Thạc Sĩ Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng

Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Danh sách ký hiệu . iv
Mở đầu 1
Chương 1. Các phép biến hình trong mặt phẳng . 2
1.1. Kiến thức chuẩn bị 2
1.2. Phép tịnh tiến . 3
1.3. Phép đối xứng qua đường thẳng . 6
1.4. Phép quay xung quanh một điểm 8
1.5. Phép dời hình 10
1.6. Phép vị tự . 13
1.7. Phép đồng dạng 20
1.8. Phép nghịch đảo . 22
Chương 2. Các phép biến hình trong không gian 25
2.1. Phép tịnh tiến . 25
2.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng . 29
2.3. Phép quay xung quanh một đường thẳng . 32
2.4. Phép dời hình 33
2.5. Phép vị tự . 38
2.6. Phép đồng dạng 43
2.7. Phép nghịch đảo . 46
Kết luận . 49
Tài liệu tham khảo . 50iv
Danh sách ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng một số ký hiệu sau.
⊥ Vuông góc.
// Song song.
∩ Giao nhau.
≡ Trùng nhau.
|~v| Độ dài véc tơ ~v.
ΔABC Tam giác ABC.
T ~v Phép tịnh tiến theo véc tơ ~v.
D Δ Phép đối xứng qua đường thẳng Δ.
D P Phép đối xứng qua mặt phẳng P.
Q α
O
Phép quay tâm O, góc quay α.
Q α
Δ
Phép quay xung quanh đường thẳng Δ, góc quay α.
D Phép dời hình.
V k
I
Phép vị tự tâm I, tỉ số k.
D (k) Phép đồng dạng tỉ số k.
N k
I
Phép nghịch đảo cực I, phương tích k.1
Mở đầu
Các phép biến hình là công cụ hữu hiệu và quan trọng trong việc
nghiên cứu Hình học sơ cấp. Ở chương trình phổ thông, học sinh đã
được làm quen với một số phép biến hình trong mặt phẳng như phép
tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự, Các phép biến
hình giúp ta giải quyết được một số dạng toán: Chứng minh, quĩ tích,
dựng hình, cực trị, Một cách tự nhiên ta có thể mở rộng các phép biến
hình trong mặt phẳng sang các phép biến hình trong không gian. Mục
đích chính của luận văn là trình bày một số phép biến hình trong không
gian và đưa ra một số ví dụ áp dụng. Để thấy được sự mở rộng từ các
phép biến hình trong mặt phẳng sang các phép biến hình trong không
gian luận văn trình bày hệ thống lại một số kết quả của phép biến hình
trong mặt phẳng.
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 2 chương:
Chương 1 Phép biến hình trong mặt phẳng. Trong Chương 1, chúng
tôi trình bày một số phép biến hình trong mặt phẳng và 24 bài toán sử
dụng phép biến hình để giải.
Chương 2 Phép biến hình trong không gian.Trong Chương 2, chúng
tôi trình bày một số phép biến hình trong không gian và mở rộng 24 bài
toán hình học phẳng sang bài toán hình học trong không gian.2
Chương 1
Các phép biến hình trong mặt
phẳng
Chương này trình bày một số phép biến hình cơ bản trong mặt phẳng
và một số ví dụ áp dụng. Mục đích của việc trình bày chương này là hệ
thống lại các phép biến hình trong mặt phẳng để từ đó mở rộng tương
ứng sang các phép biến hình trong không gian.
1.1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Định nghĩa (Phép biến hình). Trong mặt phẳng (không gian) cho
một quy tắc f. Với mỗi điểm M bất kì, theo quy tắc f ta xác định được
duy nhất điểm M
0
. Khi đó ta nói M
0
là ảnh của M qua quy tắc f và
được kí hiệu f : M → M
0
. Điểm M được gọi là tạo ảnh của M
0
, f được
gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng (phép biến hình trong không
gian).
1.2. Định nghĩa (Phép biến hình 1-1). Ta biết rằng mỗi ảnh của một
điểm M qua phép biến hình f có thể có nhiều tạo ảnh khác M. Nếu mỗi
ảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là phép
biến hình 1 ư 1.
1.3. Định nghĩa (Phép biến hình đồng nhất). Ta nói f là phép biến
hình đồng nhất, nếu f biến mọi điểm M thành chính M.
