Tiến Sĩ Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

Luận án tiến sĩ năm 2013
Đề tài: Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng


Mục lụcBìa . i
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn . ii
Muc luc iv
Môt số ký hi êu dùng trong luân án . viii
MỞ đầu . 1
1 Hê phương trình căp tích phân Fourier tống quát 19
1.1 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh 20
1.1.1 Không gian s của các hàm cơ bản giảm nhanh 20
1.1.2 Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản . 20
1.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm 21
1.2.1 Không gian s' của các hàm suy rộng tăng chậm 21
1.2.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . 22
1.2.3 Biến đổi Fourier của tích chặp . 23
1.3 Các không gian Sobolev . 24
1.3.1 Không gian i/*(R) 24
1.3.2 Các không gian H*(n), if[SUP]a[/SUP](n) 24
1.3.3 Định lý nhúng . 25

1.4 Các không gian Sobolev vectơ 26
1.4.1 Khái niệm . 26
1.4.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 28
1.5 Toán tử già vi phân vectơ . 30
1.5.1 Khái niệm 30
1.5.2 Chuẩn và tích vó hướng tương đương 32
1.5.3 Nhúng compact . 34
1.6 Tính giải ctưọc của hệ phương trình cặp 34
1.6.1 Định lý duy nhất . 34
1.6.2 Định lý tổn tại 36
2 Hệ phương trình căp của môt sổ bài toán biên hổn hop dổi với phương trinh diều hoà và song diều hoà trong miền hình dải 41
2.1 Bài toán biên hỗn hợp thứ nhất đối vói phương
trình điều hoà 42
2.1.1 Phát biểu bài toán . 43
2.1.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân . 43
2.1.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.10) . 45
2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích
phân kỳ dị nhân Cauchy . 46
2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vó
hạn các phương trình đại số tuyến tính . 49
2.2 Bài toán biên hỗn hợp đối vói dài đàn hổi 56
2.2.1 Phát biểu bài toán 56
2.2.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân . 58
2.2.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.51) . 61
2.2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích
phân kỳ dị nhân Cauchy 64
2.2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vó
hạn các phương trình đại số tuyến tính . 67
2.3 Bài toán biên hỗn hợp đối vói phương trình song điều hoà 72
2.3.1 Phát biểu bài toán 73
2.3.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân 74
2.3.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.106). 77
2.3.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích
phân nhân logarithm . 84
2.3.5 Đưa hệ phương trình tích phân nhân logarithm về hệ vó
hạn các phương trình đại số tuyến tính . 86
2.4 Bài toán biên hỗn hợp thứ hai đối vói phương trình điều
hoà 90
2.4.1 Phát biểu bài toán 91
2.4.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân 91
2.4.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.157). 92
2.4.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích
phân kỳ dị nhân Cauchy 94
2.4.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vó
hạn các phương trình đại số tuyến tính . 96
Giải gần đúng hê phương trình tích phân kỳ dị của môt hê phương trinh căp tích phân Fourier 102
3.1 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị vê dạng không thứ nguyên 102
3.2 Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình tích phân kỳ dị 106

3.2.1 Tính gần đúng ma trận hạch của hệ phương trình tích phân
kỳ dị 106
3.2.2 Tính nghiệm gần đúng của hệ phương trình tích phân kỳ dị 110
3.2.3 Về tốc độ hội tụ 128
Kết luân và dê nghị . 132
Danh mục công trình của tác giả đã công bố liên quan đến luận án 134
Tài liêu tham khảo 135

