Tiến Sĩ Một số mối liên hệ giữa iđêan đơn thức và đồ thị

Mục lục
Mở đầu 2
1 Một số kiến thức chuẩn bị 7
1.1 Vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein 7
1.2. Iđêan đơn thức không chứa bình phương 9
1.3. Công thức Takayama . 15
2 Cấu trúc một số lớp đồ thị 19
2.1 Đồ thị phủ tốt 19
2.2. Lớp đồ thị W 2 23
2.3. Đồ thị có phân tích đỉnh 35
3 Đồ thị Cohen-Macaulay và Gorenstein 43
3.1 Tổng quan về đồ thị Cohen-Macaulay và Gorenstein . 43
3.2. Đồ thị Cohen-Macaulay 46
3.3. Đồ thị Gorenstein không chứa tam giác . 49
4 Tính Cohen-Macaulay của lũy thừa của iđêan cạnh 58
4.1 Lũy thừa tượng trưng thứ hai . 58
4.2. Lũy thừa thứ hai và bão hòa của nó 63
Kết luận 72
Tài liệu tham khảo 74
Bảng thuật ngữ 79
Bảng các kí hiệu 80Mở đầu
Mối quan hệ giữa hai chuyên ngành Đại số giao hoán và Lý thuyết tổ
hợp đã được biết từ lâu. Năm 1975, Stanley vận dụng một kết quả của Đại
số giao hoán để giải quyết giả thuyết chặn trên cho mặt cầu tồn tại hơn
10 năm. Chứng minh của ông dựa vào một đặc trưng của Reisner về tính
Cohen-Macaulay của iđêan sinh bởi các đơn thức không chứa bình phương
thông qua tính triệt tiêu của nhóm đồng điều đơn hình rút gọn.
Cho G là đồ thị đơn trên tập đỉnh { x 1 , . , x n } và tập cạnh E( G ). Một
iđêan liên kết với đồ thị G như sau:
I( G ) = (x i x j | x i x j ∈ E( G )) ⊆ S := k[x 1 , . , x n ]
được gọi là iđêan cạnh của đồ thị G . Mỗi iđêan này tương ứng một-một
với một iđêan sinh bởi các đơn thức bậc hai không chứa bình phương. Đồ
thị G được gọi là Cohen-Macaulay (tương ứng, Gorenstein) (trên k) nếu
I( G ) là iđêan Cohen-Macaulay (tương ứng, Gorenstein) trên k.
Để nghiên cứu tính Cohen-Macaulay và Gorenstein của I( G ), chúng ta
có thể áp dụng các tiêu chuẩn của Reisner (Bổ đề 1.2.3) và Stanley (Bổ đề
1.2.6). Tuy nhiên, trong trường hợp này phức đơn hình liên kết với I( G )
là khá phức tạp, và hơn nữa trong nhiều trường hợp chúng ta không thể
đọc được các tính chất của I( G ) từ chính đồ thị G . Do đó, mục đích của
luận án nghiên cứu bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay và Gorenstein
của I( G ) dựa vào cấu trúc của G ?
Năm 1990, Villarreal [53] đã giải quyết bài toán trên cho tính Cohen-
Macaulay của đồ thị cây. Vào năm 2005, Herzog và Hibi [18] đã giải quyết
bài toán 1 cho tính Cohen-Macaulay và Gorenstein của đồ thị hai phần.
Trường hợp đồ thị dây cung được giải quyết bởi Herzog, Hibi và Zheng
[19] vào năm 2006. Gần đây, Vander Meulen, Van Tuyl và Watt [51] đã
xét bài toán 1 cho các đồ thị được gọi là vòng tròn.
2Nhìn chung, tính Cohen-Macaulay của đồ thị không chỉ phụ thuộc vào
cấu trúc của đồ thị mà còn phụ thuộc vào đặc số của trường cơ sở [54,
Exercise 5.3.31]. Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ có thể giải quyết bài
toán 1 cho một số lớp đồ thị. Trong luận án này, chúng tôi tìm các lớp đồ
thị mới mà bài toán 1 có lời giải.
Độ vòng của G , kí hiệu girth( G ), là độ dài của chu trình nhỏ nhất trong
G . Nếu G không chứa chu trình, thì ta quy ước girth( G ) bằng vô cùng. Kết
quả đầu tiên của luận án là đặc trưng hoàn toàn tính Cohen-Macaulay cho
các đồ thị có độ vòng lớn hơn hoặc bằng 5 (Định lý 3.2.4). Kết quả này
liên quan đến các lớp đồ thị quen biết trong lý thuyết tổ hợp như: đồ thị
phủ tốt, đồ thị có phân tích đỉnh, lớp PC và lớp SQC .
