Thạc Sĩ Một số tìm hiểu sâu thêm về lớp các vành nguyên tố

Đề tài: Một số tìm hiểu sâu thêm về lớp các vành nguyên tố
Lời cảm ơn
Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gửi đến PGS. TS. Bùi
Tường Trí, người thầy đã hướng dẫn, giúp đỡ tôi tận tình trong quá
trình thực hiện và hoàn thành luận văn này.
Kế đến, tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa
Toán – Tin học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
đã giảng dạy, truyền đạt kiến thức và giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình đào tạo ở trường.
Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp
khóa 17 đã nhiệt tình giúp đỡ, trao đổi và có những đóng góp tích cực
trong quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn.
Và cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình mình, đặc biệt
là bố mẹ đã cố gắng tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho việc học tập
và nghiên cứu cũng như đã luôn sát cánh động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian qua.
Bảng các kí hiệu toán học
!(#): vành tự đồng cấu nhóm cộng #.
%&(#): vành giao hoán của của ' trong #.
Hom&(#, ,): nhóm các '-đồng cấu môđun phải từ # đến ,.
End&(#): vành các tự đồng cấu '-môđun phải #.
'0: vành các ma trận vuông cấp 1 hệ số trên '.
#0
(2) = 20: vành các ma trận vuông cấp 1 lấy hệ số trên thể 2.
4&: phạm trù các '-môđun phải.
(#): bao nội xạ của môđun phải #&.
5(#): bao hữu tỉ của môđun phải #&.
6('): căn Jacobson của vành '.
7('): tâm của vành '.
%('): centroid của vành '.
8 = 8('): vành các thương (cổ điển) phải của vành '.
89 = 89:;('): vành các thương tối đại phải của vành '.
8
<
('): vành các thương Martindale phải của vành '.
8
=
('): vành các thương Martindale đối xứng của vành '.
% = 7(89): mở rộng centroid của vành '.
>(?), @(?): linh hóa tử trái, phải của tập ?.
A11(B): linh hóa tử của iđêan B. Mở đầu
Vành nguyên tố là lớp các vành không giao hoán đặc biệt. Càng nghiên cứu sâu thêm về chúng,
ta càng phát hiện ra nhiều tính chất thú vị. Chính điều này đã góp phần tác động đến việc chọn
nghiên cứu lớp các vành nguyên tố làm đề tài luận văn thạc sĩ của chúng tôi.
Tuy nhiên, như ta đã biết lớp các vành nguyên tố là một đề tài rất rộng lớn mà đối với trình độ
và kiến thức của bản thân tôi không thể bao quát hết. Xuất phát từ bài báo “Some comments on
Prime rings” của Herstein và Lance W. Small đăng năm 1979, chúng tôi thấy rằng lớp các vành
nguyên tố đặc biệt sẽ thỏa mãn một tính chất rất thú vị mà lớp các vành nguyên tố tổng quát nói
chung là chưa có. Cụ thể tính chất đó như thế nào cũng như nội dung của luận văn là gì sẽ được tôi
tóm lượt ngay sau đây.
Ta nhắc lại, vành ' được gọi là nguyên tố là nếu tích hai idean (hai phía) khác không luôn khác
không. Điều này tương đương với nếu A'C = 0 với A, C ∈ ' thì A = 0 ℎAH C = 0 ( tức là nếu
A@C = 0, ∀@ ∈ ' thì A = 0 hay C = 0).
Vấn đề được đặt ra là liệu có thể có A@C@J = 0, ∀@ ∈ ', ' là vành nguyên tố, và A ≠ 0, C ≠ 0,
J ≠ 0 trong ' hay không? Tổng quát hơn là ta có thể tìm được 1 phần tử khác không AL
, AM
, , A0
trong một vành nguyên tố ' sao cho AL@AM@ A0OL@A0 = 0, ∀@ ∈ ' hay không?
Posner và Schneider đã tìm cách giải quyết vấn đề trên và thu được một định lý về việc không
thể có hệ thức dạng AL@AM@ A0OL@A0 = 0 cho một lớp các vành nguyên tố liên quan và việc có
thể có hệ thức dạng trên cho lớp các vành nguyên tố khác. Dựa bài báo của Herstein và Small,
chúng tôi đã đưa kết quả này đi xa hơn thông qua ba định lý chính ở chương 3 của luận văn.
Để chứng minh hoàn chỉnh các định lý này ta cần đến hai định lý cũng không kém phần quan
trọng khác là định lý Goldie và định lý Martindale. Hai định lý này đều liên quan đến vành các
thương nhưng ở các dạng khác nhau. Định lý Goldie nói về vành các thương cổ điển của một vành.
