Tiến Sĩ Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NĂM 2014

Mở đầu 6
Chương 1. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 15
1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach 15
1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21
1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh 21
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu 22
1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình toán tử Uư đơn điệu . 27
1.3. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 28
1.3.1. Bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 28
1.3.2. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu . 35

Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu 42
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải 42
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải và nhiễu toán tử 48
12.3. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử tuyến tính liên tục . 54
2.4. Một số kết quả tính toán . 65
2.4.1. Quy tắc dừng lặp và kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử tuyến tính . 65
2.4.2. Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử phi tuyến 76

Chương 3. Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử Uư đơn điệu và liên tục Lipschitz trên
không gian Banach 81
3.1. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử Uư đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81
3.2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh . 89
3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . 97
3.4. Một số kết quả tính toán . 99

Kết luận . 106


Mở đầu
Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở lên vô nghiệm. Lớp các bài toán trên được gọi là lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặt
không chỉnh.
Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J. [45] đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic. Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình A(x) = f, (1)
ở đây, A là toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y .
Theo Hadamard bài toán (1) được gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Phương trình (1) có nghiệm x 0 với mọi f ∈ Y ;
2. Nghiệm x 0 được xác định một cách duy nhất;
3. Nghiệm x 0 phụ thuộc liên tục vào f.
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. 6Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến những sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán (1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Do lớp bài toán đặt không chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như V. K. Ivanov, M. M. Lavrentiev, A. N. Tikhonov .Một số nhà toán học
Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh như: P. K. Anh, Ng. Bường, Đ. N. Hào, Đ. Đ. Trọng .
Để giải số bài toán đặt không chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đưa về bài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong một tập compact lồi M và ảnh A(M) = N, sao cho khi f xấp xỉ bởi f δ ∈ N ta vẫn có nghiệm x δ thỏa mãn Ax δ ∈ N. Do số liệu xấp xỉ là số liệu không chính xác, nên có thể xấp xỉ f δ lại không nằm vào tập A(M).
Khi đó, phương trình A(x) = f δ không có nghiệm theo nghĩa thông thường. Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K. (xem [51], [52]) đã đưa ra khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1). Theo Ivanov phần tử ˜x ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf x∈M
ρ Y (A(x), f) được gọi là tựa nghiệm của (1) trên tập M, trong trường hợp M là tập compact của X, thì với mọi f ∈ Y bao giờ cũng tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A(M) thì tựa nghiệm chính là nghiệm thông thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm thông thường có thể không duy nhất.
Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi không nằm trong A(M)


Tài liệu tham khảo
[1] Anh,Ph.K., Buong,Ng. (2005), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất
bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nghia,H.L. (2009), Về bài toán chụp cắt lớp của máy CT-
Scanner, [http://***********/xem-tai-lieu/ve-bai-toan-chup-cat-lop-
cua-may-ct-scanner.41697.html, truy cập ngày 11/10/2010].
[3] Agarwal, R.P., O’Regan.D. and Sahu.D.R. (2009), Fixed point the-
ory for Lipschitz type mappings with applications, Springer.
[4] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P. (1979), On solutions of nonlinear prob-
lems involving monotone discontinuous operators, Uravnenia.
[5] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P. (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems
of Monotone Types, Springer verlag Publishers.
[6] Andrew,J.K., Michael,Z. (2004), Convex functional analysis, Ger-
many.
[7] Anh,Ph.K., Chung,C.V. (2009), Parallel iterative regularization
methods for solving systems of ill-posed equations, Appl. Math. Com-
put, 212(2), 542-550.
[8] Bakushinky,A.B., Goncharsky,A. (1994), Ill-posed problems: Theory
and Aplications, Kluwer Academic.
107[9] Bakushinky,A.B., Smirnova,A. (2006), A posteriori stopping rule for
regularized fixed point iterations, Nonl. Anal, 64(6), 1255-1261.
[10] Bakushinky,A.B., Smirnova,A. (2005), On application of general-
ized discrepancy principle to iterative methods for nonlinear ill-posed
problems, Numer. Funct. Anal. Optim, 26(1), 35-48.
[11] Bakushinsky,A.B. (1992), The Problem of the convergence
of the iteratively regularized Gauss-Newton method, Com-
put.Math.Math.Phys, 32(9), 1353-1359.
[12] Bakushinsky,A.B., Poljak,B.T. (1974), The solution of variational
inequalities, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1038-1041 (in Russian).
[13] Barbu,V. (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in
Banach spaces, Noordhoff Internal. Publ. Leyden Netherlands. Ed.
Acad. Bucurest, Romania.
[14] Barbu,V. (1975), Convexity and optimization in Banach spaces, Ed-
itura Academiei R.S.R. Bucurest.
[15] Baumeister,J., Kaltenbacher,B., Leitão,A. (2010), On Levenberg-
Marquardt - Kaczmarz methods for regularizing systems of nonlinear
ill-posed equations, Inverse Problems and Imaging, 335-350.
[16] Boonchari,D., Saejung,S. (2009), Weak and strong convergence the-
orems of an implicit iteration for a countable family of continuous
pseudocontractive mappings, Journal of Computational and Applied
Mathematics, 233(4), 1108-1116.