Mở đầu
1. LÝ do chọn đề tài
Phương trình cặp (dual equations) và hệ phương trình cặp (systems of dual equations) xuất hiện khi giài các bài toán biên hỗn hợp của Vật lý toán bằng cách sử dụng các biến đổi tích phân thích hợp. Nhiẻu bài toán của lý thuyết đàn hồi, các bài toán vể vết nứt, các bài toán về tiếp xúc, . có thể clirọc đưa đến giải các phương trình cặp khác nhau. Trong khoảng năm Ihặp niên gần đây nhũng nghiên cứu về phương trình cặp chủ yếu là các phương pháp tìm lời giải hình thúc của các phương trình này [17,44].
Hiện nay các kết quả định tính về phương trình cặp còn hạn chế [2- 5, 9,
11, 18, 23,47], tính giải được của các hệ phương trình cặp hầu như chưa clirọc nghiên cứu. Việc nghiên cứu hệ phương trình cặp sẽ mờ rộng phạm vi áp dụng cho phương trình cặp trong việc giải các bài toán biên hỏn hợp của Vật lý toán. Vì vậy, việc nghiên cứu về hệ phương trình cặp là cần thiết và có tính thòi sự. Trong các phép biến dổi tích phân thì phép biến đổi tích phân Fourier có vị trí đặc biệt quan trọng đối với các phái triển lý thuyết của toán học cũng như ứng dụng trong nhiều ngành khoa học tự nhiên khác.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là " Một số lớp hệ phuơng trình cặp và úng dụng".
2. Mục đích của để tài luận án
2.1. Mục đích của đề tài luận án là thiết lập tính giải được của các hệ phương trình cặp tích phân trong nhũng không gian hàm thích hợp. Các không gian hàm chrọc sử dụng trong luận án là không gian các hàm suy rộng tăng chậm và các không gian Sobolev vectơ.

2.2. Mục đích thứ hai của đề tài luận án là nghiên cứu các phương pháp hữu hiệu tìm nghiệm của hệ các phương trình cặp tích phân. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp biểu diẽn nghiệin của các hệ phương trình cặp tích phân thông qua các hàm phụ trợ thích hợp, và đưa hệ các phương trình cặp tích phân về hệ các phương trình tích phân kỳ dị vói nhân Cauchy hoặc nhân logarithm.
23. Mục đích thứ ba của đề tài luận án là vận dụng các phương pháp hữu hiệu giải hệ phương trình tích phân kỳ dị, để từ đó có thể tìm được nghiệm của hệ phương trình cặp tích phân. Trong luận án này chúng tôi vận dụng phương pháp đa thúc trực giao [32- 37] để đưa hệ các phương trình tích phân kỳ dị vói nhân Cauchy hoặc nhân logarithm vé hệ vó hạn các phương trình đại sổ tuyến tính tựa hoàn toàn chính qui [14], thuận tiện cho việc tìm nghiệm gần đúng của các hệ phương trình cặp tích phân đề cập trong luận án này.
3. Đối tiiợng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là thiết lập tính giải chrọc của hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát vói biểu trưng (symbol) là ma trận xác định dương. Xét úng dụng của lý thuyết hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát vào nghiên cứu một số lớp hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải một số bài toán biên hỗn hợp cho các phương trình điều hoà và song điều hoà trong miền hình dài của mặt phảng.
4. Phương pháp nghicn cứu
Chúng tói vận dụng tiếp cận lý thuyết hàm suy rộng và toán tử già vi phân để nghiên cứu hệ phương trình cặp tích phân mà luận án quan tâm. Tiếp cận lý thuyết hàm suy rộng được sử dụng để nghiên cứu các phương trình cặp dạng Titchmash được Walton J. R. lần đầu tiên nghiên cứu vào năm 1975 [47], còn tiếp cận toán tử già vi phân do Nguyễn Văn Ngọc vận dụng năm 1988 [24] để nghiên cứu tính giải được của phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng chậm.
5. Tổng quan về đề tài luận án
5.1. Phương trình cặp tổng quát
Hiện nay trong số các phương pháp giải tích giải các bài toán biên hỗn hợp cùa Vật lý toán thì phương pháp phương trình cặp là tổng quát và linh hoạt hơn cả. Những cóng trình nền móng của phương pháp này là các cóng trình của các nhà toán học Beltrami E., Boussinesq J. và Abramov V. M. Sự phát triển của phương pháp đã dựa trên các công trình sau đó của Tranter G, Cooke J., Sneddon I., Ufliand la. s., Babloian A. A., Valov G. N., Mandal B. N., Aleksandrov B. M.,
Các phương trình cặp xuất hiện khi sử dụng phép biến đổi tích phân nào đó để giải các bài toán biên hỏn hợp cùa các phương trình đạo hàm riêng. Có nhiều phép biến đổi tích phân khác nhau và mỗi phép biến đổi lại tương úng với một loại phương trình cặp. Độ phúc tạp cùa mỏi loại phương trình cặp phụ thuộc vào biểu trimg và số khoảng có trong phương trình. Phương trình cặp tổng quát có thể đirọc phát biểu như sau:
Già sử 3 là khoảng hĩh.1 hạn hay vô hạn của trục thực R và T là biến đổi tích phân nào đó trên J vói biến đổi ngưọc T[SUP]-1[/SUP]. Ký hiệu ?(£) là T— biến đổi của hàm í’(ar). Phương trình cặp tích phân đối vói phép biến đổi tích phân T có dạng
ípT[SUP]_l[/SUP][Ấi(ỉ)íĩ(€)](x) = /(*), xen,
\pfT[SUP]_1[/SUP][A[SUB]2[/SUB](f) «(£)](*) = g(x), xen', trong đó yli(£) và -Ạỉíí) là các hàm đã biết, fỉ, fi' là các hệ khoảng không giao nhau của J. sao cho ĩl u íỉ' = ,/. p và // lần lượt là các toán tử hạn chế trên <> và n' tương ứng. Nếu ký hiệu
«(€) = A[SUB]2[/SUB](£)v{í), [SUP]A[/SUP](0 = T77T- [SUP]u[/SUP]([SUP]x[/SUP]) = [SUP]T[/SUP]~[SUP]l[/SUP]([SUP]x[/SUP])
thì (1) có thể được viết lại ở dạng
í= /(*). IỄÍ1,
I p'u(x) = g{x), X € n',

