Luận Văn Một số tìm hiểu về hình học PHI EUCLIDE

LỜI NÓI ĐẦU
Hình học nói chung là môn học khá thú vị đối với mỗi sinh viên. Lịch sử
phát triển Hình học rất lâu đời với ý tưởng phục vụ nhu cầu sống của con người.
Đến giai đoạn của Euclide, người ta được mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm
“Nguyên lý” rất nổi tiếng có tất cả 13 quyển. Tác phẩm “Nguyên lý” trình bày
cách xây dựng môn Hình học bằng phương pháp tiên đề. Trong tác phẩm, tác giả
nêu ra các định nghĩa, định đề và tiên đề. Trong đó có 5 định đề có nội dung quan
trọng và vấn đề đặt ra là định đề 5 của Euclide có phải là một định đề hay không?
Hay nó có thể được chứng minh như một định lý? Việc tìm lời giải cho bài toán
này đã thu hút rất nhiều nhà Toán học trong một thời gian dài. Và chưa ai làm
sáng tỏ được cho đến ngày 6/2/1826, vấn đề được giải quyết bởi nhà Toán học
người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ông đã trình bày nghiên cứu của mình tại
khoa Toán – Lý trường đại học Ka–zan (Nga).
Lobachevsky chứng minh rằng: không thể chứng minh định đề 5. Định đề 5
đúng là một định đề chứ không phải định lý. Từ đó, ông giữ nguyên các định đề
của Euclide và thay định đề 5 bằng một mệnh đề phủ định, dựa vào đó chứng
minh các định lý của các hệ thống Hình học mới mà ngày nay ta gọi là Hình học
phi Euclide hay Hình học Lobachevsky.
Nghiên cứu Hình học phi Euclide chúng ta sẽ thấy được những kết quả hết
sức bất ngờ và thú vị hoàn toàn trái ngược với Hình học Euclide.
Luận văn được trình bày gồm 3 chương:
+Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
+Chương II: Hình học phi Euclide.
+Chương III: Mẫu đĩa Poincare và mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại Học An Giang với sự
hướng dẫn nhiệt tình của cô Phạm Thị Thu Hoa.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, quý
thầy cô khoa Sư phạm và Bộ môn Toán trường Đại học An Giang, cảm ơn các
bạn lớp DH5A1 đã giúp tôi hoàn thành luận văn này trong suốt quá trình học tập.
Xin chúc quý thầy cô được dồi dào sức khoẻ, hạnh phúc và công tác tốt.
Do sự hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu khoa học nên Khóa luận
khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Long Xuyên, tháng 5 năm 2008
Tác giả
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 2
MỤC LỤC
Lời nói đầu .1
Mục lục 2
Các ký hiệu 5
Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .6
1. Vài nét về lịch sử ra đời của Hình học phi Euclide 6
1.1 .Hình học Euclide. .6
1.2 .Về định đề 5 của Euclide 7
1.3 .Sự ra đời của Hình học phi Euclide 7
2.Kiến thức bổ trợ .8
2.1. Tứ giác saccheri: 8
2.2. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian vectơ 8
2.2.1. Dạng song tuyến tính: 8
2.2.2. Dạng toàn phương: 8
3. Thể hiện khái niệm cơ bản của hình học Euclide .9
3.1. Mô hình xạ ảnh của không gian Euclide. .9
3.2. Cái tuyệt đối 9
3.3. Khái niệm vuông góc của hai đường thẳng. .10
3.4. Khái niệm siêu cầu: 10
Chương II. HÌNH HỌC PHI EUCLIDE .12
1. Không gian vectơ giả Euclide .12
1.1. Định nghĩa 12
1.2. Định lý. 13
2. Hình học giả Euclide 14
2.1. Định nghĩa không gian giả Euclide bằng tiên đề .14
2.2. Mục tiêu trực chuẩn. 14
2.2.1. Định lý .14
2.2.2. Định lý .15
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 3
2.3. Định nghĩa 16
2.4. Định nghĩa 16
2.4.1. Mệnh đề. .16
2.4.2. Định lý 16
2.4.3. Hệ quả: 17
2.4.4. Định lý. .17
2.5. Modul của vectơ – độ dài đoạn thẳng .19
2.5.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 19
2.5.2. Modul của vectơ. 19
2.5.3. Độ dài đoạn thẳng .19
2.5.4 . Một số khái niệm khác .20
2.6. Định nghĩa 21
2.6.1. Định lý .21
2.6.2. Mệnh đề. 22
2.6.3. Định lý. 22
2.7. Mô hình xạ ảnh của không gian giả kn
Ε .23
2.7.1. Xây dựng mô hình. 23
2.7.2. Thể hiện khái niệm giả Euclide trên mô hình 24
2.8. Phép đồng dạng trong không gian kn
Ε – Hình học giả Euclide .27
2.8.1. Phương trình của phép đồng dạng – phép dời trong kn
Ε . 27
2.8.2. Định lý. 29
3. Hình học Lobachevsky .31
3.1 Định nghĩa .31
3.2. Một số quy ước. .31
3.3. Các định nghĩa. 32
3.4. Khái niệm vuông góc .32
3.5. Phương trình của phép dời hình trong Hn 33
3.6. Khoảng cách giữa hai điểm trong Hn 33
3.7. Góc giữa hai đường thẳng 34
Chương III: MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN .35
1. Mẫu đĩa Poincare và hình học Lobachevsky. .35
1.1. Mặt phẳng Hyperbolic trong mẫu đĩa Poincare .35
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 4
1.1.1. Các định nghĩa. 35
1.1.2. Khoảng cách mêtric trên mặt Hyperbolic 37
1.1.3. Định nghĩa khoảng cách Hyperbolic từ A đến B .37
1.1.4. Những đường thẳng song song. .38
1.1.5. Định lý. 38
1.1.6. Định lý. 39
1.1.7. Định lý Lobachevsky .39
1.1.8. Định lý. 41
1.1.9. Định lý .41
1.1.10. Định lý. 42
1.1.11. Định lý .42
1.1.12. Định lý Pythagorean Hyperbolic. 42
2. Mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare. .42
2.1. Các định nghĩa. 42
2.1.1. Điểm .42
2.1.2. Đường thẳng. .43
2.1.3. Phép nghịch đảo .43
2.1.4. Góc .43
2.1.5. Sự bằng nhau của các đoạn thẳng và các góc 44
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo. 48