại m. Hiển nhiên khi đó m là một iđêan cực đại của R.
Hệ quả 1.5. Mọi iđêan thực sự của một vành R luôn nằm trong một iđêan cực đại.
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan thực sự của R. Theo Định lý 1.4 vành thương
R/I có một iđêan cực đại T. Khi đó T là một iđêan có dạng m/I với m là một iđêan
chứa I. Ta có (R/I)/T = (R/I)/(m/I) ∼= R/m. Do T là iđêan cực đại nên (R/I)/(m/I)
là một trường. Điều này dẫn đến R/m là một trường và do đó m là một iđêan cực đại của
R chứa iđêan I.
Định lý 1.6. Giả sử I1, I2, . , In là các iđêan của vành R và p là một iđêan nguyên tố.
Khi đó
1. Nếu I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In ⊂ p thì tồn tại một chỉ số i sao cho Ii ⊂ p.
2. Nếu I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In = p thì tồn tại một chỉ số i sao cho Ii = p.
Chứng minh.
1. Giả sử mệnh đề sai, nghĩa là Ii không chứa trong p với mọi i. Khi đó tồn tại các
phần tử ai ∈ Ii ư p với i = 1, 2, . , n. Ta có a = a1a2 · · · an ∈ I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In ⊂ p.
Do p là iđêan nguyên tố nên tồn tại một chỉ số i sao cho ai ∈ p. Điều này mâu
thuẫn với cách chọn ai
. Vậy Ii ⊂ p với một chỉ số i nào đó.
2. Nếu I1 ∩I2 ∩ · · · ∩In = p thì tồn tại một chỉ số i sao cho p ⊂ Ii ⊂ p. Điều này chứng
tỏ rằng p = Ii và định lý được chứng minh.
Ths. Lê Văn Chua 5Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
Định lý 1.7. Giả sử p1, p2, . , pn là các deal nguyên tố của vành R. Khi đó nếu I là một
iđêan sao cho I ⊂ ∪
n
i=1pi thì tồn tại chỉ số i sao cho I ⊂ pi.
Chứng minh. Giả sử I không chứa pi với mọi i. Khi đó ta có thể giả sử rằng I không
chứa trong p1 ∪ p2 ∪ · · · ∪ piư1 ∪ pi+1 ∪ · · · ∪ pn. Với mọi i, ta có phần tử ai ∈ I nhưng
ai ∈/ p1 ∪ p2 ∪ · · · ∪ piư1 ∪ pi+1 ∪ · · · ∪ pn. Theo giả thiết I ⊂ ∪
n
i=1pi nên ai ∈ pi
. Nếu n = 2
thì I không chứa trong p1 và p2. Khi đó a1 ∈ p1 và a2 ∈/ p1 suy ra a1 + a2 ∈/ p1. Tương
tự, a1 ∈/ p2 và a2 ∈ p2 suy ra a1 + a2 ∈/ p2. Do đó a1 + a2 ∈/ I ⊂ p1 ∪ p2. Điều này dẫn
đến mâu thuẫn với a1, a2 ∈ I. Nếu n > 2 thì ta thấy rằng a1a2 · · · anư1 ∈ p1 ∩ · · · ∩ pnư1
và an ∈/ p1 ∪ · · · ∪ pnư1. Đặt a = (a1a2 · · · anư1) + an không thuộc p1 ∪ · · · ∪ pnư1. Vì
a1, a2, . , anư1 không thuộc pn nên a1a2 · · · anư1 ∈/ pn. Do an ∈ pn nên a /∈ pn. Vậy a ∈ I
và a /∈ ∪
n
i=1pi
. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết.
Định nghĩa. Một iđêan q của vành R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu q khác R và với
mọi a, b ∈ R sao cho ab ∈ q thì a ∈ q hoặc tồn tại số nguyên dương n sao cho b
n
∈ q.
Nhận xét. Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan nguyên sơ.
Định lý 1.8. Nếu q là một iđêan nguyên sơ của R thì căn của q, kí hiệu
√
q = {a ∈ R | tồn tại số nguyên dương n sao cho a
n
∈ q}
là iđêan nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử ab ∈
√
q và a /∈
√
q. Khi đó tồn tại một số nguyên dương n để
a
n
b
n = (ab)
n
∈ q. Vì a /∈
√
q nên a
n
∈/ q. Do q là iđêan nguyên sơ nên tồn tại số nguyên
dương m sao cho b
nm = (b
n
)
m
∈ q và do đó b ∈
√
q. Vậy
√
q là iđêan nguyên tố.
Nếu q là một iđêan nguyên sơ của R và p =
√
q là iđêan nguyên tố thì ta gọi q là
iđêan pưnguyên sơ.
Định lý 1.9. Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó nếu
√
I = m là iđêan cực đại thì
I là iđêan mưnguyên sơ.