1.4. Định nghĩa (Phép biến hình ngược). Giả sử f : M → M
0
với mọi
điểm M trong mặt phẳng (không gian). Nếu tồn tại một phép biến hình
g biến M
0
thành M, thì ta nói g là phép biến hình ngược của f và f là
phép biến hình có ngược.
1.5. Định nghĩa (Tích của phép biến hình). Tích của hai (hoặc nhiều)3
phép biến hình là một phép biến hình nhận được từ việc thực hiện liên
tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến hình đã cho.
1.6. Định nghĩa (Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng
bất động của một phép biến hình). Ta nói O là một điểm bất động (hoặc
điểm kép) của một phép biến hình f, nếu f biến O thành O.
Ta nói đường thẳng d là bất động (hoặc kép hoàn toàn) của một phép
biến hình f, nếu mọi điểm thuộc d là điểm bất động của f.
Ta nói mặt phẳng (P) là bất động (hoặc kép hoàn toàn) của một
phép biến hình f, nếu mọi điểm thuộc (P) là điểm bất động của f.
Ta nói đường thẳng d (mặt phẳng (P)) là bất biến của một phép biến
hình f, nếu f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P)) thành chính
nó. Khi đó đường thẳng d (mặt phẳng (P)) còn được gọi là đường thẳng
kép (hoặc mặt phẳng kép).
1.7. Định nghĩa (Phép biến hình đối hợp). Phép biến hình f được gọi
là phép biến hình có tính chất đối hợp nếu f(M) = M
0
, f(M
0
) = M
00
thì
M
00 ≡ M.
1.8. Định nghĩa (Góc định hướng). Góc tạo bởi hai tia Ox, Oy có phân
biệt thứ tự tia đầu và tia cuối được gọi là góc định hướng. Nếu tia Ox
là tia đầu, tia Oy là tia cuối thì người ta kí hiệu góc định hướng là
(Ox, Oy). Thường người ta chọn chiều dương là chiều quay ngược chiều
kim đồng hồ.
1.9. Định nghĩa (Chiều quay của tam giác). Chiều quay của tam giác
ABC là chiều quay từ A đến B, tiếp đó đến C. Nếu chiều quay của tam
giác ABC ngược chiều kim đồng hồ thì tam giác ABC có chiều thuận
(hay chiều dương).
1.10. Định nghĩa (Chiều của tứ diện). Tứ diện ABCD được gọi là có
chiều dương nếu trong nửa không gian với biên là mặt phẳng (BCD)
chứa đỉnh A, tam giác BCD có chiều âm. Nếu tam giác BCD xét trong
nửa không gian trên có chiều dương thì tứ diện ABCD có chiều âm.
1.2. Phép tịnh tiến
1.2.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một véc tơ ~v 6= ~0, một phép biến hình f : M →
M
0
sao cho
ưưư→
MM
0
= ~v thì f được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ ~v, kí
hiệu T ~v : M → M
0
.4
1.2.2. Tính chất
1. Phép tịnh tiến là một phép biến hình 1 - 1.
2. Phép tịnh tiến không có điểm kép.
3. Mọi đường thẳng a//
ư→
v thì a là đường thẳng kép.
4. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
5. Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A
0
, B
0
, C
0
thẳng hàng, do đó nó biến đường thẳng d thành đường thẳng d
0
song
song hoặc trùng với d.
6. Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm
A
0
, B
0
, C
0
không thẳng hàng, do đó nó biến tam giác ABC thành
tam giác A
0
B
0
C
0
bằng với nó.
7. Phép tịnh tiến bảo toàn số đo góc. Tư→
v : α → α
0
= α.
8. Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
1.2.3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.2.1. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng Δ cố định, một
đường tròn (O
0
, R
0
) luôn tiếp xúc với (O, R), trong đó R
0
không đổi. Ở
mỗi vị trí của (O
0
, R
0
) kẻ tiếp tuyến Mx//Δ. Tìm tập hợp tiếp điểm M
khi (O
0
, R
0
) chuyển động.
Giải. a. Trường hợp đường tròn (O
0
, R
0
) tiếp xúc ngoài với (O, R). Vì
O
0
M ⊥ MX mà Δ//MX nên ta suy ra O
0
M ⊥ Δ, do đó ∃T ~v : O
0 → M,
Hình 1.1
trong đó |~v| = R
0
và ~v ⊥ Δ.
