Thạc Sĩ Một số phương pháp giải hệ phương trình ở bậc trung học

4
MỞ ĐẦU
I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một bộ môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và
các phép biến đổi. Toán học là môn học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và
được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tương đối khó, mang tính tư
duy cao, đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu. Kiến
thức về phương trình, hệ phương trình trong chương trình toán ở bậc trung học là một nội
dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác
trong chương trình toán học, vật lý học, hóa học, sinh học của bậc học này.
Trong chương trình toán của bậc trung học, bắt đầu từ lớp 9 học sinh được học về
hệ phương trình, bước đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Cùng với đó học
sinh được học các quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”,
“Quy tắc cộng đại số”. Và được tìm hiểu thêm các phương pháp giải hệ phương trình
khác ở bậc THPT. Các hệ phương trình có các cách giải tùy thuộc vào đặc điểm riêng
của hệ, không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ này là hệ
phương trình không mẫu mực. Việc giải các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi
học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương đương một hệ phương
trình, đặc biệt phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng của từng hệ để từ
đó có những cách biến đổi hợp lý, nhờ đó mới giải được hệ.
Mặc dù trong chương trình toán ở bậc trung học đã trang bị cho học sinh khá đầy
đủ kiến thức về phương trình, hệ phương trình đại số cùng các phương pháp giải. Tuy
nhiên, các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực hầu như không được đề
cập đến trong sách giáo khoa và ngay cả hệ thống sách tham khảo dành cho học sinh
trung học. Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi
viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực hầu như không có,
chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng khi dạy đến chuyên đề
này và thường lướt qua bằng một số ví dụ minh họa chưa làm rõ được những đường
lối chung để giải các hệ phương trình không mẫu mực. Trong khi đó, việc giải hệ
phương trình không mẫu mực đòi hỏi yêu cầu cao ở học sinh, qua đó đánh giá được
trình độ kiến thức của học sinh, phân loại được đối tượng học sinh. Chính vì vậy, trong
các kỳ thi học sinh giỏi môn toán,kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hay các kỳ thi tuyển
sinh đại học, cao đẳng luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ 5
phương trình không mẫu mực nhưng đa phần các em đều sợ và bỏ qua, thậm chí
không đọc đề khi gặp những bài toán liên quan đến hệ phương trình.
Việc tìm ra các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực phục vụ rất
nhiều cho các em học sinh yêu thích môn toán.
Xuất phát từ những lý do mang tính lý luận và thực tiễn trên mà tôi chọn đề tài:
“Một số phương pháp giải hệ phương trình ở bậc trung học”.
II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề tài này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp, hệ thống các phương pháp thường được
sử dụng để giải các hệ phương trình không mẫu mực thường gặp ở các kỳ thi chọn học
sinh giỏi, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hay kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng
III - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là hệ thống các phương pháp giải hệ phương
trình từ đơn giản đến không mẫu mực, những điểm học sinh cần lưu ý khi tiến hành
giải hệ phương trình loại này.
IV - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Chỉ ra được kiến thức về các hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm
vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.
- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình có sự sắp xếp hợp lý,
logic về mặt tư duy kiến thức bộ môn.
- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp theo từng phương pháp cụ thể.
V - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để hoàn thiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
ã Phân tích, tổng hợp, khai thác để tổng quan các công trình khoa học về các vấn
đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài, xây dựng nên hệ thống phương pháp giải hệ
phương trình thường gặp ở bậc trung học.
ã Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo chuyên đề hệ phương trình.
ã Tham khảo từ Internet.
ã Tham khảo ý kiến giảng viên hướng dẫn.
ã Quan sát, học hỏi, tiếp thu từ những hoạt động thực tập, thực tế.
VI - Ý NGHĨA LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
* Về lý luận: Đào sâu tìm hiểu một số phương pháp giải hệ phương trình để có một kết quả
nhanh và hiệu quả nhất.
* Về thực tiễn:
- Giúp học sinh trung học học tập tốt chuyên đề hệ phương trình.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận
dụng nó để giải bài tập liên quan đến hệ phương trình.
- Gây hứng thú cho học sinh khi giải các bài tập hệ phương trình trong sách giáo
khoa, sách tham khảo và các đề thi.
VII - BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI
Bố cục của đề tài bao gồm:




Mục lục




Phần mở đầu




Phần nội dung
- Chương I: Một số hệ phương trình đơn giản thường gặp
- Chương II: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.




Phần kết luận




Tài liệu tham khảo.




2
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN . 1
MỤC LỤC . 2
MỞ ĐẦU . 4
I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI . 4
II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 5
III - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 5
IV - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU . 5
V - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5
VI - Ý NGHĨA LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 5
VII - BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI . 6
NỘI DUNG . 7
CHƯƠNG I: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP 7
I. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN . 7
II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN . 8
III. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH
KHÁC . 10
IV. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI I 11
V. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI II 13
VI. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐẲNG CẤP 15
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
MẪU MỰC . 17
I - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG . 17
1.1. Nội dung phương pháp: 17
1.2. Một số bài tập minh họa: . 17
II - PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ . 20
2.1. Nội dung phương pháp: 20
2.2. Một số bài tập minh họa: . 20
III - PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 26
3.1. Nội dung phương pháp: 26
3.2. Một số bài tập minh họa: . 26
IV - PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 29 4.1. Nội dung phương pháp: 29
4.2. Một số bài tập minh họa : 29
V - PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 31
5.1. Nội dung phương pháp: 31
5.2. Một số bài tập minh họa: . 33
VI - PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH . 35
6.1. Nội dung phương pháp: 35
6.2. Một số bài tập minh họa: . 36
VII - PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 41
7.1. Nội dung phương pháp: 41
7.2. Một số bài tập minh họa: . 41
VIII - PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 45
8.1. Nội dung phương pháp: 45
8.2. Một số bài tập minh họa: . 46
IX - PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HOÁN VỊ VÒNG QUANH 47
9.1. Nội dung phương pháp: 47
9.2. Một số bài tập minh họa: . 47
KẾT LUẬN . 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 49