Thạc Sĩ Một số lớp bài toán về phương trình hàm

Lời nói đầu

Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực hay và khó của toán học sơ cấp. Trong các kì thi Olympic Toán học Quốc gia, Khu vực và Quốc tế thường xuyên xuất hiện các bài toán phương trình hàm. Các bài toán này thường là khó, đôi khi là rất khó. Để giải các bài toán đó, trước tiên ta cần nắm vững các tính chất cơ bản về hàm số, một số phương trình hàm cơ bản, các phương pháp giải và có sự vận dụng thích hợp. Với mong muốn có thể tiếp cận được với bài toán phương trình hàm trong các kì thi Olympic Toán, luận văn sẽ đi theo hướng trên. Cụ thể, luận văn chia làm ba chương:

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trình bày về các định nghĩa tính chất cơ bản của hàm số.
Chương 2. Một số phương trình hàm cơ bản.
Trình bày về một số phương trình hàm cơ bản, các dạng liên quan trong một số trường hợp riêng lẻ hay mở rộng, trong đó đi sâu về phương trình hàm Cauchy, cùng vận dụng của nó. Trong chương này cũng sẽ có nhiều hơn bài toán thi Olympic để thấy được tầm quan trọng của các phương trình hàm cơ bản.
Chương 3. Một số phương pháp giải phương trình hàm.
Trình bày một số phương pháp giải phương trình hàm thông dụng. Ở mỗi phương pháp sẽ bắt đầu bằng phương pháp chung, một số lý thuyết hữu ích liên quan, các bài toán vận dụng, cuối cùng là phần bài tập với gợi ý kèm theo. Trong đó cũng có không ít các bài toán khó, các bài toán thi học sinh giỏi giúp chúng ta tìm hiểu sâu hơn, nắm vững hơn từng phương pháp.

Để hoàn thành luận văn, trước hết tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thành Văn đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ bảo, tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện luận văn. Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô, các anh chị học viên cao học toán khóa 2009-2011, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học trường đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội đã tạo điều kiện, giúp đỡ trong suốt quá trình hoàn thành khóa học.

Mục lục
Lời nói đầu iii
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1
1.1. Hàm số liên tục . 1
1.1.1. Định nghĩa về hàm số liên tục 1
1.1.2. Tính chất của hàm số liên tục . 2
1.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ 3
1.3. Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn 3
1.4. Tính đơn điệu của hàm số 4
1.5. Tính chất ánh xạ của hàm số 4
Chương 2. Một số phương trình hàm cơ bản 5
2.1. Phương trình hàm Cauchy 5
2.2. Phương trình hàm Jensen 11
2.3. Vận dụng phương trình hàm cơ bản vào giải toán 14
Chương 3. Một số phương pháp giải phương trình hàm 31
3.1. Phương pháp sử dụng tính liên tục của hàm số . 31
3.2. Phương pháp Qui nạp toán học . 43
3.3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 46
3.4. Phương pháp sử dụng tính chất ánh xạ của hàm số . 58
i
3.5. Phương pháp điểm bất động . 71
3.6. Phương pháp đưa về dãy số 79
3.6.1. Cơ sở lý thuyết phương trình sai phân . 79
3.6.2. Một số bài toán vận dụng 81
Kết luận . 86
Tài liệu tham khảo . 87