Tập hợp điểm O
0
là đường tròn
W(O, R+R
0
), nên từ đó ta suy ra
tập hợp điểm M là W
0
(O 1 , R+R
0
)
là ảnh của đường tròn W qua Tư→
v .
Vì có hai ~v (ngược hướng nhau)
cùng thỏa mãn điều kiện trên nên
bài toán có hai nghiệm hình.
b. Trường hợp đường tròn
(O
0
, R
0
) tiếp xúc trong với (O, R).
Tương tự như trên, ta có hai tập hợp điểm M và tập hợp điểm M
0
cũng
là hai đường tròn. Vì tập hợp O
0
là đường tròn λ(O, |R ư R
0 |) nên tập5
hợp M là đường tròn λ
0
(O 2 , |R ư R
0 |), trong đó λ
0
= Tư→
v (λ). Tập hợp M
0
là đường tròn λ 1 (O
0
2
, |R ư R
0 |), trong đó λ 1 là ảnh của λ qua Tư~v .
Ví dụ 1.2.2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B bất kì không thuộc
d. Tìm trên d hai điểm M, N sao cho MN = m và MA = NB.
Giải. a. Phân tích. Giả sử đã dựng được M, N thỏa mãn điều kiện đầu
bài. Chọn ~v sao cho |~v| = m,~v//d, A
0
= T ~v (A), N = T ~v (M) từ đó ta có
MA = NA
0
= NB, nên ta suy ra N là giao của d và d
0
. (d
0
là đường trung
Hình 1.2
trực của A
0
B).
b. Cách dựng.
ã Dựng A; B; m; d.
ã Dựng ~v//d; |~v| = m.
ã Dựng A
0
= T ~v (A).
ã Dựng d
0
là đường trung trực của
A
0
B.
ã Dựng N ≡ d ∩ d
0
.
ã Dựng M = Tư~v (N).
c. Biện luận. Nếu A
0
B ⊥ d thì bài toán vô nghiệm.
Ví dụ 1.2.3. Cho đường tròn (O, R), điểm A cố định thuộc (O, R) và
một điểm I cố định không thuộc (O, R). Một đường thẳng d chuyển
động qua I, đường thẳng d cắt (O, R) ở B và C. Chứng minh rằng trực
tâm H luôn thuộc một đường tròn cố định.
Giải. Do H là trực tâm của ΔABC nên ta suy ra AH = 2OM.
Hình 1.3
(OM là khoảng cách từ O đến BC).
Gọi O
0
là điểm đối xứng của O qua
BC khi đó
ưư→
OO
0
=
ưư→
AH do đó ta có
ưư→
O
0
H =
ư→
OA cho nên Tư→
OA
: O
0 → H.
Vì O
0
I = OI nên ta suy ra O
0
thuộc
đường tròn tâm I bán kính IO từ
đó ta suy ra H thuộc đường tròn
tâm I’ bán kính I
0
M = IO
0
= IO,
trong đó I
0
= Tư→
OA
(I).
Ví dụ 1.2.4. Cho hai đường tròn (O, R) và (O
0
, R
0
). Dựng M ∈ (O) và
N ∈ (O
0
) sao cho MN = m và MN//OO
0
. (m là độ dài cho trước).
Giải. Dễ thấy điểm N ≡ T ~v (M), trong đó véc tơ ~v//
ưư→
OO
0
, |~v| = m,6
Hình 1.4
mà điểm M ∈ (O, R) nên ta suy ra
N ∈ (O 1 , R) là ảnh của (O, R) qua
T ~v . Vậy N ≡ (O 1 ) ∩ (O) từ đó ta suy
ra M = T ~v (N). (hình 1.4)
Chú ý: Bài toán có thể vô nghiệm, 1
nghiệm, 2 nghiệm hình.
Ví dụ 1.2.5. Cho hai đường tròn
(O, R), (O
0
, R
0
) và một đường thẳng
Δ. Dựng đường thẳng d//Δ, d cắt (O) và (O
0
) theo hai dây MN = M
0
N
0
.
(M, N ∈ (O) và M
0
, N
0 ∈ (O
0
)).