Còn định lý Martindale thì nói về mở rộng centroid % của vành. Mà % chính là tâm của vành các
thương tối đại cũng chính là tâm của vành các thương Martindale đối xứng. Do đó ta sẽ dành
chương 2 để xây dựng các vành các thương này cũng như trình bày các tính chất của nó.
Tóm lại, luận văn này gồm 3 chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến iđêan, môđun, bao nội xạ, bao hữu tỉ
và centroid của môt vành; định nghĩa các vành không giao hoán đặc biệt, tính chất cũng như mối
liên hệ giữa chúng.
Chương 2. Vành các thương và tính chất của nó.
Chương này xây dựng các loại vành các thương: cổ điển, tối đại, Martindale phải và Martindale
đối xứng. Sau đó chứng mình một số tính chất cũng như mối liên hệ giữa chúng. Đồng thời trình
bày hai định lý quan trọng là Goldie và Martindale.
Chương 3. Một số vấn đề về vành nguyên tố.
Đây là phần chính của luận văn. Chương này trình bày và làm rõ các vấn đề được đặt ra trong
bài báo của I.N.Herstein và Lance.W.Small để thấy được lớp các vành nguyên tố nào có được tính
chất như đã nói ở trên còn lớp vành nào không thể có được điều này.
Phần cuối cùng là kết luận lại những gì đã làm được trong luận văn này cũng như những mặt còn
hạn chế chưa làm được của chúng tôi.
Mặc dù đã nỗ lực, cố gắng nhưng chúng tôi vẫn khó tránh khỏi những sai sót và hạn chế, kính
mong quý thầy cô, đồng nghiệp và bạn đọc sẵn lòng góp ý.
Xin chân thành cảm ơn. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các khái niệm cơ bản.
Định nghĩa 1.1.1. Tập con P ≠ ∅ của vành ' được gọi là iđêan phải nếu:
(1) ∀A, C ∈ P: A ư C ∈ P,
(2) A. @ ∈ P , ∀A ∈ P, ∀@ ∈ '.
Chú ý.
 Ta có định nghĩa tương tự cho iđêan trái.
 P được gọi là iđêan hai phía của ' nếu P vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải, ta gọi tắt P là
iđêan của '.
 Nếu P là một iđêan phải của ' thì (P: ') = {X ∈ ' ∣ 'X ⊂ P }
Định nghĩa 1.1.2. Các iđêan đặc biệt.
 Iđêan P của ' được gọi là iđêan nguyên tố nếu X, H ∈ ' ¥A] Jℎ] X'H ∈ P thì X ∈ P hoặc
H ∈ P.
 Iđêan phải (trái, hai phía) của ' được gọi là iđêan phải (trái, hai phía) tối đại nếu P không
nằm trong bất kì iđêan phải (trái, hai phía) thực sự của '.
 Iđêan phải (trái, hai phía) của ' được gọi là iđêan phải (trái, hai phía) tối tiểu nếu P không
chứa bất kì iđêan phải (trái, hai phía) thực sự của '.
 Iđêan phải P của ' được gọi là chính qui nếu ∀X ∈ ', ∃A ∈ ': X ư AX ∈ P.
 Iđêan phải P của ' được gọi là cốt yếu nếu P có giao khác (0) với mọi iđêan phải khác rỗng
của '.
 Phần tử A ∈ ' được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên _ sao cho A
9 = 0.
 Iđêan phải (trái, hai phía) của ' được gọi là nil-iđêan phải (trái, hai phía) nếu mọi phần tử
của nó đều lũy linh.
 Iđêan phải (trái, hai phía) ` của ' được gọi là iđêan phải (trái, hai phía) lũy linh nếu tồn tại
số nguyên _ sao cho ALAM A9 = 0 với mọi m phần tử Aa ∈ `.
Nhận xét .  Iđêan phải ` là lũy linh nếu tồn tại số nguyên _ sao cho `
9 = (0).
 Nếu ` là lũy linh thì ` là nil-iđêan (điều ngược lại nói chung là không đúng).
 Tổng của hai iđêan lũy linh là lũy linh, điều này cũng đúng cho tổng hữu hạn các iđêan lũy
linh.
