Tiến Sĩ Một số kết quả về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian

Luận án tiến sĩ năm 2012
Đề tài: Một số kết quả về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian


Mục lục
Mục lục i
Lời cam đoan iii
Lời cảm ơn iv
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 7
1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian . 7
1.2 Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian . 18
1.3 Kết luận chương 1 . 23
2 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian 24
2.1 Định lý khai triển Doob - Meyer 24
2.2 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . 35
2.2.1 Tích phân theo martingale bình phương khả tích 35
2.2.2 Tích phân theo martingale địa phương bình phương khả tích 40
2.3 Công thức Itô và ứng dụng . 42
2.4 Phát biểu bài toán martingale 57
2.5 Kết luận chương 2 . 64
3 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 65
i
3.1 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 65
3.2 Tính Markov của nghiệm 79
3.3 Ước lượng moment . 85
3.4 Kết luận chương 3 . 91
Kết luận và kiến nghị . 92
Danh mục công trình đã công bố 93


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giải
tích (tích phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, . ) đối với quá trình ngẫu nhiên,
nhằm mục đích xây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác
động của các yếu tố ngẫu nhiên. Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học
có nhiều ứng dụng trong sinh học, y học, vật lý học, kinh tế, khoa học xã hội, .
và được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Cho đến nay, giải tích ngẫu
nhiên với thời gian liên tục và thời gian rời rạc đã được nghiên cứu khá đầy đủ.
Năm 1923, N. Wiener đã sử dụng lý thuyết độ đo để xây dựng quá trình
chuyển động Brown và chứng minh sự tồn tại duy nhất của nó. Trong công trình
của mình, N. Wiener đã chỉ ra rằng quỹ đạo của quá trình chuyển động Brown
có biến phân không giới nội. Do đó, tích phân theo quá trình Wiener không thể
xây dựng theo cách thông thường như là tích phân Lebesgue-Stieljes. Điều này
đã được khắc phục bởi K. Itô, nhà toán học người Nhật bản, ông đã xây dựng tích
phân ngẫu nhiên theo quá trình Wiener vào năm 1944 trong [24]. Sau đó, J. L.
Doob [8] đã mở rộng tích phân ngẫu nhiên theo quá trình có gia số trực giao. Tích
phân ngẫu nhiên tiếp tục được mở rộng đối với martingale bình phương khả tích
bởi P. A. Meyer [40]; bởi H. Kunita và S. Watanabe [31]. Năm 1970, P. A. Meyer
và C. Doléans-Dade [42] đã xây dựng tích phân theo martingale địa phương bình
phương khả tích. Cũng trong năm đó, C. Dellacherie và K. Bichteler đã xây dựng
tích phân ngẫu nhiên theo semimartingale. Ngày nay, người ta gọi tích phân ngẫu
nhiên được chỉ ra ở trên là tích phân ngẫu nhiên Itô.
Đối với các tính toán ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, các phép biến đổi
martingale được xem là tích phân ngẫu nhiên Itô.
Công thức Itô đối với quá trình Wiener đã được K. Itô [25] xây dựng năm
1951 và được xem là công cụ then chốt trong tính toán ngẫu nhiên. Năm 1967,
1
H. Kunita và S. Watanabe [31] đã mở rộng công thức Itô đối với martingale bình
phương khả tích; P. A. Meyer [39] đã mở rộng công thức Itô đối với martingale
có bước nhảy. Công thức Itô đối với semimartingale được xây dựng năm 1969
bởi McKean trong [36], được mở rộng bởi P. A. Meyer và C. Doléans-Dade trong
[42].
Đối với tính toán ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, công thức Itô được xây
dựng năm 2002 bởi D. Kannan và B. Zhan trong [28].
Năm 1953, J. L. Doob [8] đã phát biểu và chứng minh định lý khai triển
Doob đối với submartingale với thời gian rời rạc và phỏng đoán định lý đối với
submartingale với thời gian liên tục. Các định lý này được chứng minh vào năm
1962 và 1963 bởi P. A. Meyer (xem [40, 41]). Do đó, người ta gọi định lý khai
triển Doob là định lý khai triển Doob - Meyer.
Phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu là quá trình Wiener được xây
dựng vào năm 1951 bởi K. Itô [26]và tiếp tục được nghiên cứu bởi H. P. McKean
[36], I. I. Gihman và A. V. Skorohod trong [15]. Phương trình vi phân ngẫu nhiên
với nhiễu là martingale bình phương khả tích được nghiên cứu bởi N. Kazamaki
[29] năm 1972. Các kết quả này được phát triển bởi P. E. Protter [44] và nhiều
nhà toán học khác (xem [23, 27, 32, 45]). Những năm gần đây, X. Mao và cộng
sự đã nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu là semimartingale
(xem [33, 34]). Bên cạnh đó, phương trình sai phân ngẫu nhiên là dạng đơn giản
nhất của phương trình động lực ngẫu nhiên. Nó đóng vai trò quan trọng trong
nghiên cứu các hệ động lực ngẫu nhiên. Trong rất nhiều trường hợp, người ta
thường chuyển việc nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên về nghiên cứu
phương trình sai phân bằng các phương pháp rời rạc hóa phương trình vi phân.
Với những ý nghĩa đó, phương trình sai phân ngẫu nhiên được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu (xem [20, 35, 49, 50]).
Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian
2
người ta thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các
thời điểm quan sát cách nhau một khoảng cố định. Từ đó, các phép tính giải tích
liên tục (phép tính vi phân) và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để
mô tả hệ thống tương ứng với các giả thiết lý tưởng được đặt ra. Song trên thực
tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không hoàn toàn liên tục và cũng không hoàn
toàn cách đều nhau. Đôi khi các quan sát còn xen lẫn các khoảng thời gian liên
tục với các thời điểm rời rạc. Chẳng hạn một loài sâu nào đó chỉ phát triển trong
suốt mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián đoạn. Vì
vậy, trong nhiều trường hợp phương trình vi phân hoặc sai phân không đủ để mô
tả các thông tin cần thiết của mô hình. Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm
khắc phục nhược điểm này của giải tích cổ điển. Lý thuyết này được đưa ra lần
đầu tiên năm 1988 bởi S. Hilger, một nhà Toán học người Đức (xem [21]). Các
kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian cho phép chúng ta xây dựng
được mô hình toán học của các hệ thống tiến triển không đều theo thời gian, phản
ánh đúng các mô hình thực tế. Do đó, chủ đề thang thời gian thu hút được sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiều công
trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín (xem [3, 4, 5, 12, 13, 22]).
Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về thang thời gian chỉ mới dừng lại ở
giải tích tất định. Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển
trong các điều kiện môi trường không có nhiễu biến đổi. Hiển nhiên, các mô hình
thực tế không như vậy và ta phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động vào
môi trường. Do đó, việc chuyển các kết quả về giải tích trên thang thời gian của
các mô hình tất định sang mô hình ngẫu nhiên là một nhu cầu cấp thiết.
Với các lý do nêu trên, trên cơ sở các vấn đề của giải tích ngẫu nhiên và
lý thuyết thang thời gian, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là:
"Một số kết quả về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian".
3
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu lý thuyết quá trình ngẫu nhiên trên
thang thời gian, nhằm thống nhất và mở rộng một số kết quả về dãy các biến ngẫu
nhiên và lý thuyết quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian, cụ
thể là định lý khai triển Doob - Meyer đối với submartingale trên thang thời gian;
tích phân ngẫu nhiên theo semimartingale trên thang thời gian; công thức Itô và
các ứng dụng; các tính chất định tính và định lượng của phương trình động lực
ngẫu nhiên trên thang thời gian.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một số kết quả bước đầu về giải tích ngẫu nhiên trên thang
thời gian.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Trên cơ sở các kết
quả về giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và liên tục chúng tôi tìm cách
tổng quát hóa các kết quả đó trên thang thời gian.
6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Thống nhất và mở rộng một số kết quả về dãy các biến ngẫu nhiên và lý
thuyết quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục. Tạo ra bức tranh chung cho lý
thuyết dãy các biến ngẫu nhiên và quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục.
Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về giải tích ngẫu nhiên.
Có thể sử dụng luận án làm tài liệu tham khảo về lĩnh vực giải tích ngẫu
nhiên cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Năm 2008, S. Bhamidi và cộng sự trong [2] đã công bố kết quả nghiên cứu
4
về chuyển động Brown nhận giá trị trên thang thời gian. S. Sanyal trong luận án
tiến sỹ của mình năm 2008 đã định nghĩa ''tích phân ngẫu nhiên và phương trình
động lực ngẫu nhiên" trên thang thời gian với hàm hạt dương trong [47]. Năm
2011, S. Sanyal và D. Grow [18] đã công bố kết quả của mình về chuyển động
Brown trên thang thời gian. Cho đến nay, mới chỉ có một số ít kết quả nghiên
cứu về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian. Trong khi đó, các bài toán về lý
thuyết quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và rời rạc đã được nghiên cứu
khá đầy đủ.
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số kết quả về giải tích ngẫu
nhiên trên thang thời gian bằng cách thống nhất và mở rộng các kết quả về tính
toán ngẫu nhiên với thời gian liên tục và rời rạc. Cụ thể là phát biểu và chứng
minh định lý khai triển Doob - Meyer đối với submartingale trên thang thời gian;
xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo semimartingale trên thang thời gian; thiết lập
công thức Itô đối với bộ d semimartingale trên thang thời gian và ứng dụng; xây
dựng phương trình động lực ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phương khả
tích, chỉ ra một số tính chất nghiệm của phương trình này.
7.2 Cấu trúc luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, Luận án được chia làm
3 chương.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Nội dung chính của chương này
chủ yếu trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích tất định và quá trình ngẫu
nhiên trên thang thời gian.
Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian. Nội dung của
chương này được viết thành 4 mục: Mục 2.1 trình bày định lý khai triển Doob -Meyer đối với submartingale trên thang thời gian. Mục 2.2 xây dựng tích phân
ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích, martingale địa phương bình
phương khả tích và mở rộng tích phân đối với semimartingale trên thang thời
5
gian. Mục 2.3 xây dựng công thức Itô đối với bộ d semimartingale trên thang
thời gian. Mục 2.4 trình bày độ đo đếm sinh bởi martingale bình phương khả tích,
ứng dụng công Itô phát biểu martingale.
Chương 3. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian.
Nội dung của chương này được viết thành 3 mục. Mục 3.1 xây dựng phương trình
động lực ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phương khả tích, chỉ ra điều
kiện về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình đó. Mục 3.2 trình bày một
số kết quả về tính Markov của nghiệm và toán tử sinh phụ thuộc thời gian của
quá trình Markov nghiệm. Mục 3.3 xây dựng công thức ước lượng moment đối
với nghiệm của phương trình.
Nghệ An, ngày . tháng năm 2012
Tác giả
6
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số kết quả
cơ bản của giải tích tất định và quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian để làm
cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận án ở các chương sau. Một vài
chỗ là kết quả nghiên cứu của tác giả Luận án, chúng tôi có trình bày chứng minh.
1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang
thời gian
Các kết quả trình bày trongmục này được thamkhảo từ các tài liệu [3] và [4].
Định nghĩa 1.1.1. Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực R được gọi là
thang thời gian (time scales). Ký hiệu thang thời gian là T:
Dễ thấy rằng các tập hợp: R; Z; N; N0
; [0; 1][[2; 3]; [0; 1][N và tập Cantor
là các thang thời gian.
Trong khi đó các tập hợp: Q; R n Q; (0; 1) không phải là thang thời gian
vì chúng không phải là các tâp đóng.
Trong Luận án, chúng tôi luôn giả thiết rằng trên thang thời gian có một
tôpô, chính là tôpô cảm sinh của tôpô thông thường trên tập hợp các số thực.


Tài liệu tham khảo
[1] K. B. Athreya and S. N. Lahiri. (2006), Measure Theory and Probability
Theory, Springer Science Business Media, LLC.
[2] S. Bhamidi, S. N. Evans, R. Peled and P. Ralph. (2008), Brownian motion
on disconnected sets, basic hypergeometric functions, and some continued
fractions of Ramanujan, IMS Collect. Prob. Stat 2, 42 - 75.
[3] M. Bohner and A. Peterson. (2001), Dynamic equations on time scale,
Birkhauser Boston, Massachusetts.
[4] M. Bohner and A. Peterson. (2003), Advances in Dynamic Equations on
Time Scales, Birkhauser Boston, Basel, Berlin.
[5] A. Cabada and D. R. Vivero. (2006), Expression of the Lebesgue -integral
on time scale as a usual Lebesgue integral: Application to the calculus of
-antiderivatives, Mathematical and Computer Modeling. 43, 194 - 207.
[6] A. Denizand U. Ufuktepe . (2009), Lebesgue-Stieltjes measure on time scale,
Turk J. Math. 33, 27 - 40.
[7] N. T. Dieu and N. T. The (2011), Exponential martingale on time scales,
Vinh university journal of science, 40(3A), 21-29.
[8] J. L. Doob. (1953), Stochastic Processes, John Wiley and Sons, New York.
[9] N. H. Du and N. T. Dieu. (2011), The first attempt on the stochastic calculus
on time scale, Journal of Stochastic Analysis and Application. 29, 1057 -1080.
[10] N. H. Du and N. T. Dieu. (2012), Stochastic dynamic equation on time scale,
Acta Mathematica Vietnamica (accepted).
[11] N. H. Du and N. T. Dieu. (2012), On the P - exponential stability of stochastic
dynamic equation on disconnected sets, Journal of Stochastic Analysis and
Application (submitted).
94
[12] N. H. Du and L. H. Tien. (2007), On the exponential stability of dynamic
equations on time scales, J. Math. Anal. Appl. 331, 1159–1174.
[13] N. H. Du, D.D. Thuan and N.C. Liem. (2011), Stability radius of implicit dy-namic equations with constant coefficients on time scales, Systems & Con-trol Letters. 60, 596–603
[14] H. Furstenberg and Y. Kiffer. (1983), Random matrix products and measures
on projective spaces, Isr. J. Math. 46, 12 - 32.
[15] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod. (1972), Stochastic differential equations,
Springer - Verlag, Berlin.
[16] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod. (1979), The theory of stochastic pro-cesses III, Springer - Verlag, New York Inc.
[17] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod. (1969), Introduction to the theory of ran-dom processes, W. B. Saunders Company, Philadelphia. London. Toronto.
[18] D. Grow and S. Sanyal. (2011), Brownian motion indexed by a time scale,
Stochastic Analysis and Applications. 29, 457 - 472.
[19] I. Y. Goldsheid and G. A. Margulis. (1989), Lyapunov exponents of random
matrices product, Usp. Mat. Nauk. 44, 13 - 60.
[20] V. M. Gundlach. and O. Steinkamp. (2000), Product of random rectangular
matrices, Math. Nachr. 212, 54 - 76.
[21] S. Hilger. (1988), Ein Makettenkalk aul mit Anwendung auf Zentrumsman-nigfaltigkeiten, Ph.D. thesis, Universitaat W aurzburg.
[22] S. Hilger. (1990), Analysis on measure chains a unified approach to contin-uous and discrete calculus, Results Math. 18, 18 - 56.
[23] N. Ikeda and S. Wantanabe. (1981), Stochastic differential equations and
diffusion processes, North Holland, Amsterdam.
[24] K. Itô. (1944), Stochastic Integral, Proc. Imp. Acad. Tokyo. 20, 519 - 524.
[25] K. Itô. (1951), On a formula concerning stochastic differentials, Nagoya
Math. J. 3, 55 - 65.
[26] K. Itô. (1951), On stochastic differential equations, Mem. Amer. Math. Soc.
4, 1 - 51.
95
[27] L. Kallenberg. (2001), Foundations of modern probability, Springer Verlag,
New York Berlin Heidelberg.
[28] D. Kannan và B. Zhan. (2002), A discrete - time Itô's formula, Stochastic
Analysis and Applications. 20, 1133 - 1140.
[29] N. Kazamaki. (1972), On the existence of the solutions of martingale integral
equations, Tôhoku Math. Journ. 24, 463 - 468.
[30] F. C. Klebaner. (2005), Introduction to stochastic calculus with applications,
Imperial College Press.
[31] H. Kunita and S. Wantanabe. (1967), On square integrable martingales, J.
Nagoya Math. 30, 209 - 245.
[32] X. Mao. (1997), Stochastic differential equations and their applications,
Horwood Publishing chichester.
[33] X. Mao. (1991), Stability of Stochastic Differential Equations with Respect
to Semimartingales, Longman Scientific and Technical, Es***, England.
[34] X. Mao. (2003), Asymptotic Stability and Boundedness of stochastic differ-ential equations with respect to semimartingales, Stochastic analysis and
applications. 21, 737 - 751.
[35] X. Mao, D. J. Higham, and A. M. Stuart. (2002), Strong convergence of
Euler-type methods for nonlinear stochastic differential equations, SIAM
Journal on Numerical Analysis. 40, 1041 - 1063.
[36] H. P. McKean. Jr. (1969), Stochastic Integrals, Academic Press, New York.
[37] P. Medvegyev. (2007), Stochastic integration theory, Oxford University
Press Inc, New York.
[38] P. A. Meyer. (1966), Probability and Potentials, Blaisdell, Toronto.
[39] P. A. Meyer. (1967), Intégrales stochastiques I, II, Lecture notes in mathe-matics, Springer - Verleg, Berlin. 39, 72 - 117.
[40] P. A. Meyer. (1962), A decomposition theorem for supermartingales, Ill. J.
Math. 6, 193 - 205.
[41] P. A. Meyer. (1963), Decomposition of supermartingales: the uniqueness
theorem, Ill. J. Math. 7, 1 - 17.
96
[42] P. A. Meyer and C. Doléans-Dade. (1970), Intégrales stochastiques par rap-port aux martingales locales, Séminaire de Probabilités IV, Lecture Notes
in Mathematics. 124, 77 - 107.
[43] D. Mozyrska, E. Pawluszewicz, and D. F.M. Torres. (2010), The Riemann
- Stieltjes integral on time scales, AJMAA. 7, 1 - 14.
[44] P. E. Protter. (1977), On the existence, uniqueness, convergence and explo-sions of system of stochastic integral equations, The Annals of Probability.
5, 243 - 261.
[45] P. E. Protter. (2004), Stochastic integration and differential equations,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
[46] L. C. G. Rogers and D. William. (1987), Diffusions, Markov process and
martingales, Volume 2: Itô's Calculus, John Wiley & Sons Ltd.
[47] S. Sanyal. (2008), Stochastic dynamic equations, Ph.D. Dissertation, Ap-plied Mathematics, Missouri University of Science and Technology.
[48] A. Tartakovsky. (1998), Asymptotically optimal sequential tests for nonho-mogeneous processes, Sequential Analysis. 17, 33 - 61.
[49] W .Vervaat. (1979), On the s tochastic difference equation and a represen-tation on nonnegative infinitely random variables, Adv. Appl . Probab. 11,
750 - 783.
[50] Z. Yang and D. Xu. Mean square exponential stability of impulsive stochastic
difference equations, Applied Mathematics Letters. 20, 938 - 945.