Thạc Sĩ Một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm Hình học

LỜI NÓI ĐẦU



Việc thác triển các ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài toán quan trọng của giải tích phức. Nhiều tác giả đã nghiên cứu bài toán này từ quan điểm của giải tích phức hyperbolic kể từ khi S. Kobayashi đưa ra khái niệm giả khoảng cách Kobayashi và dùng nó để nghiên cứu lý thuyết hàm hình học. Theo hướng nghiên cứu này, J. Noguchi (xem [7] hoặc [10]) đã chứng minh được định lý thác triển hộ i tụ sau:

“Cho X là không gian phức compact tương đối nhúng hyperbolic trong

không gian phức Y. Giả sử M là đa tạp phức và A là siêu mặt phức của M với


giao chuẩn tắc. Nếu {f j : M

A X } j 1

là dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ

đều trên các tập con compact của

M A tới ánh xạ chỉnh hình

f : M

A X , thì {f j } j 1

hội tụ đều trên các tập con compact của M tới f ,

trong đó

f j : M Y và

f : M Y là các thác triển chỉnh hình duy nhất của

f j và f trên M ”.


Định lý trên của Noguchi đã mở ra một hướng nghiên cứu bài toán thác triển các ánh xạ chỉnh hình. Đó là nghiên cứu các định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi. “Định lý thác triển kiểu Noguchi” là đ ịnh lý về các ánh xạ tương tự như định lý của Noguchi về thác triển ánh xạ chỉnh hình mà giữ nguyên tính hội tụ đều địa phương. Gần đây, nhiều định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt giải tích của các đa tạp phức đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [4], [5], [7]). Mục đích chính của luận văn là trình bày một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt giải tích.



Luận văn được chia làm hai chương.

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn b ị, bao gồm các khái niệm không gian hyperbolic, không gian nhúng hyperbolic và một số định lý thác triển các ánh xạ chỉnh hình như định lý của M. Kwack, K3-định lý.
Chương 2 là nộ i dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi chứng minh một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt giải tích (không nhất thiết có giao chuẩn tắc).
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học

Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS. TS. Phạm Việt Đức. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã chỉ bảo và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khoá học.
Đồng thời tô i xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, trường THPT Hoành Bồ tỉnh Quảng Ninh, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu đề tài này.




MỤC LỤC



Trang


Lời nói đầu 1


Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 3


1.1. Không gian phức hyperbolic . 3


1.2. Không gian phức nhúng hyperbolic . 7


1.3. Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình . 11


Chương 2: Một số định lý thác triển hội tụ 19


2.1. Định lý thác triển hội tụ Noguchi 19


2.2. Một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt 25


Kết luận 46


Tài liệu tham khảo 47