Tiến Sĩ Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng

LUẬN ÁN TIẾN SĨ
NĂM 2014

Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn .ii
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt vi
Danh mục các hình vẽ và đồ thị .vii
MỞ ĐẦU . 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4
3 Phương pháp nghiên cứu 5
4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án . 6
5 Bố cục của luận án 7
1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI ABEL . 9
1.1 Hệ phương trình Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm sóng phẳng phi Abel và nghiệm Wu-Yang 11
1.1.1 Nghiệm sóng phẳng phi Abel 12
1.1.2 Nghiệm Wu-Yang . 18
1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon Julia – Zee 23
1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov . 23
1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee . 26
1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) 28
1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn 28
1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Parasad-Sommerfield (BPS) . 30
1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton . 30
1.5 Kết luận chương 1 32
2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC 34
2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục 34
2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm . 35
2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục 37
2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng 39
2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo cao 41
2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục . 41
2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục 42
2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV] . 44
2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel [IV] 45
2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi Abel [III, IV] . 48
2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích 49
2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng sợi dây 50
2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình 51
2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI] . 59
2.5 Kết luận chương 2 63

3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG TRƯỜNG CHUẨN . 65
3.1 Hạt màu trong trường chuẩn - Phương trình Wong . 66
3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và [V] 72
3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn 81
3.4 Kết luận chương 3 83
4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN . 84
4.1 Hạt trong trường Wu-Yang 84
4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS . 91
4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft . 91
4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS 95
4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills100
4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V] 100
4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V] 105
4.4 Kết luận chương 4 106
KẾT LUẬN 107
Danh mục các công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án . 110
Tài liệu tham khảo . 111
Phụ lục .


MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Lý thuyết trường gauge do Yang-Mills [1] đề xướng vào năm 1954. Ý tưởng này dựa trên yêu cầu xây dựng các Lagrangian bất biến đối với các phép biến đổi đối xứng nội tại. Ngày nay lý thuyết trường gauge Yang-Mills đã được thừa nhận rộng rãi và là hình thức luận khung cho lý thuyết thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, cũng như cho sắc động lực lượng tử của tương tác mạnh. Đầu tiên là sự khám phá của Glashow vào năm 1960 về cách thức để thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu [2], với việc sử dụng mô hình nhưng chưa hoàn chỉnh về mặt vật lý vì các lượng tử của trường này đều không có khối lượng. Năm 1967, Weinberg [3] và Salam [4] đã kết hợp cơ chế Higgs [5, 6, 7] vào trong lý thuyết của Glashow giúp cho việc sinh khối lượng các boson gauge, kết quả là đã xây dựng thành công mô hình thống nhất tương tác điện - yếu, gọi là mô hình Weinberg-Salam và cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối lượng cho các hạt cơ bản. Sự thành công này đã thuyết phục hầu hết các nhà Vật lý rằng lý thuyết gauge phi Abel về tương tác điện - yếu là một lý thuyết vật lý khá hoàn hảo. Đặc biệt, sau khi tìm thấy dòng yếu trung hòa gây bởi sự trao đổi boson ở CERN năm 1973 [8, 9, 10], lý thuyết điện - yếu đã được chấp nhận một cách rộng rãi và Glashow, Weinberg, Salam đã được trao giải Nobel Vật lý năm 1979. Tiếp đó là những công trình xây dựng sắc động lực học lượng tử (viết tắt là QCD) là lý thuyết về tương tác mạnh dựa trên sự bất biến của phép biến đổi gauge đối với nhóm .
Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về ba lực miêu tả bởi mô hình chuẩn đều đúng như những dự đoán của thuyết này. Tuy nhiên, mô hình chuẩn vẫn chưa là một thuyết thống nhất các lực tự nhiên một cách hoàn toàn, do sự vắng mặt của lực hấp dẫn.
Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Fermion là những hạt có spin bán nguyên và tuân thủ theo nguyên lý loại trừ của Wolfgang Pauli, nguyên lý cho rằng không có hai fermion nào có cùng trạng thái lượng tử với nhau. Các hạt boson có spin nguyên và không tuân theo nguyên lý Pauli. Khái quát hóa, fermion là những hạt vật chất còn boson là những hạt truyền tương tác.
Trong mô hình chuẩn, thuyết điện từ - yếu (bao gồm cả tương tác yếu lẫn lực điện từ) được kết hợp với thuyết sắc động lực học lượng tử. Tất cả những thuyết này đều là lý thuyết gauge, trong đó đưa vào các boson trung gian như là hạt truyền tương tác giữa các fermion. Hệ Lagrangian của mỗi tập hợp hạt boson trung gian bất biến dưới một phép biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn được gọi là gauge boson.
Mô hình chuẩn và rất nhiều hướng mở rộng khác nhau đã cho phép mô tả hiện tượng luận phong phú của tương tác hạt cơ bản. Cùng với việc khai thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn, một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính chất cơ bản của lý thuyết Yang-Mills như là các hệ động lực học phi tuyến.
Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời gian gần đây. Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Đó là sự tồn tại các nghiệm soliton - chúng là những nghiệm riêng của các phương trình trường trong lý thuyết phi tuyến, chúng có cấu trúc ổn định giống như các đối tượng hạt với khối lượng và năng lượng hữu hạn. Chúng là đối tượng nghiên cứu của một lĩnh vực toán học, rộng hơn là lý thuyết các phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, được phát triển mạnh trong vài thập niên gần đây và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học như trong vật lý chất rắn, vật lý hạt và vũ trụ học. Một số soliton đã được biết đến là: monopole (đơn cực từ); tường domain (domain wall); dây vũ trụ; vortices – khởi đầu nghiên cứu về vortex liên quan đến việc nghiên cứu các vật liệu siêu dẫn, sau đó Nielsen và Olsen đã mở rộng cho lý thuyết trường Abel-Higgs Vortices có thể xem như đối tượng của lý thuyết trường, nhưng cũng có thể đồng nhất nó với dây (string) [11], . Những nghiệm này được các nhà vật lý lý thuyết đặc biệt quan tâm bởi ngoài các ứng dụng vật lý vừa nêu thì nó còn liên quan đến sự chuyển pha trong giai đoạn sớm của vũ trụ và sự giãn nở của vụ trụ sau Big Bang. Tuy nhiên chúng là những nghiệm của các phương trình trường phi tuyến nên hầu như không có phương pháp giải tổng quát mà phải sử dụng các tính chất đối xứng của hệ vật lý và đưa vào các ansatz riêng để tìm nghiệm cho từng trường hợp.
Những công trình đột phá về các vấn đề vừa nêu, có thể kể đến như: nghiệm monopole của lý thuyết Yang-Mills do ’t Hooft và Polyakov độc lập tìm được - nó là sự mở rộng nghiệm monopole của Dirac, đã tiên đoán được từ năm 1932. Tuy nhiên công việc tìm kiếm thực nghiệm cho monopole của Dirac vẫn được tiếp tục cho đến nay, còn monopole mà chúng tôi đề cập đến ở đây là monopole do ’t Hooft và Polyakov tìm ra, nó là sự mở rộng monopole của lý thuyết gauge cho phi Abel, nó có liên quan đến quá trình cầm tù của quark trong mô hình QCD; nghiệm dyon thuộc về Julia và Zee; phương pháp sử dụng ngôn ngữ bó thớ trên không gian moduli được đề xuất trong các công trình của Manton [12], . Đó chỉ là vài tác giả tiêu biểu, ngoài ra có hàng trăm công trình khác khai thác và mở rộng các công trình tiên phong vừa nêu. Các trung tâm nghiên cứu mạnh về các vấn đề này có thể kể đến các Đại học Princeton (Mỹ), Massachusetts (Mỹ), Viện Vật lý lý thuyết và thực nghiệm (Nga), Cambridge (Anh), Durham (Anh), v.v .
Trong nước, có các nhóm nghiên cứu về lý thuyết trường và các hạt cơ bản theo hướng nghiên cứu các mô hình hiện tượng luận để mô tả vật lý các hạt và đã có nhiều kết quả mới được công bố; cùng với hướng nghiên cứu của luận án này có tác giả Nguyễn Văn Thuận với đề tài luận án tiến sỹ “Nghiên cứu nghiệm của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills và ứng dụng vật lý của chúng” – Trong đó, tác giả đã nghiên cứu về các nghiệm tĩnh với đối xứng cầu của các phương trình Yang-Mills cổ điển với nhóm chuẩn và từ đó nghiên cứu về các ứng dụng có thể của các nghiệm cổ điển trong các bài toán lượng tử. Những kết quả của tác giả này có thể vận dụng để giải thích một số hiện tượng vật lý trong lý thuyết lượng tử.
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu về các nghiệm của các phương trình Yang-Mills. Tuy nhiên chúng tôi sử dụng một số phương pháp nghiên cứu khác và mở rộng phạm nghiên cứu cho các cấu hình trường. Dó đó các
kết quả và ý nghĩa thu được của luận án này khác so với các kết quả của các tác giả đã công bố, cụ thể:
(i) Chúng tôi nghiên cứu để tìm nghiệm của phương trình Yang-Mills cho bà toán có tính đối xứng trụ - khi đó các hàm trường phụ thuộc vào hai biến không gian là và (trường hợp đối xứng cầu thì các hàm trường chỉ phụ thuộc một biến không gian, biến ). Đối với bài toán này chúng tôi đã tìm được cả nghiệm số và nghiệm giải tích, đồng thời xây dựng được bộ trương trình Fotran cho phép giải được các bài toán tương tự;
(ii) Chúng tôi đã mở rộng phạm vi nghiên cứu theo hướng nghiên cứu trường Yang-Mills với nhóm đối xứng không thời gian – nhóm Lorentz. Vì vậy nó có liên hệ với hình thức luận gauge của trường hấp dẫn;
(iii) Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu bài toán về chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills và so sánh với các lý thuyết hấp dẫn khác.
Tóm lại, trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản mà công cụ nghiên cứu là Lý thuyết trường Yang-Mills, việc tìm nghiệm của phương tình Yang-Mills và phương trình Wong cũng như phương trình Wong tổng quát là lĩnh vực còn nhiều vấn đề đang mở phải tiếp tục giải quyết. Với đề tài nghiên cứu đặt ra, có thể nói đã tiếp cận được các vấn đề thời sự của lý thuyết trường lượng tử hiện đại và hy vọng có đóng góp vào sự phát triển của hướng nghiên cứu đã chọn. Vì vậy mà chúng tôi chọn đề tài “Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng”.
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải tích mới. Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn
đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường hấp dẫn.
b) Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu về các lớp nghiệm của các phương trình Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs và nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường Yang-Mills trong gần đúng cổ điển.
c) Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các đối tượng trên trong phạm vi của nhóm đối xứng và nhóm đối xứng không-thời gian (nhóm Lorentz).