Đối với tính Gorenstein, chúng tôi đưa ra một đặc trưng cho lớp đồ thị
không chứa tam giác (Định lý 3.3.8). Đặc trưng này của chúng tôi là thuần
túy tổ hợp. Để giải thích tại sao chúng tôi tập trung đến lớp đồ thị này,
chúng tôi đã xây dựng một đồ thị có 182 đỉnh mà tính Gorenstein của nó
không những phụ thuộc vào G mà còn phụ thuộc vào trường cơ sở (Mệnh
đề 3.3.2).
Mục đích tiếp theo của luận án là giải quyết bài toán sau:
Bài toán 2: Tìm đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay của I( G ) 2
dựa
vào cấu trúc của G .
Thực ra, bài toán trên được đặt ra một cách tổng quát cho lũy thừa thứ
m của iđêan sinh bởi các đơn thức không chứa bình phương. Có rất nhiều
nhà toán học quan tâm đến vấn đề này như: Cowsik và Nori [3]; Rinaldo,
Terai và Yoshida [39, 40]; N.C.Minh và N.V.Trung [30, 31]; N.Terai và
N.V.Trung [48]; . Cuối cùng, trong [48], N.Terai và N.V.Trung đã giải
quyết hoàn toàn vấn đề đó với m ≥ 3. Vấn đề còn lại là trường hợp
m = 2. Kết hợp các kết quả của N.C.Minh và N.V.Trung [31] và Rinaldo,
Terai và Yoshida [39], chúng ta có ngay một tiêu chuẩn để kiểm tra tính
Cohen-Macaulay của lũy thừa thứ hai của iđêan đơn thức không chứa bình
phương. Tuy nhiên, tiêu chuẩn này khá phức tạp và chưa thuần túy tổ hợp.
Do đó, người ta muốn có được một tiêu chuẩn dể kiểm tra hơn. Chúng
3tôi sẽ bắt đầu với trường hợp iđêan sinh bởi các đơn thức bậc hai không
chứa bình phương. Mỗi iđêan như vậy sẽ tương ứng với một đồ thị đơn.
Đó chính là lý do mà chúng tôi muốn tập trung giải quyết bài toán 2.
Việc nghiên cứu tính Cohen-Macaulay của lũy thừa thứ hai của iđêan
đơn thức không chứa bình phương còn liên quan đến tính Gorenstein của
iđêan đó. Vấn đề này liên quan đến một giả thuyết của Vasconcelos [52,
Conjecture (B)]. Năm 2011, Rinaldo, Terai và Yoshida [39, Lemma 2.3] đưa
ra kết luận trong trường hợp iđêan cạnh rằng nếu I( G ) 2
là Cohen-Macaulay
với mọi trường k thì G là đồ thị Gorenstein. Một câu hỏi tự nhiên được
họ đưa ra rằng [39, Question 2.8] nếu cố định trường k thì từ điều kiện
I( G ) 2
là Cohen-Macaulay có suy ra G là Gorenstein hay không? Đây cũng
chính là một lí do nữa của chúng tôi cho việc nghiên cứu tính Gorenstein
của I( G ) ở bài toán 1. Chúng tôi chỉ ra rằng tính Cohen-Macaulay của
I( G ) 2
tương đương với đồ thị G là Gorenstein không chứa tam giác (Định
lý 4.2.9). Hơn nữa, dựa vào kết quả phân loại đồ thị Gorenstein ở bài toán
1, ngay lập tức chúng tôi có thể kết luận được rằng tính Cohen-Macaulay
của I( G ) 2
được đặc trưng thuần túy tổ hợp.
Chúng tôi cũng xét bài toán tương tự với bão hòa của lũy thừa thứ
m của iđêan đơn thức không chứa bình phương. Với m ≥ 3, tính Cohen-
Macaulay của nó tương đương với tính Cohen-Macaulay của lũy thừa thứ
hai (Mệnh đề 4.2.2). Tuy nhiên, điều đó sẽ không còn đúng khi m = 2.
Cũng như trường hợp lũy thừa thông thường thứ hai, bài toán sau được
xuất hiện một cách tự nhiên:
Bài toán 3: Tìm đặc trưng tổ hợp cho tính Cohen-Macaulay của ^ I( G ) 2
dựa vào G .
Với bài toán này, chúng tôi đưa ra một đặc trưng thuần túy tổ hợp
cho tính Cohen-Macaulay của ^ I( G ) 2 (Định lý 4.2.13). Đặc trưng này nói
rằng ^ I( G ) 2 là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu G là không chứa tam giác
địa phương, α-tới hạn và thuộc lớp đồ thị W 2. Cùng với đặc trưng về
tính Cohen-Macaulay của I( G ) 2
trong Định lý 4.2.9 chúng tôi có thể xây
dựng một ví dụ sao cho ^ I( G ) 2 là Cohen-Macaulay, nhưng I( G ) 2
không
4Cohen-Macaulay (Ví dụ 4.2.15(1)).