hàm .4(í) được gọi là biểu trung (symbol) của toán tử (già vi phân):
A[SUB]U[/SUB]:=r-‘[A(0S(0]W.
Nhận xét rằng, phương trình cặp (2) có thể được xem như là bài toán Dirichlet clôí với phương trình già vi phân Au = f(x) trên ĩl.
52. Các phương pháp hình thức
Trong khoảng 50 năm qua đã xuất hiện nhiều nghiên cứu về nhũng phương pháp hình thức giải các phương trình cặp tích phân và các phương trình cặp chuỗi clôí vói các phép biến đổi tích phân khác nhau. Những phương pháp này nhìn chung còn mang tính hình thúc, túc là chưa xét đến tính giải được cùa các phương trình cặp, cũng như chưa có sự đảm bào toán học chặt chẽ clôí vói các biến đổi. Tuy nhiên, các phương pháp này đã thúc đẩy sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết phương trình cặp đôì vói các biến đổi tích phân khác nhau. Phần lớn các phương pháp này có thể tìm thấy trong các tài liệu [17, 31, 44].
Trước hết đề cập tói nhũng phương pháp hình thúc nghiên cứu về phương trình cặp liên quan đến biến đổi Fourier (gọi tắt là phương trình cặp tích phân Fourier) dạng:
{ F“'[Ẩũ](a = -7- / 2(£M(€)e[SUP]-IJ<[/SUP]đ£ = /(*). * e n c R. ị i /^[SUP]00[/SUP] ’ (3)
‘[2] (í) = 7- Ị S(£)e [SUP]ix<[/SUP]d^ =g{x), ĩ€R\íl,
trong đó íì(0 là hàm cần tìm, A(€). f(x),g(x) là nhũng hàm đã biết, fỉ = uj![SUB]=[/SUB][SUB]1[/SUB]y[SUB]t[/SUB] Jị, = (a*.b[SUB]k[/SUB]). Jj n = 0 (í / j).
ã Khi Q = (0.00) phương pháp thường được sử dụng là phương pháp nhân tử hoá Wiener- Hopf [11, 19, 31]. Trường hợp này thường gặp trong các bài toán về tán xạ các sóng và về các vết nứt nửa vô hạn.
ã Khi fỉ = (a, b) là khoảng hữu hạn, phương trình (3) còn đưọc gọi là phương trình bộ ba (triple equation) clưọc đưa về phương trình tích phân dạng chập [1, 7, 36, 37]:
(a * u)(x) := í a(x — t)u(t)dt = f(x) + g(x), a < X < b. (4)

