Thạc Sĩ Một số kết quả của tích ten xơ

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Mở rộng trực tiếp của Đại số tuyến tính là Đại số đa tuyến tính
mà kiến thức trọng tâm là ten xơ và các vấn đề liên quan đến nó. Ten
xơ liên quan mật thiết đến các lĩnh vực khác. Ten xơ là một khái niệm
quan trọng trong vật lí bởi vì nó cung cấp một khuôn khổ toán học
ngắn gọn cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lí trong nhiều
lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lí thuyết đàn hồi và đặc biệt
là thuyết tương đối rộng. Ten xơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các
nhà toán học Tullo Levi - Civita và Gregorio Ricci - Curbasto trong
một nhánh mà họ gọi là phép tính vi phân tuyệt đối. Ten xơ cũng cho
phép thiết lập lên cách phát biểu khác của hình học vi phân nội tại của
một đa tạp trong dạng của ten xơ độ cong Riemann.
Một khía cạnh quan trọng của ten xơ là tích ten xơ và tích ten xơ
của hai không gian véc tơ chính là cơ sở để xây dựng nên khái niệm
tích ten xơ của các đối tượng khác.
Nhận xét rằng nếu V và W là hai không gian véc tơ thì trên V ×W
tồn tại một cấu trúc không gian véc tơ làm cho nó đẳng cấu với V ⊕W.
Tuy nhiên một ánh xạ tuyến tính từ V × W tới U nói chung không là
một ánh xạ tuyến tính từ V ⊕ W tới U và ngược lại, tức là hai tập
hợp B(V × W, U) và L(V ⊕ W, U) không đẳng cấu với nhau. Tích ten
xơ V ⊗ W của hai không gian V và W được xây dựng để thay thế cho
V ⊕ W để hai không gian B(V × W, U) và L(V ⊕ W, U) đẳng cấu với
nhau.
3Là kiến thức cơ sở rất quan trọng của Đại số đa tuyến tính, tuy
nhiên có không nhiều tài liệu, công trình nghiên cứu đầy đủ, chi tiết về
tích ten xơ, do đó để có thể nghiên cứu sâu sắc hơn các vấn đề của Đại
số đa tuyến tính cũng như cung cấp cho bạn đọc một tài liệu về vấn đề
này, tôi đã chọn "Một số kết quả của tích ten xơ" làm đề tài khóa luận
tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận là tìm hiểu về tích ten xơ thông qua tích
ten xơ của hai không gian véc tơ và sự liên hệ của nó với một số đối
tượng khác như ánh xạ, tổng trực tiếp,vv. Thông qua khóa luận này
tôi có cơ hội củng cố lại những kiến thức về Đại số tuyến tính và làm
quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề toán học.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tích ten xơ của hai không gian véc tơ và
của một số đối tượng khác.
Phạm vi nghiên cứu: Các đối tượng trong Đại số tuyến tính. Ngày
nay tích ten xơ cũng đã được định nghĩa trực tiếp cho hai mô đun, tuy
nhiên trong phạm vi khóa luận này không đề cập đến.
4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài
liệu làm rõ nội dung lí thuyết, trình bày, chứng minh các tính chất theo
một hệ thống khoa học, logic và đưa ra các ví dụ làm rõ.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của
4bản thân, của bạn học, các anh chị khóa trước để tổng hợp, hệ thống
hóa kiến thức, vấn đề nghiên cứu đầy đủ, khoa học.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, lấy ý kiến của giảng
viên hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thành về mặt nội dung
cũng như hình thức của khóa luận.
5. Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn
Ten xơ có ứng dụng hữu ích trong các lĩnh vực khác như cơ học
môi trường liên tục, trong hình học vi phân với các ví dụ quen thuộc là
các dạng bậc hai như ten xơ mê tric và ten xơ độ cong Riemann. Đại số
ngoài cũng là một lí thuyết ten xơ mang nhiều đặc tính hình học. Các
dạng vi phân là một trong những ứng dụng cơ bản của ten xơ trong
toán học. Do đó, hiểu rõ về tích ten xơ sẽ có cơ sở để nghiên cứu sâu
sắc các ứng dụng của nó và các vấn đề liên quan đến ten xơ.
6. Bố cục khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo,
nội dung khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này là hệ thống một số kiến thức, các kết quả cơ bản
của đại số tuyến tính cần thiết cho các chương sau: không gian véc tơ,
không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính, không gian con, không gian
thương, tổng trực tiếp các không gian véc tơ, không gian véc tơ thương,
dãy khớp và giới thiệu khái niệm bài toán phổ dụng.
Chương 2: Một số kết quả của tích ten xơ
5Chương này trình bày một cách hệ thống về cách xây dựng tích
ten xơ của hai không gian véc tơ, các ví dụ, tính chất của tích ten xơ,
mối liên hệ của tích ten xơ với một số đối tượng khác: tích ten xơ với
ánh xạ, tổng trực tiếp, dãy khớp, với không gian con và không gian
thương.


Mục lục
Lời cảm ơn 1
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 3
1 Kiến thức cơ sở 7
1.1 Không gian véc tơ 7
1.2 Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính . 11
1.3 Tổng trực tiếp các không gian véc tơ . 13
1.4 Không gian véc tơ thương, dãy khớp . 15
1.5 Bài toán phổ dụng . 16
2 Một số kết quả của tích ten xơ 20
2.1 Ánh xạ đa tuyến tính 20
2.2 Tích ten xơ của hai không gian véc tơ . 24
2.2.1 Định nghĩa . 24
12.2.2 Cách xây dựng tích ten xơ của hai không gian véc
tơ 27
2.2.3 Một số tính chất của tích ten xơ 30
2.2.4 Một số ví dụ về tích ten xơ 41
2.3 Tích ten xơ của ánh xạ, tính khớp . 45
2.3.1 Định nghĩa . 45
2.3.2 Tính chất 46
2.3.3 Một số ví dụ . 48
2.4 Tích ten xơ của không gian con và không gian thương 50
KẾT LUẬN 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55