Tiến Sĩ Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz - Minkowski

Luận án tiến sĩ năm 2013
Đề tài: Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz - Minkowski


[TABLE="width: 418"]
[TR]
[TD="align: left"]MỤC LỤC
Mục lục i
Lời cam đoan iii
Lời cảm ƠĨ1 iv
Mở đầu 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đích nghiên cứu . 3
3 Dối tượng nghiên cứu 4
4 Phạm vi nghiên cứu . 4
5 Phương pháp nghiên cứu . 4
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . 5
7 Tong quan và cấu trúc luận án . 6
7.1 Tổng quan luận án 6
7.2 Cấu trúc luận án 9
Chương 1 Kiến thức cơ sở 11
1.1 Không gian Lorentz-Minkowski . 11
1.2 Các độ . cong của mặt trong R?[SUP]+1[/SUP] . 16
a) Dộ cong liên kết với một trường vectơ pháp 16
b) Elip độ cong 20
Kết luận chương 1 . 22
Chương 2 Xây dựng ánh xạ /'-Gauss nhận giá trị trên HSr, trên LSr và tính chất hình học của mặt /'-rốn 23
2.1 Ánh xạ Gauss nhận giá trị trên HSr và mặt n^-rốn . 25
a) Ánh xạ n*-Gauss 26
b) Mặt n*-dẹt đối chiều hai . 27
[TABLE="width: 468"]
[TR]
[TD="align: left"]a) Mặt n*-rốn đối chiều hai 30
b) Một số ví dụ mặt //-rốn trong Rí . 35
2.2 Ánh xạ Gauss nhận giá trị trên LSr và mặt l^-rốn . 40
a) Ánh xạ l^-Gaiiss . 40
b) Mặt l*-rốn đối chiều hai . 41
2.3 Mặt rốn đối chiều hai 46
Kết luận chương 2 48
Chương 3 Tính chất hình học của mặt ỉ/-phẳng trong Kị 49
3.1 Mối liên hệ giữa mặt //-rốn và mặt //-phẳng . 49
3.2 Tính phẳng của mặt trong không gian 4-chiều . 54
a) Tính phảng của mặt trong R[SUP]4[/SUP] 54
b) Tính phảng của mặt kiểu không gian trong Rị . 58
3.3 Một số ví dụ về mặt ỉ/-phảng . 62
Kết luận chương 3 67
Chương 4 Mặt kẻ và mặt tròn xoay kiểu không gian trong Rj 68
4.1 Mặt kẻ . 68
4.2 Mặt tròn xoay 72
a) Mặt tròn xoay kiểu hypebolic . 73
b) Mặt tròn xoay kiểu eliptic 79
c) Mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng . 84
Kết luận chương 4 87
Kết luận và kiến nghị . 88
Danh mục các công trình của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án 90
Tài liệu tham khảo . 91
Chỉ mục 95
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]