Định nghĩa 1.1.3. Cho b là một trường (tổng quát hơn là một thể), không gian vectơ phải c trên b
là một tập với hai phép toán: +: c × c ⟶ c và . ∶ c × b ⟶ c sao cho:
(1) phép cộng giao hoán: h + i = i + h, ∀h, i ∈ c,
(2) phép cộng có tính kết hợp: (h + i) + j = h + (i + j), ∀h, i, j ∈ c,
(3) phép cộng có đơn vị: tồn tại 0 ∈ c sao cho h + 0 = 0 + h = h, ∀h ∈ c,
(4) tồn tại phần tử đối: ∀h ∈ c, ∃i ∈ c: h + i = 0,
(5) phép nhân ngoài có tính kết hợp: ∀h ∈ c, ∀A, C ∈ b, (hA)C = h(AC),
(6) phân phối với phép nhân ngoài: ∀h ∈ c, ∀A, C ∈ b, h(A + C) = hA + hC,
(7) phân phối với phép cộng: ∀h, i ∈ c, ∀A ∈ b, (h + i)A = hA + iA,
(8) đơn vị của phép nhân ngoài: ∀h ∈ c, h1 = h.
Nhận xét.
 Ta gọi tắt không gian vectơ phải là không gian vectơ.
 Nếu P là một iđêan phải của b thì tự nhiên P sẽ trở thành một không gian vectơ trên b.
Định nghĩa 1.1.4. Cho ' là một vành, nhóm cộng Abel # được gọi là một R-môđun phải nếu có
một ánh xạ từ # × ' vào # biến cặp (_, @) thành _@ sao cho:
(1) _(@L + @M
) = _@L + _@M,
(2) (_L + _M
)@ = _L@ + _M@,
(3) (_@L
)@M = _(@L@M).
với mọi _, _L
, _M ∈ # và @, @L
, @M ∈ '.
Chú ý.
 Ta dùng “'-môđun” để gọi tắt cho “'-môđun phải”.
 Nếu # là R-môđun thì B(#) = {X ∈ ' ∣ #X = (0) }.
Định nghĩa 1.1.5. # là R-môđun trung thành nếu #@ = (0) thì @ = 0. Bổ đề 1.1.6. B(#) là Iđêan của ' và # là
'
B(#)
k - môđun trung thành.
Định nghĩa 1.1.7. # được gọi là '- môđun bất khả qui nếu #' ≠ (0) và # chỉ có hai môđun con
tầm thường là (0) và #.
Bổ đề 1.1.8. (Bổ đề Schur). Nếu # là '-môđun bất khả qui thì %&(#) là một thể (vành có mọi
phần tử khác 0 đều khả nghịch).
Bổ đề 1.1.9. Nếu # là '- môđun bất khả qui thì # đẳng cấu với môđun ' `⁄ với ` là một iđêan
phải tối đại nào đó của '. Hơn nữa, tồn tại A ∈ ' sao cho X ư AX ∈ `, ∀X ∈ ' ( khi đó ` được gọi
là iđêan phải chính qui). Ngược lại, nếu ` là một iđêan phải chính qui của ' thì ' `⁄ là '-môđun
bất khả qui.
Nhận xét. Nếu ' là vành có đơn vị thì mọi iđêan phải tối đại của ' đều chính qui.
Vành giao hoán tử.
Cho # là R-môđun, A ∈ ', ánh xạ m:: # → # cho bởi _m: = _A, _ ∈ # là đồng cấu nhóm
cộng. Kí hiệu !(#) là tập tất cả các tự đồng cấu nhóm cộng của #. !(#) là một vành với các
phép toán cộng và nhân các đồng cấu nhóm.
Xét ánh xạ o: ' → !
(#), o(A) = m:, A ∈ ' . o là đồng cấu vành. Mà pq@o = B(#) nên
'
B(#)
k ≅ P_o.
Bổ đề 1.1.10.
'
B(#)
k đẳng cấu với vành con của vành !(#).
Đặc biệt, nếu # là R-môđun trung thành thì B(#) = (0), khi đó o là đơn cấu nhúng ' vào
!(#) như là một vành con nếu ta đồng nhất A ≡ m:, A ∈ '.
Định nghĩa 1.1.11. Vành giao hoán tử của ' trong # là
%&
(#) = { t ∈ !
(#) ∣ m:t = tm:, ∀A ∈ '}.
Rõ ràng %&(#) là vành con của !(#) . Với t ∈ %&
(#), ∀_ ∈ #, ∀A ∈ ' ta có: (_A)t =
_m:t = _tm: = (_t)A. Do đó t là đồng cấu môđun. Như vậy ta đồng nhất %&(#) như là vành
các tự đồng cấu môđun của #, %&
(#) = End&#.
