Thạc Sĩ Một số vấn đề về lớp các Môđun tương đương xạ ảnh

Đề tài: Một số vấn đề về lớp các Môđun tương đương xạ ảnh
MỞ ĐẦU
“Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ toán học”
(SZE – TSEN – HU)
Vâng, ngay sau khi được đề cập lần đầu tiên bởi S.Eilenberg và S. Maclane –
năm 1944, lý thuyết phạm trù và hàm tử đã nhanh chóng tìm được sự ứng dụng
ngày càng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học.
Các hàm tử mở rộng – Ext
n
, là một trong bốn trụ cột cơ bản của đại số đồng
điều (ba hàm tử còn lại là Hom, Ä, và Torn). Luận văn này nhằm trình bày một
ứng dụng lý thú của hàm tử Ext, đó là giải quyết một số vấn đề về lớp các môđun
tương đương xạ ảnh. Chẳng hạn như đi tìm các điều kiện cần và đủ để hai môđun
là tương đương xạ ảnh,
Do thời gian có hạn nên chúng tôi chỉ nghiên cứu một số lớp các môđun
tương đương xạ ảnh đặc biệt (như môđun hữu hạn sinh, ) trên vành hệ tử đặc
biệt. Trong luận văn này, chúng tôi chỉ nghiên cứu trên vành hệ tử R =, là vành
các số nguyên – khi đó môđun trên  chính là các nhóm aben, vành hệ tử R là
vành chính và nghiên cứu một số lớp các môđun tương đương xạ ảnh trên vành
hệ tử là vành giao hoán có đơn vị tùy ý.
Việc nghiên cứu đề tài này giúp nhận biết được khi nào hai môđun là tương
đương xạ ảnh thông qua các đặc điểm riêng biệt của mỗi môđun. Và qua đó giúp
nghiên cứu một số vấn đề khác liên quan đến lớp các môđun tương đương xạ
ảnh, chẳng hạn như số chiều xạ ảnh, Và qua đề tài này chúng tôi cũng đã mở
rộng được một số kết quả đáng lưu ý như là mở rộng một số kết quả từ lí thuyết
nhóm aben sang lí thuyết môđun trên vành chính. Đây là điều làm chúng tôi tâm
đắc nhất. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong luận văn này chúng tôi trình bày được các kết quả chủ yếu như sau:
1. Xây dựng được cấu trúc R – môđun cho Ext(C,A), trong đó A và C là hai
R – môđun. Mở rộng một số kết quả về Ext(–,–) với tư cách là một nhóm
aben sang Ext(–,–) với tư cách là một R – môđun.
2. Mở rộng một số kết quả của lí thuyết nhóm aben sang lí thuyết môđun trên
vành chính.
3. Hai môđun xoắn, hữu hạn sinh trên vành chính tương đương xạ ảnh với
nhau khi và chỉ khi chúng đẳng cấu với nhau.
4. Hai môđun không xoắn, hữu hạn sinh trên vành chính thì luôn tương
đương xạ ảnh với nhau.
5. Hai môđun hữu hạn sinh trên vành chính tương đương xạ ảnh với nhau khi
và chỉ khi nhóm con xoắn của chúng đẳng cấu với nhau.
6. Cho M là môđun hữu hạn sinh trên vành chính và N là môđun con của M.
Giả sử N là môđun xoắn. Khi đó, M N M  N
 là môđun tự do.
7. Môđun P là xạ ảnh  pdR(P) 0  Ext(P,G) = 0 với mọi môđun G.
8. Trên vành chính không là trường, thì mọi môđun không tự do đều có số
chiều xạ ảnh là 1.
9. Hai môđun khác không tương đương xạ ảnh thì có số chiều xạ ảnh bằng
nhau. Chiều ngược lại nói chung không đúng.
Kết quả 5 là kết quả tổng quát, các kết quả 3, 4 và kết quả trên vành R  chỉ là
hệ quả. Chúng tôi kiến nghị nghiên cứu lớp các môđun tương đương xạ ảnh có
tập sinh là tập vô hạn đếm được trên vành chính và nghiên cứu sâu hơn về số
chiều xạ ảnh.