[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]Mở đầu
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 510"]
[TR]
[TD="align: left"]1. Lý do chọn đề tài
1.1 Việc nghiên cứu các tính chất địa phương và toàn cục của mặt là một trong những vấn đề cơ bản của hình học vi phân. Tính chất địa phương của mặt là những tính chất liên quan đến tham số hóa địa phương của mặt, còn tính chất toàn cục là những tính chất thể hiện trên toàn bộ Iĩiặt mà không chịu sự chi phối của tham số hóa địa phương.
Chúng ta đã biết, trong hình học vi phân cổ điển, một trong những công cụ cơ bản để nghiên cứu các tính chất địa phương của mặt là ánh xạ Gauss. Ánh xạ Gauss đưa đến
các khái niệm độ cong bao gồm: độ cong Gauss; độ cong trung bình; độ cong chính,________________________
Với các mặt đối chiều một, mặt trong R[SUP]3[/SUP] và siêu mặt trong R[SUP]n[/SUP], ánh xạ Gauss đã chứng tỏ là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phương của chúng. Chẳng hạn, dựa vào tính chất của độ cong chúng ta nhận được kết quả: một Iĩiặt chính quv trong ]R[SUP]3[/SUP] là mặt rốn khi và chỉ khi nó là (một phần của) một mặt cầu hoặc (một phần của) một mặt phẳiig.
Dối với các tính chất toàn cục của mặt, một trong những công cụ để tìm được mối liên hệ giữa tính chất địa phương với tính chất toàn cục là trường Jacobi dọc theo một đường trắc địa. Thông qua công cụ này một số tính chất toàn cục của Iĩiặt trong R[SUP]3[/SUP] đả được đưa ra trong lý thuyết hình học vi phân cổ điển. Chẳng hạn, một mặt chính quy trong R[SUP]3[/SUP] có độ cong Gauss đồng nhất bằng không khi và chĩ khi nó là mặt kẻ khả triển.
Việc tìm hiểu các kết quả thể hiện các tính chất hình học của lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian LorentZ-Minkowski, tương tự Iihư trường hợp của mặt trong R[SUP]3[/SUP], là một trong những ran đề được chúng tôi quan tâm.
1.2 Hình học của mặt trong R[SUP]4[/SUP] đả dược quan tâm nghiên cứu trong một số công trình
như: [10], [31], [32], [38], [34], [26], [30], [39] Chúng ta có thể điểm lại một số kết quả[TABLE="width: 469"]
[TR]
[TD="align: left"]chính đã đạt được trong lĩnh vực này như sau. Vào năm 1969, Little [26] đã xây dựng các bất biến hình học, chẳng hạn như elip độ cong, để nghiên cứu tính kỳ dị của đa tạp con đối chiều hai trong không gian O-clít. Cũng trong [26] tác giả đã chỉ ra được rằng mặt trong R[SUP]4[/SUP] thoả mân điều kiện mọi trường vectơ pháp là trường trùng pháp khi và chỉ khi nó là một mặt kẻ khả triển. Đến năm 1995, Mochida và một số tác giả khác trong [31] dưa ra một số điều kiện cần và đủ về sự tồn tại trường trùng pháp của mặt trong R[SUP]4[/SUP]. Trong bài báo này các tác giả đã khẳng định điều kiện cần và đủ để mặt trong R[SUP]4[/SUP] chấp nhận đúng hai trường trùng pháp là lồi ngặt địa phương. Các kết quả này được mỏ rộng lên mặt đối chiều hai trong M"[SUP]+2[/SUP] hỏi Mochida và một số tác giả khác trong [32] vào năm 1999. Hướng nghiên cứu nà}[SUP]r[/SUP] được tiếp tục bỏi Romero-Puster và Sánchez-Brigas [38] vào năm 2002, để nghiên cứu khái niệm rốn trên mặt. Trong [38] các tác giả đã chỉ ra mối quan hệ tương đương giữa các lớp mặt: V-rốn, tồn tại hai phương tiệm cận trực giao với nhau tại mọi điểm, nửa rốn và độ cong pháp đồng nhất bằng không. Đến năm 2010, Nuno-BaUesteros và Romero-Fuster [34] xây dựng khái niệm quỷ tích độ cong (curvature locus), nó là một mỏ rộng của khái niệm elip độ cong cho mặt đối chiều hai trong M[SUP]n+2[/SUP], để nghiên cứu tính chất của các đa tạp con đối chiều hai. Trong bài báo này các tác giả cũng đã chuyển một số kết quả trong [38] lên da tạp con đối chiều hai trong IR"[SUP]+2[/SUP].
Việc phát triển các kết quả nghiên cứu về Iĩiặt trong R[SUP]4[/SUP] lên mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski là một trong những ran đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu.
1.1 Những năm gần đây một số kết quả nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski đã được công bố, chẳng hạn Iihư [17], [20], [21], [22],
[24], [23],__ Chúng ta điểm qua một số kết quả chính cho lĩnh vực này như sau. Bằng
cách sử dụng tính chất của độ cong liên kết với Iĩiột trường vectơ pháp để nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai, vào năm 2004 Izumiya và một số tác giả khác trong
[20] đã chỉ ra rằng nếu mặt chứa trong một giả cầu thì nó là mặt ỉ/-rốn, trong đó V là trường vectơ vị trí của mặt. Với chiều ngược lại của mệnh đề này, các tác giả trong [20] bổ sung thêm giả thiết song song của V để mặt ỉ'-rốn chứa trong một giả cầu. Trong bài báo này các tác giả cũng đả trình bày lại cách xây dựng khái niệm elip độ cong cho mặt kiểu không gian hai chiều trong không gian Lorentz-Minkowski số chiều lớn hơn 3 và chỉ ra mối liên hệ giữa mặt ỉ/-rốn và mặt nửa rốn, nó là mặt mà elip độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Xuất phát từ tính chất mặt phang pháp của một mặt kiểu không gian


