Thạc Sĩ Một số nghiên cứu về hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều

Luận án tiến sĩ năm 2013
Đề tài: Một số nghiên cứu về hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều


Mục lục
Trang phụ bìa . 2
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Mục lục . 3
Một số kí hiệu dùng trong luận án . 6
MỞ ĐẦU . 7
1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . 7
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 11
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 12
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . 12
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 13
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . 14
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 15
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . 15
1.1.1. Các không gian hàm 15
1.1.2. Các toán tử . 16
1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 17
1.2. TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI . 18
1.2.1. Tập hút toàn cục 18
1.2.2. Tập hút lùi . 21
1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . 25
1.3.1. Không gian hàm phụ thuộc thời gian . 25
1.3.2. Một số bất đẳng thức thường dùng 26
1.3.3. Một số bổ đề và định lí quan trọng 27
Chương 2. NGHIỆM YẾU CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 29
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN 29
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 30
2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . 33
2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . 40
2.5. MỘT SỐ KẾT QUẢ TRONG TRƯỜNG HỢP Ô-TÔ-NÔM 48
2.5.1. Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn
cục 48
2.5.2. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng . 48
Chương 3. NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 50
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN 50
3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM MẠNH . 51
3.3. DÁNG DIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MẠNH . 58
3.3.1. Sự tồn tại tập hút toàn cục 58
3.3.2. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng . 63
3.4. XẤP XỈ NGHIỆM MẠNH . 67
3.4.1. Xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn . 67
3.4.2. Xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh 74
Chương 4. HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU VỚI TRỄ VÔ HẠN 79
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN 79
4.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 81
4.3. SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
DỪNG 95
KẾT LUẬN . 101
1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 101
2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 102
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG
LUẬN ÁN 103
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 104


MỞ ĐẦU
1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi
mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, .,
dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu
nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công
nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản
quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng,
nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây
dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:
∂u
∂t
ư ν ∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t),
∇ · u = 0.
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất
cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực.
Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có rất
nhiều bài báo và sách chuyên khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy
nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn
khá khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục
và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức
lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lý. Tuy nhiên, vì nhu cầu của Khoa
học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng
và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày
càng trở nên thời sự và cấp thiết. Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên
8
khảo [58, 59] và các bài báo tổng quan gần đây [10, 61], những vấn đề cơ bản
đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất
lỏng là:
ã Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm: Nghiệm ở đây
có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính qui ở đây có thể là
tính chính qui theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính
chính qui theo biến không gian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui
H¨older, mô tả tập điểm kì dị).
ã Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi
thời gian t ra vô cùng. Trong trường hợp ngoại lực f “lớn”, chúng ta
nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact,
bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu
tiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời
gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng,
tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của
hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng. Việc
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán
xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều
chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn.
ã Xấp xỉ nghiệm: Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng một
vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần
cả những mô tả định tính và định lượng của nghiệm, nói riêng là việc
tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (vì nói chung ta không thể tìm
được nghiệm chính xác của phương trình, mặc dù nó tồn tại). Việc xấp
xỉ nghiệm chính xác của phương trình trong khoảng thời gian hữu hạn
hoặc xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm là những vấn đề hết sức quan
trọng khi áp dụng vào các mô hình thực tế. Về mặt toán học, chúng ta
phải xây dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm, chứng minh lược đồ nhận được


Tài liệu tham khảo
[1] C.T. Anh (2009), Influence of surface tension and bottom topography on
internal waves, Math. Models Methods Appl. Sci. 19, 2145-2175.
[2] C.T. Anh (2009), Derivation and well-posedness of Boussinesq/Boussinesq
systems for internal waves, Ann. Polon. Math. 96, 127-161.
[3] C.T. Anh (2010), On the Boussinesq/Full dispersion systems and Boussinesq/Boussinesq systems for internal waves, Nonlinear Anal. 72, 409-429.
[4] C.T. Anh and T.Q. Bao (2012), Pullback attractors for generalized
Korteweg-de Vries-Burgers equations, J. Math. Anal. Appl. 388, 899-912.
[5] C.T. Anh and D.T. Quyet (2013), Optimal control of g-Navier-Stokes
equations, preprint.
[6] C.T. Anh and D.T. Son (2013), Pullback attractors for non-autonomous
Bénard problem in some unbounded domains, Math. Method. Appl. Sci.,
DOI: 10.1002/mma.2713.
[7] C.T. Anh and P.T. Trang (2013), Pullback attractors for 3D NavierStokes-Voigt equations in some unbounded domains, Proc. Royal Soc.
Edinburgh Sect. A 143, in press.
[8] C.T. Anh and P.T. Trang (2013), On the 3D Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal., 89,
36-54.
105
[9] H. Bae and J. Roh (2004), Existence of solutions of the g-Navier-Stokes
equations, Taiwanese J. Math. 8, 85-102.
[10] C. Bardos and B. Nicolaenko (2002), Navier-Stokes equations and dynamical systems, Handbook of dynamical systems, Vol. 2, 503-597, NorthHolland, Amsterdam.
[11] J.L. Bona, D. Lannes and J.-C. Saut (2008), Asymptotic models for internal waves, J. Math. Pures Appl. 89, 538-566.
[12] M. Cabral, R. Rosa and R. Temam (2004), Existence and dimension of
the attractor for the Bénard problem on channel-like domains, Disc. Cont.
Dyna. Syst. 10, 89-116.
[13] T. Caraballo, Lukaszewicz and J. Real (2006), Pullback attractors for
asymptotically compact non-autonomous dynamical systems, Nonlinear
Anal. 64, 484-498.
[14] T. Caraballo and J. Real (2003), Asymptotic behaviour of Navier-Stokes
equations with delays, Proc. R. Soc. London Ser. A 459, 3181-3194.
[15] T. Caraballo, A.M. Márquez-Durán and J. Real (2008), Asymptotic behaviour of the three-dimensional α-Navier-Stokes model with delays, J.
Math. Anal. Appl. 340, 410-423.
[16] T. Caraballo and J. Real (2004), Attractors for 2D-Navier-Stokes models
with delays, J. Differential Equations 205, 271-297.
[17] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 49, Amer. Math.
Soc., Providence, RI.
[18] I.D. Chueshov (2002), Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional
Dissipative Systems, University Lectures in Contemporary Mathematics.
Kharkiv: ACTA, 418 p.