Giải. Gọi H, K là hình chiếu của O, O
0
trên Δ. Vì HK không đổi cho nên
Hình 1.5
ưưư→
MM
0
=
ưư→
NN
0
=
ưư→
HK do đó ta
suy ra M
0 ≡ T ~v (M), trong đó
~v//Δ, |~v| = HK từ đó ta suy
ra M
0
= (O
0
, R
0
) ∩ (O 1 , R). (hình
1.5). (O 1 , R) = T ~v [(O, R)], nên ta
suy ra đường thẳng d qua M
0
và
d//Δ thì d là đường thẳng cần
dựng.
Chú ý: Bài toán có thể vô nghiệm
hoặc có một nghiệm.
1.3. Phép đối xứng qua đường thẳng
1.3.1. Định nghĩa
Cho một đường thẳng Δ cố định, một phép biến hình f biến M thành
M
0
sao cho Δ là đường trung trực của MM
0
thì f được gọi là phép đối
xứng trục qua đường thẳng Δ, ký hiệu D Δ : M → M
0
.
1.3.2. Tính chất
1. D Δ là một phép biến hình 1 - 1.
2. Δ là đường thẳng kép hoàn toàn.
3. D Δ là một phép biến hình có tính chất đối hợp.
4. D Δ bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
5. D Δ bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của 3 điểm A, B, C.7
6. D Δ biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’
không thẳng hàng, biến 4ABC thành 4A
0
B
0
C
0
= 4ABC.
7. D Δ bảo toàn độ lớn góc.
8. D Δ biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
1.3.3. Trục đối xứng của hình F
Nếu D Δ : F → F
0
và F
0 ≡ F thì Δ là trục đối xứng của F.
1.3.4. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.3.1. Cho một đường tròn (O, R), đường thẳng Δ và một điểm
A, B ∈ (O). Tìm tập hợp điểm C sao cho AB = AC và BC//Δ.
Hình 1.6
Giải. Qua điểm A kẻ đường
thẳng d ⊥ Δ. Do điểm A, đường
thẳng Δ cho trước nên d cố định,
vì BC//Δ nên d ⊥ BC do đó d là
đường trung trực của đoạn thẳng
BC, từ đó ta suy ra D d : B → C.
Vì B ∈ (O, R) nên ta suy ra
C ∈ (O
0
, R), trong đó đường tròn
(O
0
, R) là ảnh của đường tròn
(O, R) qua D d . (hình 1.6)
Ví dụ 1.3.2. Cho đường thẳng Δ và hai điểm A, B nằm cùng phía bờ
Δ. Tìm trên đường thẳng Δ một điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Giải.
Hình 1.7
Lấy A
0
là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục D Δ , điểm M là giao8
của A
0
B và đường thẳng Δ khi đó MA + MB nhỏ nhất. Thật vậy, lấy
điểm M
0
bất kỳ thuộc đường thẳng Δ, ta suy ra
M
0
A + M
0
B = M
0
A
0
+ M
0
B > BA
0
= MB + MA
0
.
Hay
M
0
A + M
0
B > MA + MB.
Ví dụ 1.3.3. Cho góc xOy và hai điểm A, B nằm trong góc xOy. Tìm
hai điểm M ∈ Ox, N ∈ Oy sao cho AM + MN + NB nhỏ nhất.
Giải. Nếu A, B nằm ngoài góc xOy thì M, N là giao của AB với Ox, Oy.
Nếu A, B cùng nằm trong góc Ox, Oy thì M ≡ Ox∩A
0
B
0
; N ≡ Oy∩A
0
B
0
,
trong đó A
0
= D Ox (A), B
0
= D Oy (B).
Hình 1.8
Cách dựng.
ã Dựng xOy; A, B ở trong góc
xOy.
ã Dựng A
0
= D Ox (A).
ã Dựng B
0
= D Oy (B).
ã Dựng A
0
B
0
.
ã Dựng M ≡ Ox ∩ A
0
B
0
.
ã Dựng N ≡ Oy ∩ A
0
B
0
.
Chứng minh. Lấy M
0 ∈ Ox, N
0 ∈ Oy ta chứng minh
AM + MN + NB < AM
0
+ M
0
N
0
+ N
0
B.
Ta có
AM +MN +NB = A
0
B
0
< A
0
M
0
+M
0
N
0
+N
0
B
0
= AM
0
+M
0
N
0
+N
0
B.
1.4. Phép quay xung quanh một điểm
1.4.1. Định nghĩa9
Hình 1.9
Cho một điểm O và một góc α có hướng.
Một phép biến hình f biến M thành M
0
sao
cho: OM = OM
0
, (
ưư→
OM,
ưư→
OM
0
) = α + k2π thì f
được gọi là phép quay tâm O, góc quay α, ký
hiệu: Q α
O
: M → M
0
. Đặc biệt.
α = 2kπ : Q k2π
O
≡ E. (phép đồng nhất)
α = (2k + 1)π : Q
(2k+1)π
O
≡ D O .
1.4.2. Tính chất
1. Q α
O
là một phép biến hình 1-1.
2. O là điểm kép.
3. Q α
O
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Q
α
O
(A) = A
0
, Q
α
O
(B) = B
0
⇒ AB = A
0
B
0
.
4. Q α
O
Bảo toàn tính thẳng hàng của 3 điểm và thứ tự của chúng, do
đó phép quay biến đường thẳng d thành d
0
sao cho (d, d
0
) = α.
Hình 1.10
5. Phép quay biến 4ABC → 4A
0
B
0
C
0
= 4ABC, do đó phép quay
biến góc α → α
0
= α.
6. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
1.4.3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.4.1. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. Điểm C ∈
dAB, dựng hình vuông CBEF sao cho (
ưư→
BC,
ưư→
BE) = ư90 0
. Tìm tập hợp
điểm E.
Giải. Qua Q
ư90 0
B
: C → E, vì C thuộc nửa đường tròn đường kính AB,10
Hình 1.11
nên điểm E thuộc nửa đường tròn đường kính
A
0
B là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB
qua phép quay Q
ư90 0
B
. (hình 1.11)
1.5. Phép dời hình
1.5.1. Định nghĩa
Một phép biến hình D được gọi là một phép
dời hình nếu D(M) = M
0
và D(N) = N
0
thì MN = M
0
N
0
.
1.5.2. Tính chất
ã Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A’,
B’, C’ thẳng hàng, biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.
ã Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm
A’, B’, C’ không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác bằng
nó.
ã Phép dời hình bảo toàn độ lớn góc.
ã Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
1.5.3. Sự liên hệ giữa các phép tịnh tiến, đối xứng và phép quay
Ta có một số kết quả sau:
1. T ~v 2
.T ~v 1
= T ~v ; ~v = ~v 1 + ~v 2 .
2. Nếu Δ 1 //Δ 2 . thì D Δ 2
.D Δ 1
= T ~v .
Ngược lại T ~v = D Δ 2
.D Δ 1
. (Sự phân tích trên là vô số cách)
3. Nếu Δ 1 ∩ Δ 2 ≡ O. thì D Δ 2
.D Δ 1
= Q α
O
.
4. Q
α 2
O
.Q
α 1
O
= Q α
O
, trong đó α = α 1 + α 2 .
5. Q
α 2
O 2
.Q
α 1
O 1
= Tư→
v , hoặc Q
α 2
O 2
.Q
α 1
O 1
= Q α
O
.
6. Q
α
O
.T ~v = Q α
O0 .
7. Một phép dời hình có thể xem là tích không quá 3 phép đối xứng
trục.11
1.5.4. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.5.1. Cho 2 điểm O và O
0
, hãy xét tích D O0 .D O ?
Giải. Lấy điểm M bất kỳ, qua D O : M → M
0
, D O0 : M
0 → M
00
,
Hình 1.12
do đó qua D O0 .D O : M → M
00 ⇔
ưưư→
MM” =
2
ưư→
OO
0
. Từ đó ta suy ra qua T
2
ưư→
OO
0 : M → M
00
.
Vậy D O0 .D O = T
2
ưư→
OO
0 . (Hình 1.12).
Ví dụ 1.5.2. Cho 3 đường thẳng a, b, c. Hãy
xác định tích: D c .D b .D a trong hai trường hợp
sau:
a. a//b//c.
b. a ∩ b ∩ c ≡ O.
Giải. a. Dựng d sao cho: a//b//c//d, khoảng cách từ d đến c