Tiến Sĩ Một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
NĂM 2014

Mục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Mục lục . 3
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 5
MỞ ĐẦU . 7
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài 7
2. Mục đích nghiên cứu 12
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . 12
4. Phương pháp nghiên cứu 12
5. Kết quả của luận án 13
6. Cấu trúc của luận án 15
Chương 1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 16
1.1. Các khái niệm và các kết quả cơ bản . 16
1.2. Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng 21
1.3. Bài toán cân bằng tương đương 28
1.4. Bài toán cân bằng hai cấp . 31
Chương 2.MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG
GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN
BẰNG HAI CẤP . 33
2.1. Đặt bài toán 37
2.2. Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng . 41
2.3. Áp dụng vào bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình
cân bằng thị trường điện bán độc quyền . 49
2.4. Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu . 53
2.5. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng . 61
Chương 3. KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ
HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP 77
3.1. Đặt bài toán 77
3.2. Phương pháp hàm phạt 78
3.3. Hàm đánh giá và hướng giảm . 84
3.4. Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 91
KẾT LUẬN. 95
1. Kết quả đạt được 95
2. Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo 96
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN 97
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 98

MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Sự cân bằng (equilibrium) thường được hiểu như là một trạng thái đồng
đều nhau giữa những lực lượng đối lập nhau hay giữa những đối tượng có ảnh
hưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc lẫn nhau. Thuật ngữ này được sử dụng
rộng rãi trong nhiều ngữ cảnh khoa học và kỹ thuật như trong Vật lí, Hóa học,
Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, v.v . Trong Vật lí, trạng thái cân bằng của một
hệ, theo thuật ngữ cơ học cổ điển, xảy ra khi hợp lực tác động lên hệ bằng
không và trạng thái này được duy trì trong một khoảng thời gian dài. Trong
Hóa học, cân bằng hóa học xảy ra khi tốc độ của phản ứng thuận bằng với tốc
độ của phản ứng nghịch, trong Sinh học, cân bằng sinh thái là trạng thái ổn
định tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới sự thích nghi cao nhất với điều kiện
sống, trạng thái này thường xảy ra khi tương quan lực lượng giữa con mồi và
thú săn mồi trong hệ sinh thái đó có tỉ lệ tương đồng với nhau.
Trong Kinh tế học, cân bằng kinh tế là một khái niệm cơ bản nhưng đồng
thời cũng là động lực và là mục đích của mỗi nền kinh tế. Một ví dụ đơn giản
về lĩnh vực này là ở một thị trường xác định có sản xuất và tiêu thụ đồng
nhất một loại hàng hóa. Sức mua của thị trường phụ thuộc vào giá cả của
mặt hàng đó trên thị trường, nói một cách chính xác hơn, nếu mặt hàng được
bán ở mức giá p thì hàm cầu của thị trường là D(p), trong khi đó các nhà sản
xuất có thể cung cấp lượng hàng ở mức giá p là S(p) và ta có hàm vượt cầu là
E(p) = D(p) ư S(p). Sự cân bằng xảy ra ở mức giá p∗ nếu E(p∗) = 0, tức là
lượng cung bằng lượng cầu, điều này cũng giống như sự cân bằng xảy ra trong
cơ học khi hợp lực tác động lên hệ bằng không.
Có nhiều bài toán liên quan đến sự cân bằng có thể được nhìn nhận trong
một thể thống nhất qua các mô hình toán học khác nhau của nó, chẳng hạn
như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash
trong các trò chơi không hợp tác, v.v . Ngược lại, nếu có nhiều mô hình cùng
nằm trong một cấu trúc thống nhất sẽ cho phép thiết lập một công thức chung
cho cấu trúc thống nhất đó và do vậy chúng ta có thể phát triển các nghiên
cứu về lý thuyết cũng như thuật toán cho thể thống nhất chung đó mang lại
khả năng ứng dụng rộng lớn hơn các mô hình riêng lẻ. Mô hình chung cho bài
toán cân bằng EP(C, f) đó là
Tìm x∗ ∈ C sao cho f(x∗, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C,
trong đó C ⊆ H là một tập lồi đóng và f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm
cân bằng, tức là f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C.
Công thức này được đưa ra lần đầu tiên bởi H. Nikaido và K. Isoda năm
1955 [53] khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp
tác, được Ky Fan giới thiệu năm 1972 [29] và thường được gọi là bất đẳng thức
Ky Fan, tuy nhiên nó có tên gọi là bài toán cân bằng (equilibrium problem)
theo cách gọi của các tác giả L. D. Muu và W. Oettli [49] năm 1992, E. Blum
và W. Oettli [16] năm 1994. Bài toán cân bằng bao hàm nhiều lớp bài toán
quen thuộc như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán
điểm bất động, bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp
tác, bài toán tối ưu véc tơ, v.v . [15, 16, 33, 49]. Nó là một mô hình toán học
thống nhất cho nhiều lớp bài toán quan trọng riêng lẻ. Vì vậy, các kết quả thu
được về bài toán cân bằng được áp dụng trực tiếp cho các bài toán đặc biệt
của nó, ngược lại, nhiều kết quả của mỗi bài toán riêng lẻ nói trên có thể mở
rộng cho bài toán cân bằng với những điều chỉnh phù hợp nhờ đó nó có thể
mang lại nhiều ứng dụng hơn.