Chứng minh. Nếu ab ∈ I và a /∈ I thì m + Ra là iđêan thực sự chứa iđêan cực đại
m. Vậy m + Ra = R và do đó tồn tại x ∈ m và r ∈ R sao cho x + ra = 1. Vì x ∈ m nên
tồn tại số nguyên dương n sao cho x
n
∈ I. Ta có
b = b1 = b(x + ra)
n
= b(x
n
+ sa) = bx
n
+ abs ∈ I ⊂
√
I = m với s ∈ R.
Vậy I là iđêan mưnguyên sơ.
Ths. Lê Văn Chua 6Một số vấn đề về lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
2 Vành Noether
Định nghĩa 2.1. Một vành R được gọi là Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan của R có
dạng
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · ·
đều bị dừng, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho Ik = In với mọi k ≥ n.
Định lý 2.2. Một vành R là Noether nếu và chỉ nếu mọi tập khác rỗng các iđêan của R
đều có một phần tử cực đại.
Chứng minh. Giả sử ℜ là tập khác rỗng các iđêan của R. Ta chọn I1 ∈ ℜ. Nếu I1
không cực đại thì chọn I2 ∈ ℜ sao cho I1 ⊂ I2. Nếu I2 không cực đại thì chọn I3 ∈ ℜ
sao cho I1 ⊂ I2 ⊂ I3. Tiếp tục quá trình này sau hữu hạn bước ta sẽ có phần tử cực đại
In ∈ ℜ. Vậy ℜ có phần tử cực đại.
Đảo lại, giả sử I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · · là dãy tăng các iđêan của R. Theo giả thiết
tập ℜ = {Ii
| i ≥ 1} có phần tử cực đại In. Với mọi k ≥ n, ta có In ⊂ Ik và In ⊂ Ik bởi
tính cực đại và do đó Ik = In với mọi k ≥ n. Vậy R là vành Noether.
Định lý 2.3. Một vành R là Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh.
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan tùy ý của R. Gọi ℜ là tập tất cả các iđêan
hữu hạn sinh của R chứa trong I. Ta có 0 ∈ ℜ nên tồn tại một phần tử cực đại J ∈ ℜ.
Gọi a1, a2, . , am là các phần tử sinh của J. Với mọi b ∈ I, ta gọi Kb là iđêan sinh bởi
b, a1, a2, . , am. Khi đó Kb ∈ ℜ và J ⊂ Kb. Từ tính cực đại của J, ta có J = Kb với mọi
b ∈ I suy ra I ⊂ J. Do cách xây dựng tập ℜ nên J ⊂ I. Vậy I = J = Kb là iđêan hữu
hạn sinh của R.
Đảo lại, giả sử I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · · là dãy tăng các iđêan của R. Dễ dàng kiểm
tra được
S
k≥1
Ii
là một iđêan của R. Theo giả thiết,
S
k≥1
Ii
là một iđêan hữu hạn sinh.
Gọi a1, a2, . , am là các phần tử sinh của iđêan này. Vì ak ∈ Ij nào đó nên tồn tại số
nguyên dương n sao cho ak ∈ In với mọi k và do đó
S
k≥1
Ik ⊂ In. Từ đó suy ra Ik = In
với mọi k ≥ n. Vậy R là vành Noether.
Định lý 2.4. Ảnh đồng cấu của một vành Noether là một vành Noether.
Chứng minh. Giả sử R là một vành Noether và σ : R ư→ T là toàn cấu vành.
Ta sẽ chứng minh T là một vành Noether. Thật vậy, giả sử J là một iđêan của T. Khi
đó ta có σ
ư1
(J) là một iđêan của R. Do R là một vành Noether nên σ
ư1
(J) là một
iđêan hữu hạn sinh. Gọi a1, a2, . , am là các phần tử sinh của σ
ư1
(J). Với mọi b ∈ J
đều tồn tại a ∈ R sao cho b = σ(a) kéo theo a ∈ σ
ư1
(J). Do đó tồn tại ri ∈ R để
a =
Pm
i=1
riai và suy ra b = σ(a) =
Pm
i=1
σ(ri)σ(ai). Vậy J là một iđêan sinh bởi các
phần tử σ(a1), σ(a2), . , σ(am) và do đó T là một vành Noether.
Hệ quả 2.5. Vành thương của một vành Noether là một vành Noether.
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan của vành Noether R. Xét toàn cấu chính tắc
π : R ư→ R/I. Theo Định lý 2.4, R/I là một vành Noether.
Định lý 2.6. Giả sử R là một vành Noether và S là một tập đóng nhân của R. Khi đó
vành các thương S
ư1R là một vành Noether.
Chứng minh. Gọi J là một iđêan của S
ư1R. Khi đó tồn tại một iđêan I của R sao
Ths. Lê Văn Chua 7