Thạc Sĩ Một số định lý điểm bất động

LỜI NÓI ĐẦU

Cho C là một tập con của không gian X , F là một ánh xạ từ C vào

X . Phải đặt những điều kiện nào trên C , X và F để có thể khẳng định sự


tồn tại của một điểm x0

trong C sao cho

Fx0  x0 ? Điểm x0

như vậy gọi là


điểm bất động của ánh xạ F .

Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau.
Mục đích của luận văn này là trình bày một cách chi tiết hơn một số định lí điểm bất động trong tài liệu A.Granas, J.Dugundji. Fixed point Theory. Springer – Verlag. NewYork, 2003. Chúng tôi chỉ hạn chế ở việc giới thiệu những kết quả dựa trên tính đầy đủ, tính sắp thứ tự của không gian và tính lồi.
Bố cục của luận văn gồm 4 chương với những nội dung chính sau đây:

Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi luận văn.
Chương 2. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính đầy đủ của không gian như Nguyên lí ánh xạ co Banach, các mở rộng và ứng dụng của nó.
Chương 3. Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự như Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch. Xét mối liên hệ giữa khái niệm thứ tự và tính đầy đủ ta thu được Định lí Bishop – Phelps, Định lí điểm bất động Carsti, Định lí Ekeland. Trong chương này còn trình



bày điểm bất động của ánh xạ co đa trị, đồng thời xét một vài ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach, vào nghiên cứu điểm tới hạn.
Chương 4. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi cụ thể

là dựa trên Nguyên lí ánh xạ KKM.

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trương Xuân Đức Hà , tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc đến cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tác giả; các thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy cô giáo ở Viện Toán học cùng toàn thể bạn bè đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn. Tác giả xin chân trọng cảm ơn!



MỤC LỤC

Lời nói đầu .2

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị .4

1.1.Tính compact và tính đầy đủ .4

1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số 5

1.3. Tập sắp thứ tự .5

1.4. Không gian điểm bất động .6

1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ 9

Chương 2: Một số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian đầy đủ

và ứng dụng của định lí Banach .12

2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach 12

2.2. Miền bất biến cơ sở 15

2.3. Phương pháp liên tục cho ánh xạ co .17

2.4. Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co .20

2.5. Mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach .23

2.6. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert .28

2.7. Ứng dụng nguyên lí Banach cho phương trình tích phân .36

Chương 3: M ột số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự 39

3.1. Định lí Knaster - Tarski 39

3.2. Tính thứ tự và tính đầy đủ. Định lí Bishop - Phelps .42

3.3. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị 45

3.4. Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach .47

3.5. Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn .48

Chương 4: Một số định lí tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi 51

4.1. Nguyên lí ánh xạ KKM . 51

4.2. Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức 56

4.3. Điểm bất động của ánh xạ Affine. Định lí Markoff – Kakutani .60

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo .64