Thạc Sĩ Một số vấn đề về khai triển Puiseux và khai triển Hamburger - Noether của đường cong phẳng

LỜI MỞ ẦU
Việc nghiên cứu ường cong (ặc biệt là ường cong phẳng) sẽ dễ dàng
hìn rất nhiều nếu chúng ta biết ược một phép tham số hóa (nguyên thủy)
của ường cong ó. Một trong những phưìng pháp hiệu quả ể tìm một
phép tham số hóa cho ường cong trên trường ặc số không ó là khai
triển Puiseux của ường cong ó trong lân cận của gốc tọa ộ. Tuy nhiên,
nếu chúng ta xét trên trường có ặc số p > 0 thì khai triển Puiseux không
thực hiện ược. ể nhận ược một phép tham số hóa của ường cong trong
trường hợp này ta phải dùng khai triển Hamburger - Noether thay cho khai
triển Puiseux. Bên cạnh ó, thông qua các khai triển này chúng ta sẽ nhận
ược một số bất biến tôpô của ường cong. Các bất biến này có vai trò
quan trọng trong việc ánh giá hai ường cong có tưìng ưìng tôpô, tưìng
ưìng giải tích hay ẳng ky dị với nhau không.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn ề tài "Một số vấn ề về khai
triển Puiseux và khai triển Hamburger - Noether của ường cong
phẳng" nhằm tìm hiểu sâu sắc hìn về các khai triển Puiseux cung như
khai triển Hamburger - Noether của ường cong, ặc biệt là ường cong
phẳng, qua ó tính toán chi tiết cho các khai triển này và trình bày một số
ứng dụng của chúng.
Khai triển Puiseux ược Victor Puiseux ưa ra nam 1850. Khai triển
Puiseux có thể thực hiện ược theo thuật toán Newton-Puiseux. Trong khi
ó, khai triển Hamburger-Noether xuất hiện nhằm ể giải quyết bài toán
tìm một phép tham số hóa cho ường cong phẳng trên trường ặc số tùy
ý, ược ưa ra qua công trình của G.Ancochea, công bố trên tạp chí Acta
Salamanticiensis (Universidad de Salamanca).
Mục ích chính của luận van là tìm hiểu sâu hìn về khai triển Puiseux,
khai triển Hamburger-Noether, hiểu và trình bày các thuật toán ể tìm khai
2
triển Puiseux và khai triển Hamburger-Noether, ồng thời tìm một số ứng
dụng của các khai triển này.
Nội dung luận van gồm 3 chưìng:
Chưìng 1. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị liên quan ến ường
cong ại số.
Chưìng 2. Trình bày khai triển Puiseux và khai triển Hamburger-
Noether của ường cong phẳng và ứng dụng.
Chưìng 3. Trình bày khai triển Puiseux cho ường cong trong không
gian.
Mặc dù chúng tôi ã có rất nhiều cố gắng trong quá trình thực hiện luận
van song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận ược sự
góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn ồng nghiệp ể luận van ược hoàn
chỉnh hìn.
Tôi xin chân thành gởi lời cảm ìn sâu sắc ến thầy TS. Lê Công Trình,
không những ã trực tiếp giảng dạy hết sức nhiệt tình mà còn tận tình giúp
ỡ, hướng dẫn khoa học ể tôi hoàn thành luận van này.
Tôi xin chân thành cảm ìn BGH Trường ại học Quy Nhìn, Phòng Sau
ại học, quý thầy cô Khoa Toán, các anh chị học viên lớp Cao học Toán
Khóa 11 cùng những người thân trong gia ình ã tạo mọi iều kiện giúp
ỡ cho tôi học tập và hoàn thành luận van này.

MỤC LỤC
Mục lục i
Một số kí hiệu dùng trong luận van . iii
Lời mở ầu 1
Chưìng 1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Giới thiệu về ường cong ại số phẳng 3
1.2 Tập giải tích và sự tưìng ưìng tôpô . 11
Chưìng 2 Khai triển Puiseux và khai triển Hamburger-
Noether của ường cong phẳng 14
2.1 Khai triển Puiseux của ường cong phẳng 14
2.1.1 Khai triển Puiseux cho a thức tựa thuần nhất . 15
2.1.2 Thuật toán Newton - Puiseux . 15
2.1.3 Cặp Puiseux . 24
2.1.4 Một số ví dụ tính toán bằng SINGULAR . 27
2.2 Một số ứng dụng của khai triển Puiseux . 30
2.2.1 Bội giao của hai ường cong phẳng 30
2.2.2 ặc trưng Puiseux . 35
2.2.3 Hệ dãy bội 36
2.2.4 Liên hệ giữa ặc trưng Puiseux, dãy bội và sự tưìng
ưìng tôpô của các mầm ường cong . 40
2.3 Khai triển Hamburger-Noether của ường cong phẳng 41
2.3.1 Khai triển Hamburger-Noether 41
2.3.2 Một số ví dụ tính toán bằng SINGULAR . 48
2.4 Một số ứng dụng của khai triển Hamburger-Noether . 51
2.4.1 Bội giao của các mầm ường cong . 51
2.4.2 Phân loại ường cong phẳng 54
ii
Chưìng 3 Khai triển Puiseux cho ường cong trong không
gian 57
3.1 Tropism của một ideal . 57
3.2 Thuật toán tìm các tropism của một ideal 61
3.3 Khai triển Puiseux . 63
Kết luận 72
Tài lệu tham khảo 74