Các hướng nghiên cứu thường được đặt ra đối với bài toán cân bằng là:
nghiên cứu những vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm,
tính ổn định [13, 27, 36, 49, 65] và nghiên cứu định lượng bao gồm xây dựng
các thuật toán để giải, tốc độ hội tụ của các thuật toán [9, 18, 41, 44, 46, 47,
54, 55, 56] và áp dụng bài toán này vào trong các bài toán thực tế [46, 48].
Trong các vấn đề nêu trên, thì việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp
giải chiếm một tỉ trọng lớn trong các hướng nghiên cứu về bài toán cân bằng.
Tính đến nay, đã có nhiều kết quả đạt được cho một số lớp bài toán cân
bằng lồi và đơn điệu, trong đó phải kể đến các phương pháp: phương pháp
hàm đánh giá (gap function method), phương pháp sử dụng nguyên lý bài
toán phụ (auxiliary subproblem principle method), phương pháp điểm gần
kề (proximal point method), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Tikhonov
regularization method), phương pháp điểm trong và các phương pháp chiếu
(projection methods). Trong các phương pháp đó thì phương pháp chiếu đóng
một vai trò quan trọng vì sự đơn giản và thuận tiện khi tính toán. Các thuật
toán chiếu cho bài toán cân bằng thường được phát triển từ các thuật toán
chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán khác [15, 47],
trong các thuật toán chiếu đó thì thuật toán chiếu cho bài toán bất đẳng thức
biến phân được đề xuất bởi M. V. Solodov và B. F. Svaiter [59] (gọi là thuật
toán Solodov-Svaiter) có nhiều đặc điểm nổi bật, đó là nó có thể áp dụng được
cho một lớp khá rộng các bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F) với
toán tử F chỉ cần đòi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm, tính liên tục, mà
không nhất thiết phải có tính chất Lipchitz. Ngoài ra, cũng theo [59] thì nói
chung, số các bước lặp giải bài toán VIP(C, F) theo thuật toán này là ít hơn
đáng kể so với các thuật toán khác.
Từ những đặc điểm nổi bật của thuật toán Solodov-Svaiter cho bài toán
VIP(C, F) ở trên, dẫn đến việc mở rộng thuật toán này cho bài toán cân bằng
EP(C, f) là hết sức cần thiết. Đây là một vấn đề sẽ được giải quyết trong luận
án.
Ngoài các phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng thì các phương pháp
hiệu chỉnh đóng một vai trò quan trọng vì nó cho phép giải quyết các bài toán
đặt không chỉnh (ill-posed problem) theo nghĩa nghiệm của nó không duy nhất,
hoặc không phụ thuộc liên tục theo các dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi
nhỏ của các dữ liệu đầu vào của bài toán có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn
của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Người
có công đặt nền móng cho lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh đó là A. N.
Tikhonov [63, 64], do tầm quan trọng của lý thuyết này mà đã có nhiều nhà
toán học nước ngoài như A. N. Tikhonov, V. Y. Arsenin [63, 64], v.v . và các
nhà toán học trong nước như P. K. Anh, N. Bường [1], L. D. Mưu [32], N. D.
Yên [62], v.v ., dành nhiều công sức nghiên cứu. Năm 2006, phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov (Tikhonov regularization method) đã được áp dụng cho bài
toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu trong không gian hữu hạn chiều
bởi N. T. Hao [31] và đã được nhóm các tác giả N. N. Tâm, J. C. Yao và N.
D. Yên [62] mở rộng các kết quả đó ra trong không gian Hilbert. Gần đây,
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov đã được mở rộng cho bài toán cân bằng giả
đơn điệu bởi các tác giả P. G. Hưng và L. D. Mưu [32]. Việc áp dụng phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov vào các bài toán cân bằng hay bất đẳng thức biến
phân dẫn đến bài toán tối ưu MNEP(C, f) sau min{kx ư xgk : x ∈ Sf }
với xg ∈ C là một điểm chọn trước (đóng vai trò là nghiệm phỏng đoán) và
Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Với các giả thiết về tính
liên tục và tính đơn điệu của song hàm f thì tập ràng buộc Sf là một tập lồi
đóng. Nhưng vì nó không được cho dưới dạng tường minh nên theo S. Boyd và
L. Vandenberghe (xem [17, section 4.2]), MNEP(C, f) là một bài toán tối ưu
không lồi. Bằng cách kết hợp giữa thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng với
kỹ thuật siêu phẳng cắt [61] ta thu được thuật toán cho bài toán MNEP(C, f).
Cùng với việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải bài toán bất đẳng
thức biến phân, các nhà toán học còn quan tâm tới bài toán bất đẳng thức
biến phân hai cấp BVIP(C, F,G) Tìm x∗ ∈ SF sao cho hG(x∗), y ư x∗i ≥ 0, ∀y ∈ SF .
Bằng cách phát triển các kỹ thuật lai ghép giữa phương pháp đạo hàm tăng
cường với kỹ thuật siêu phẳng cắt (hybrid extragradient-viscosity methods),
P. E. Maingé (xem [38, 39]) vào năm 2008 đã xây dựng được các thuật toán
giải bài toán bất đẳng thức biến phân liên tục Lipschitz và đơn điệu mạnh trên
tập S là giao giữa tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu
và liên tục Lipschitz với tập các điểm bất động của ánh xạ demicontractive.
Do đó, việc mở rộng các thuật toán này cho những lớp bài toán tổng quát hơn
như bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và Lipschitz trên tập
nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu là hết sức cần thiết. Vấn đề này
cũng sẽ được nghiên cứu trong luận án.