Tài liêu tham khảo
[1] ARSLAN. K, Bayram. B . Bulca. B and ỒztũRK. G (2012), “Generalized rota¬tion surfaces in E4”, Results. Math 61 (3-4). 315-327.
[2] ĐINH NG. D. CƯONG. D. V . HIEƯ. D. TH (2013), “Hyperplanarity of surfaces in 4-dimensional spaces1', submitted.
[3] CưONG. D. V (2008), “The flatness of spacelike surfaces of codimension two in Ln+1”, Vinh university Journal of science37 (2A), 11-20
[4] CưONG. D. V (2009), “The umbilicity of spacelike surfaces of codimension two in Ln+I”, Vinh university Journal of science 38 (3A), 5-14.
[5] CưONG. D. V (2010), “On general Gauss maps of surfaces”, East-West J. of Math¬ematics., 12 (2). 153-162.
[6] CưONG. D. V (2012), “L$r-valued Gauss maps and spacelike surfaces of revolution in mị”, App. Math. Sci 6 (77), 3845 - 3860.
[7] CưONG. D. V (2013), “Surfaces of Revolution with constant Gaussian curvature in four-Space”, Asian-Eur. J. Math DOI 10.1112/S1793557113500216.
[8] CưONG. D. V (2012) “ The bi-normal fields on S|)acelike siưíaces in M'J". submitted.
[9] CưONG. D. V AND HIEU. D. TH (2012), “//5r-valued Gauss maps and umbilic spacelike sufaces of codimension two”, submitted.
[10] DREIBELBIS. D (2003), “Singularities of the Gauss map and the binormal surface”, Adv. Geom3. 453-468.
[11] do Carmo. M. p (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall.
91
92
[12] DưRSUN. u, TuRGAY. N. c (2012). “Minimal and Pseudo-umbilical Rotational Surfaces in Euclidean Space E4”, Mediterr. J. Math DOI 10.1007/s00009-011-0167.
[13] GANCHEV. G, MILOƯSHEVA. V (2008). “On the Theory of Surfaces in the Four- Dimensional Euclidean Space”, Kodai Math. 31, 183-198.
[14] GANCHEV. G, MILOƯSHEVA. V (2011), “Chen rotational surfaces of hyperbolic or elliptic type in the four-dimensional Minkowski space”, c. R. Acad. Bulg. Set., 64 (5), 641-6-52.
[15] GanCHEV. G, MiloưSHEVA. V (2012), “An invariant theory of spacelike gian sur¬faces in the four-dimensional Minkowski space”, Mcditcrr. ,J. Math., 9 (2), 267-294.
[16] HOFFMAN. D. A AND OSSERMAN. R (1983), “The Gauss map of surfaces in J. Differential Geom18 (4), 733-754.
[17] IZUMIYA. S. PEI. D-H AND SANO. T (2003), “Singularities of hyperbolic Gauss maps'’, Proceedings of the London Mathematical Society. 86. 485-512.
[18] IZUMIYA. S. PEI. D AND ROMERO FUSTER. M. c (2004), “The lightcone Gauss map of a spacelike surface in Minkowski 4-space”, Asian J. Math 8 (3), 511-530.
[19] IZUMIYA. S. PEI. D AND TAKAHASHI. M (2004). “Singularities of evolutes of hy¬persurfaces in hyperbolic space”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 47, 131-153.
[20] Izumiya. S. Pei. D and ROMERO-FuSTER. M.c (2001), “Umbilicity of spacelike submanifolds of Minkowski space”, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 134A. 375-387.
[21] IZUMIYA. s, AND ROMERO-FuSTER. M. c (2007). “The lightlike flat geometry on spacelike submanifolds of codimension two in Minkowski space”, Selecta Math., 13 (1), 23-55.
[22] IZUMIYA. s, NUNO BALLESTEROS. J. J AND ROMERO-FUSTER. M.c (2010),
“Global properties on spacelike submanifolds of codimension two in Minkowski space”, Advances in Geometry., 10, 51-75-

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]