Thạc Sĩ Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng

Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Dãy số . 3
1.1.1 Định nghĩa . 3
1.1.2 Cách mô tả dãy số . 4
1.1.3 Giới hạn của dãy số . 4
1.2 Một vài dãy số đặc biệt trong chương trình Toán phổ thông 7
1.2.1 Cấp số cộng 7
1.2.2 Cấp số nhân 7
1.2.3 Dãy Fibonacci . 8
1.2.4 Dãy Farey . 9
1.2.5 Dãy Lucas . 9
2 Một số dạng bài toán về dãy số 11
2.1 Dạng bài toán tìm giới hạn dãy số 11
2.2 Dạng bài toán tìm tổng, tích của dãy số . 17
2.3 Dạng bài dãy truy hồi liên quan số chính phương . 30
2.4 Một số ứng dụng của dãy số . 34
2.4.1 Ứng dụng của dãy số trong hình học 34
2.4.2 Ứng dụng tính chất của dãy số trong giải phương
trình hàm, bất phương trình hàm 38
2.4.3 Ứng dụng tính chất của dãy số trong chứng minh
bất đẳng thức . 42
2.4.4 Một vài ứng dụng khác của dãy số 48ii
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 541
Mở đầu
Trong chương trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề thi
tuyển sinh học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập liên quan đến dãy số rất phong
phú, đa dạng. Hiện nay nhiều học viên cao học chuyên ngành Phương pháp toán
sơ cấp của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng đã khai thác
có hiệu quả các vấn đề liên quan đến dãy số, tuy nhiên chưa có học viên nào đi
sâu tìm hiểu về các dạng bài tập chọn học sinh khá, giỏi liên quan đến dãy số
trong chương trình Toán phổ thông. Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích
lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ ngay chính công tác giảng dạy Toán ở trường
THPT, Em chọn hướng nghiên cứu của luận văn thạc sĩ với đề tài: "Một số
dạng toán về dãy số và ứng dụng" với mục đích: Hệ thống và đưa ra lời
giải một cách chi tiết cho một số dạng bài toán về dãy số và ứng dụng trong bồi
dưỡng học sinh giỏi Toán ở THPT.
Nhiệm vụ chính của luận văn bao hàm:
(i) Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về dãy số, một số tính chất về dãy số và
một số ứng dụng của dãy số được giới thiệu trong chương trình phổ thông.
(ii) Chọn lọc một số dạng bài tập liên quan đến dãy số thường xuất hiện trong
các đề thi chọn học sinh giỏi và cố gắng đưa ra lời giải tường minh cho
những bài tập mà tài liệu tham khảo chưa đưa ra lời giải chi tiết.
Để hoàn thành luận văn này, Em đã nhận được sự quan tâm, tạo mọi điều
kiện của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên mà trực tiếp là Khoa
Toán- Tin. Đặc biệt em luôn nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ tập thể các Thầy,
Cô trong suốt quá trình học tập cao học. Nhân dịp này, cho phép Em được bày
tỏ lòng biết ơn đến Trường ĐHKH, khoa Toán- Tin cùng tập thể các Thầy, Cô
giáo đã tận tình truyền đạt kiến thức và hướng dẫn Em hoàn thành luận văn
này, đồng thời cho phép Em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Trịnh2
Thanh Hải người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm và hoàn
thành luận văn.
Do một số điều kiện chủ quan và khách quan, luận văn với chủ đề "Một số
dạng toán về dãy số và ứng dụng" cũng chưa thực sự hoàn thiện theo ý
muốn. Em tha thiết mong các Thầy, Cô giáo chỉ bảo để Em hoàn thiện luận văn
này.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Học viên
Nguyễn Đình Dùng3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị