Thạc Sĩ Một số tính chất cơ bản của nhóm trực giao

Lời nói đầu
Cho k = R,C,H, trong đó R là trường số thực, C là trường số phức và H là vành chia các quaternions thực. Trong luận văn này ta sẽ nói k là một trường ngay cả trong trường hợp k = H (mặc dù H là vành chia không giao hoán). Xét tập hợp Mn(k) gồm tất cả các ma trận vuông cấp n trên k có phép cộng và phép nhân ma trận với một phần tử của k (từ bên trái trong trường hợp k = H). Ta có Mn(k) là không gian vectơ (không gian vectơ trái nếu k = H) trên k. Ngoài ra, cùng với phép nhân ma trận thì Mn(k) còn là một đại số trên k. Trong luận văn này ta sẽ khảo sát một số tính chất cơ bản của nhóm nhân tất cả các phần tử khả nghịch của Mn(k) mà ta sẽ ký hiệu là GL(n, k) và gọi nó là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên k. Nội dung luận văn bao gồm 4 chương:
Chương 1: Trong chương 1 ta định nghĩa vành chia H các quaternions thực và nêu một số tính chất cơ bản của nó. Nếu k = R,C,H thì ta ký hiệu kn là không gian vectơ hàng, độ dài n trên k. Lưu ý rằng khi k = H thì đó là không gian vectơ trái trên k. Từ đó suy ra, nếu x = (x1, . , xn) 2 kn và A 2 Mn(k) thì xA 2 kn. Do đó, ta có thể xem mỗi ma trận A như một toán tử tuyến tính trong không gian vectơ kn. Ngoài ra trong chương này ta cũng đưa ra khái niệm định thức đối với các ma trận A 2 Mn(H).
Chương 2: Trong chương này ta sẽ khảo sát khái niệm tích trong <, > trên các không gian Rn,Cn và Hn. Từ đó ta định nghĩa về các nhóm trực giao, unita, symplectic, trực giao đặc biệt và unita đặc biệt. Ta sẽ chứng minh sự đẳng cấu giữa các nhóm Sp(1) và SU(2) và chỉ ra rằng S3 không đẳng cấu với SO(3).
Chương 3: Chúng ta định nghĩa bất biến đầu tiên của nhóm ma trận là số chiều của nó. Vectơ tiếp tuyến với ma trận G là Y 0(0), với Y là đường cong trong G, Y (0) = I và chỉ ra tập TG của tất cả các vectơ tiếp tuyến là không gian vectơ. Định nghĩa số chiều của TG là chiều của G.
Chương 4: Trong chương 4, chúng ta phát triển ánh xạ lũy thừa và logarit tại lân cận của I trong GL(n, k) và định nghĩa nhóm con một tham số. Trong phần này ta sẽ chỉ ra không gian vectơ TG chính là tất cả các đạo hàm tại 0 (Y 0(0)) của các nhóm con một tham số Y . Đại số Lie được định nghĩa và ta xem TG là đại số Lie. Cuối cùng ta tính số chiều của O(n), U(n) và Sp(n).
Hướng kế tiếp của chúng ta là xây dựng không gian topo và đem tất cả các nhóm ma trận của chúng ta vào không gian Euclide, xây dựng các hàm liên tục, tập mở, tập đóng, tập compact và xây dựng cơ sở đếm được của các tập mở .để nghiên cứu về các xuyến cực đại của những nhóm ma trận .
Mục lục
Lời nói đầu 6
Các ký hiệu trong luận văn 8
1 Nhóm tuyến tính tổng quát 9
1.1 Trường các quaternions thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Vectơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Các nhóm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Các nhóm trực giao 20
2.1 Tích trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Các nhóm trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Đồng cấu 34
3.1 Đường cong trong không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Đồng cấu trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Hàm mũ và hàm logarit 41
4.1 Hàm mũ của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Nhóm con một tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Kết luận 53
Chỉ mục 54
Tài liệu tham khảo 55