Thạc Sĩ Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một nội dung cổ điển và quan trọng của Toán học. Ngay từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo. Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế. Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế, Olympic. Là một giáo viên THPT, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về bất đẳng thức nhằm nâng cao chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, vậy nên tôi đã chọn bất đẳng thức làm luận văn thạc sĩ của mình.

Bất đẳng thức vô cùng rộng lớn, trong thời gian ngắn, tôi chỉ có thể nghiên cứu lĩnh vực nhỏ trong đó. Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài

"Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến."

Luận văn được chia làm bốn chương:
ã Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ.
ã Chương 2: Bất đẳng thức với tổng không đổi.
ã Chương 3: Bất đẳng thức có tích không đổi.
ã Chương 4: Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến.

Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán- Cơ - Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành bản luận văn này.

Mục lục
MỞ ĐẦU 3
1 Một số kiến thức bổ trợ 5
1.1 Đa thức đối xứng ba biến . 5
1.2 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức . 6
1.3 Bất đẳng thức thường dùng 6
1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM 6
1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . 7
1.3.3 Bất đẳng thức Karamata . 7
2 Bất đẳng thức có tổng các biến không đổi 9
2.1 Bất đẳng thức có tổng các biến không đổi với hàm phân thức hữu tỉ 9
2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . 9
2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . 15
2.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số 21
2.1.4 Bài toán liên quan . 31
2.2 Bất đẳng thức có tổng các biến không đổi với hàm vô tỉ 33
2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . 33
2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . 36
2.2.3 Sử dụng các tính chất của hàm số 41
2.2.4 Bài toán liên quan . 43
3 Bất đẳng thức có tích các biến không đổi 45
3.1 Bất đẳng thức có tích các biến không đổi với hàm phân thức hữu tỉ 45
3.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . 45
3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . 50
3.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số 53
3.1.4 Bài toán liên quan . 55
3.2 Bất đẳng thức có tích các biến không đổi với hàm vô tỉ 56
3.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . 56
3.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . 59
3.2.3 Sử dụng các tính chất của hàm số 60
3.2.4 Bài toán liên quan . 62
4 Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến 63
4.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . 63
4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . 68
4.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . 73
4.4 Bài toán liên quan 77
KẾT LUẬN 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO 79