Centroid của một vành. Cho ' là một vành và gọi !(') là vành các tự đồng cấu của nhóm cộng '. Với A ∈ ' ta định
nghĩa các ánh xạ m:: ' → ' bởi Xm: = XA và u:: ' → ' bởi Xu: = AX. Với A, C ∈ ' thì m:, uv nằm
trong !('). Gọi w(') là vành con của !(') sinh bởi tất cả các ánh xạ m: và uv với A, C ∈ '. Ta
thường gọi w(') là vành nhân của '.
Định nghĩa 1.1.12. Centroid của vành ' là tập các phần tử trong !(') giao hoán từng phần tử
với w('), ta kí hiệu là %(').
Nhận xét. Lấy x ∈ %('), với X, H ∈ ' ta có
(XH)x = yXmz{x = Xymzx{ = Xxmz = (Xx)H
(XH)x = (Hu;
)x = H(u;x) = H(xu = X(Hx)
Suy ra x là một (', ')-đồng cấu song môđun. Như vậy centroid của vành ' là vành các tự đồng cấu
song môđun.
Định nghĩa 1.1.13. B được gọi là đại số trên trường b nếu B thỏa các điều kiện sau:
(1) B là một vành.
(2) B là không gian vectơ trên b.
(3) ∀A, C ∈ B, ∀¦ ∈ b thì (AC)¦ = A(C¦) = (A¦)C.
Nhận xét. Nếu B có đơn vị là 1 thì ¦. 1 với ¦ ∈ b nằm trong tâm của B.
Định nghĩa 1.1.14. Căn Jacobson của vành ', kí hiệu 6(') là tập hợp các phần tử của ' linh hoá
tất cả các môđun bất khả qui trên '. Nếu ' không có môđun bất khả qui thì ta qui ước 6(') = ' và
gọi là vành radical.
Theo định nghĩa ta có 6(') =∩ B(#), với # chạy khắp các '-môđun bất khả qui là một iđêan
hai phía của '.
Bổ đề 1.1.15. Nếu ` là iđêan phải tối đại chính qui của ' thì (`: ') = B('/`).
Định lý 1.1.16. 6(') =∩ (`: ') với ` chạy khắp các iđêan phải tối đại chính qui và (`: ') là iđêan
hai phía lớn nhất của ' nằm trong `.
Bổ đề 1.1.17. Nếu ` là một iđêan phải chính qui của ' thì ` nằm trong một iđêan phải tối đại chính
qui nào đó của '.
Định lý 1.1.18. 6(') =∩ ` với ` chạy khắp các iđêan phải tối đại chính qui của '.
Nhận xét.  6(') chứa mọi nil-iđêan một phía của '.
 Nếu B là iđêan của vành ' thì 6(B) = B ∩ 6(').
Định lý 1.1.19. 6('/6(')) = (0).
Định lý 1.1.20. Kí hiệu '0 là vành các ma trận vuông cấp n trên '. Khi đó
6('0
) = 6(')
0
Môđun nội xạ và bao nội xạ.
Định nghĩa 1.1.21. Môđun P được gọi là nội xạ nếu với bất kỳ đơn cấu ’: B → w của những '-
môđun và bất kỳ '-đồng cấu t: B → P thì tồn tại một '-đồng cấu ℎ: w → P sao cho t = ℎ’, nghĩa là
biểu đồ sau giao hoán
Nhận xét.
 Tích trực tiếp P = ∏‘ P‘ của các '-môđun là nội xạ khi và chỉ khi mỗi P‘ là nội xạ.
 '-môđun P là nội xạ khi và chỉ khi bất kỳ '-đồng cấu P → # đều chẻ trong 4&. Do đó nếu P
là nội xạ thì với mọi mở rộng 6 ⊃ P ta có 6 = P⨁, với , là một môđun con nào đó của 6.
Định nghĩa 1.1.22. '-môđun P ⊃ # được gọi là một mở rộng nội xạ tối tiểu của môđun # nếu:
(1) P là nội xạ,
(2) # ⊂ P′ ⊂ P và P′ ≠ P thì I’ không nội xạ.
Định nghĩa 1.1.23. '-môđun ⊃ # được gọi là một mở rộng cốt yếu của # nếu mọi môđun con
khác (0) của giao không tầm thường với #. Một mở rộng cốt yếu ⊃ # được gọi là tối đại nếu
không có môđun nào thực sự chứa là mở rộng cốt yếu của #.
Chú ý.
 ⊃ # là một mở rộng cốt yếu, ta có thể gọi # là một môđun con cốt yếu của , kí hiệu là
# ⊂¡ .
 # ⊂¡ khi và chỉ khi với bất kỳ phần tử khác không A ∈ tồn tại @ ∈ ' sao cho 0 ≠ A@ ∈
#.
0 A B
I
h
t
’