Bây giờ chúng tôi giới thiệu cấu trúc của luận án. Ngoài phần mở đầu,
kết luận, bảng kí hiệu và bảng thuật ngữ, luận án chia làm bốn chương.
Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu mối quan hệ giữa iđêan đơn thức và
phức đơn hình. Trong Mục 1.1, chúng tôi giới thiệu sơ lược các khái niệm cơ
bản trong Đại số giao hoán như iđêan Cohen-Macaulay, iđêan Gorenstein
và iđêan không trộn lẫn. Trong Mục 1.2, chúng tôi giới thiệu các đặc trưng
của phức đơn hình Cohen-Macaulay và phức đơn hình Gorenstein. Để sử
dụng được các đặc trưng này, chúng tôi trình bày khái niệm và các tính
chất của đồng điều đơn hình rút gọn. Từ đó, chúng tôi chứng minh hai
tính chất bổ trợ về tính triệt tiêu của các đồng điều đơn hình rút gọn (Bổ
đề 1.2.9, Hệ quả 1.2.10). Mục 1.3 sẽ trình bày công thức Takayama như là
một trong những công cụ chính của các chương sau.
Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc một số lớp đồ thị. Mục
2.1 sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về đồ thị và chứng minh một số tính
chất của lớp đồ thị phủ tốt. Trong Mục 2.2, chúng tôi giới thiệu và chứng
minh một số tính chất của lớp đồ thị W 2. Kết quả chính trong mục này là
đặc trưng lớp đồ thị W 2 trong trường hợp không chứa tam giác (Định lý
2.2.8) và trường hợp không chứa tam giác địa phương và α-tới hạn (Định
lý 2.2.11). Trong Mục 2.3 sẽ trình bày một số lớp đồ thị quan trọng như:
đồ thị có phân tích đỉnh, lớp đồ thị PC và SQC . Từ đó, chúng tôi chỉ ra
rằng mọi đồ thị thuộc lớp SQC đều có phân tích đỉnh và phủ tốt (Định lý
2.3.11).
Trong Chương 3, chúng tôi phân loại hoàn toàn đồ thị Cohen-Macaulay
với độ vòng lớn hơn hoặc bằng 5 và đồ thị Gorenstein không chứa tam giác.
Mục 3.1 sẽ trình bày một tổng quan các kết quả đã được giải quyết về việc
phân loại các lớp đồ thị Cohen-Macaulay và Gorenstein. Kết quả chính
trong Mục 3.2 là đặc trưng hoàn toàn đồ thị Cohen-Macaulay với độ vòng
lớn hơn hoặc bằng 5 (Định lý 3.2.4). Trong Mục 3.3, chúng tôi đặc trưng
thuần túy tổ hợp đồ thị Gorenstein không chứa tam giác (Định lý 3.3.8).
Trong trường hợp đồ thị chứa tam giác, chúng tôi xây dựng một đồ thị
5gồm 182 đỉnh mà tính Gorenstein không những phụ thuộc vào cấu trúc
của đồ thị mà còn phụ thuộc vào trường cơ sở (Mệnh đề 3.3.2). Đối với
đồ thị phẳng không chứa tam giác, chúng tôi đưa ra một minh họa tường
minh cho tính Gorenstein của lớp đồ thị này (Hệ quả 3.3.10).
Trong Chương 4, dựa vào cấu trúc các lớp đồ thị ở chương 2, và việc
phân loại các đồ thị Gorenstein ở chương 3, chúng tôi đặc trưng được tính
Cohen-Macaulay của I( G ) 2
và ^ I( G ) 2 dựa vào cấu trúc của đồ thị G . Trong
Mục 4.1, chúng tôi nghiên cứu đặc trưng tính Cohen-Macaulay của lũy
thừa tượng trưng thứ hai I( G ) (2)
(Định lý 4.1.5). Từ kết quả đó mục 4.2
sẽ giải quyết bài toán 2 (Định lý 4.2.9). Như một hệ quả, chúng tôi đưa ra
lời giải cho giả thuyết của Rinaldo, Terai và Yoshida [39, Conjecture 5.7]
(Hệ quả 4.2.10). Tiếp theo, chúng tôi đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay
của ^ I( G ) 2 (Định lý 4.2.13). Kết quả này cũng chính là lời giải cho bài toán
3. Kỹ thuật chủ yếu là dựa vào việc cấu trúc lớp đồ thị W 2 và phân loại
các đồ thị Gorenstein.
Các kết quả trong luận án đã được công bố trong hai bài báo quốc tế
[23, 24], một bài báo trong nước [26] và một bài báo gửi đăng [25].
Trong luận án này, một số khái niệm cơ bản và các tính chất của nó
như đối đồng điều địa phương, phức đơn hình, . có thể tham khảo trong
các tài liệu [10, 17, 29]. Một số thuật ngữ tiếng Việt chúng tôi dựa theo
luận án tiến sĩ khoa học của L.T.Hoa [1].