Thạc Sĩ Một số nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân

2



MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU . 2
1. Lý do chọn đề tài . 2
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu . 2
3. Mục tiêu nghiên cứu 3
4. Nội dung nghiên cứu . 3
5. Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu . 3
6. Ý nghĩa của đề tài 3
7. Cấu trú c của đề tài . 4
PHẦN 2. NỘI DUNG . 5
CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI TỔNG QUÁT 5
1.1. Nguyên lý cực đại một chiều 5
1.2. Nguyên lý cực đại tổng quát . 11
CHƯƠNG II: XẤP XỈ TRONG BÀI TOÁNGIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ
BIÊN . 15
2.1. Bài toán về giá trị ban đầu 15
2.2. Bài toán về giá trị biên 16
2.3. Xấp xỉ trong bài toán giá trị biên 18
2.4. Xấp xỉ trong bài toán giá trị ban đầu . 30
CHƯƠNG III: BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ RIÊNGVÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ DAO
ĐỘNG - SO SÁNH . 36
3.1. Bài toán về giá trị riêng 36
3.2. Định lý dao động và so sánh . 42
3.3. Toán tử phi tuyến . 46
PHẦN 3. KẾT LUẬN . 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 51 3



PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một đề tài được rất nhiều nhà toán học quan tâm và
nghiên cứu. Tuy nhiên, do sự phát triển không ngừng của khoa học - kĩ thuật,
phương trình vi phân trở thành một chủ đề được tìm hiểu và phát triển rất mạnh.
Trong đó, các vấn đề liên quan đến “nguyên lý cực đại” cũng là một đề tài hay và
có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán về xấp xỉ giá trị biên, giá trị ban đầu
Trong những năm gần đây, các đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia và các kì thi
Toán Olympic sinh viên toàn quốc thường xuất hiện những bài toán có liên quan
đến “cực đại trong phương trình vi phân”.
Xuất phát từ lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số nguyên lý cực đại trong phương
trình vi phân” để nghiên cứu, với mục tiêu giới thiệu tới bạn đọc đam mê Toán,
sinh viên ngành sư phạm Toán một số định lý cơ bản liên quan đến nguyên lý cực
đại. Đề tài xây dựng lại lí thuyết một cách có hệ thống, rõ ràng về nguyên lý cực
đại nhằm giú p cho bạn đọc có cái nhìn tổng quát và sâu rộng hơn về phương trình
vi phân.
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
- “Nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân” là đề tài được rất nhiều nhà
toán học quan tâm và nghiên cứu, tuy nhiên tài liệu về đề tài này còn rất hạn chế.
Một số nhà toán học đã dành rất nhiều tâm huyết cho đề tài này như Murray Harold
Protter (13/2/191 - 01/5/2008) là một nhà toán học người Mỹ và nhà giáo dục, được
biết đến với những đóng góp vào lý thuyết của phương trình vi phân; Hans F.
Weinberger (27/09/1928 tại Vienna) là một nhà toán học người Mỹ gốc Áo, nổi
tiếng với những đóng góp của ông với các phương pháp biến phân cho các vấn đề
giá trị đặc trưng, phương trình vi phân, và động lực học chất lỏng . những nhà toán
học này đã có những năm gắn bó, nghiên cứu và viết ra những tài liệu hay về đề tài 4

này như cuốn sách “Maximum Principles Differential Equations, tác giả Murray
Harold Protter và Hans F. Weinberger” . đây là cuốn sách hay và là tài liệu quý giá
cho những ai muốn nghiên cứu về đề tài này.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Thông qua đề tài này, tôi muốn giới thiệu tới bạn đọc đam mê Toán, sinh viên
ngành sư phạm Toán một số định lý cơ bản liên quan đến nguyên lý cực đại. Đề tài
xây dựng lại lí thuyết một cách có hệ thống, rõ ràng và kĩ thuật khi giải một bài
toán về nguyên lý cực đại nhằm giú p cho bạn đọc có cái nhìn tổng quát và sâu rộng
hơn về phương trình vi phân.
4. Nội dung nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu những nội dung cụ thể sau:
- Tìm hiểu, phân tích và nghiên cứu lý thuyết của nguyên lý cực đại trong phương
trình vi phân một cách có khoa học và chặt chẽ.
- Đưa ra một số ví dụ cơ bản để hiểu rõ bản chất của nguyên lý cực đại.
5. Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu
- Đối tượng: Các vấn đề liên quan đến “Một số nguyên lý cực đại trong phương
trình vi phân”
- Phạm vi: Một số nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân được tìm hiểu
trong các sách bài tập về phương trình vi phân nâng cao, tài liệu bồi dưỡng học sinh
giỏi quốc gia và một số kiến thức cơ bản về những phương trình vi phân ở bậc đại
học
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp khảo sát: Bản thân đã được học nên nắm bắt được các vấn đề
liên quan đến đề tài.
+ Phương pháp phân tích lý luận: phân tích giú p người học nắm rõ bản chất vấn
đề, lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp với từng dạng liên quan đến đề tài.
6. Ý nghĩa của đề tài 5

Nguyên lý cực đại nói về vị trí của điểm mà hàm số đạt cực đại là điểm biên của
miền xác định. Cụ thể hơn, một hàm có đạo hàm cấp 2, không âm 0 u  trên một
đoạn [a, b] nào đó thì hoặc là hàm hằng, hoặc nếu không hằng thì cực đại phải là
một trong 2 điểm đầu mú t.
Một ví dụ tổng quát hơn là trong phương trình Laplace, hay là phương trình điều
hòa . ta cũng tìm được nghiệm của nó có tính chất là hàm hằng hoặc là nếu không
phải là hàm hằng thì điểm cực đại (và cực tiểu) phải là điểm biên.
Trong nghiên cứu này, định nghĩa một hàm có tính chất của nguyên lý cực đại là
một hàm thỏa mãn một số bất đẳng thức (đẳng thức) vi phân nào đó và điểm cực
đại của nó là điểm biên, trừ khi nó là hàm hằng.
Sử dụng các nguyên lý cực đại, ta cũng suy ra được các nguyên lý về cực tiểu
tương ứng và khẳng định rằng một hàm không phải hàm hằng thỏa mãn một số bất
đẳng thức vi phân không thể đạt được cực tiểu tại một điểm bên trong.
Ngoài ra, nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân có rất nhiều ứng dụng
quan trọng trong việc khảo sát, tính toán nghiệm gần đú ng trong các bài toán giá trị
ban đầu, giá trị biên, giá trị riêng ., không những thế, người ta còn sử dụng các
nguyên lý cực đại để chứng minh, tìm hiểu các định lý, bổ đề mới phục vụ cho
công tác nghiên cứu.
Nguyên lý cực đại có vai trò rất lớn trong các nghiên cứu về phương trình vi
phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình hàm .vv
7. Cấu trú c của đề tài
Bố cục gồm 3 phần:
 Phần 1: Mở đầu
 Phần 2: Nội dung
Chương I: Nguyên lý cực đại tổng quát
Chương II: Xấp xỉ trong bài toán giá trị ban đầu và giá trị biên
Chương III: Bài toán về giá trị riêng và một số định lý dao động – so sánh
 Phần 3: Kết luận