Tài liệu tham khảo
[1] Aleksandrov V. M. (2003), "Asymptotic Methods Applied to Contact Prob­lems", International Applied Mechanics, 39(8), pp. 912-920.
[2] Banerji p. K. and Deshna Looneker (2010), "Dual integral equations involv­ing Legendre functions in distributional spaces", Journal of Inequalities and Special Functions, 1, pp. 53-60.
[3] Brychkov u. A. and Prudnikov A. p. (1977), Generalized integral trans­formations, Nauka, Moscow.
[4] Cakoni F., HsiaoG. c and Wendland w. L. (2005), "On boundary integral equation method for a mixed boundary value problem of the biharmonic equation", Complex Varieties and Elliptic Equations, 50(7), pp. 681-696.
[5] Ciaurri O'., Gaidalupe Jose' J., Pere'z Mario and Varona Juan L. (2000), "Solving dual integral equations on Lebesgue spaces", Studia Math. 142(2), pp. 253-267.
[6] Duduchava R. (1979), Integral Equations with Fixed Singularites, Teubner Verlagsgesellscohaft, Leipzig.
[7] Delfino F., Procopio R. and Rossi M. (2009), "A new method for the so­lution of convolution-type dual integral equation systems occurring in en­gineering electromagnetics", J Eng Math, Volume 63 Nl, pp. 51-59.
[8] Eskin G. I. (1973), Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodifferen- tial Equations, Nauka, Moscow, (in Russian).
[9] Estrada R. and Kawal R. p. (1985), Distributional solution of dual inte­gral equations of Cauchy, Ahel and Titchmarsh type, Journal of Integral Equations, 9(3), pp. 277-305.
[10] Fuqian Yang and Rong Yao (1996), 'The solution for mixed boundary value problems of two-dimension potential theory", Indian J pure appl. Math. , 27(3), pp. 313-322.
[11] Gahov F. D. and Cherskii Ju. I. (1978), Equations of Convolution Type - Moscow: Nauka, (in Russian).
[12] Gohberg I. c and Fel'man I. A. (1971), Com'olution Equations and Pro­jection Methods for Their Solution, Nauka, Moscow, (Russian).
[13] Gradshteyn I. s. and Ryzhik I. M. (1965), Tables of Integrals, Series and Products, Academic Press, New York.
[14] Kantorovich L. V., Krylov Yu. A. (1962), Approximate Methods in Hiqher Analysis, Fianatgiz, Moscow, (in Russian).
[15] Kelman Robert B. (1981), "Convergence of solutions of the classic dual cosine equation", Applied Mathematics and Computation, Volume 9 Issue 3, pp. 217-225.
[16] Krylov V. I. (2006), Approximate Calculation of Integrals, Dover Publi­cation INC.
[17] Mandal B. N. (1998), Ach ances in Dual Integral Equations, Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton.
[18] Manam s. R. (2007), "On the solution of dual integral equations”, Applied Mathematics Letters, Volume 20 Issue 4, pp. 391-395.
[19] Mittra R. and Lee s. w. (1971), Analytical Techniques in the Theory of Guided Waves, MacMillan, New York.