Thạc Sĩ Một số dạng toán đại số nâng cao

Mở đầu
Đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình v.v là
những chuyên mục đại số quan trọng được dạy ở bậc phổ thông. Các bài
toán của các chuyên mục này (và của hầu hết các chuyên mục khác) có
thể được phân thành các loại như: cơ bản, nâng cao và khó.
Các bài toán nâng cao và khó thường xuất hiện trong các kỳ thi học
sinh giỏi các cấp hoặc thi vào trường chuyên. Các bài toán loại này thu
hút được nhiều người dạy và học, kích thích sự tò mò, đam mê, góp phần
nâng cao chất lượng học tập. Do đó, việc tìm hiểu, thu thập, sáng tác và
biên tập các bài toán nâng cao và khó là cần thiết cho công việc giảng dạy
và học tập toán học ở bậc phổ thông.
Mục đích của luận văn này là giới thiệu các bài toán nâng cao và khó
(gọi chung là nâng cao) của một số chuyên mục trong đại số như: đồng
nhất thức, bất đẳng thức và phương trình đại số. Đó là những chuyên mục
của cơ bản của đại số ở bậc phổ thông, nhất là trung học cơ sở.
Luận văn có cấu trúc: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài
liệu tham khảo.
Chương 1: Đồng nhất thức.
Chương này trình bày một số dạng toán nâng cao về đa thức và phân
thức, đặc biệt khai thác một số hằng đẳng thức áp dụng tính giá trị của
các biểu thức khá phức tạp, chứng minh đẳng thức, phân tích thành nhân
tử, v.v Trình bày một số tính chất của phân thức hữu tỷ và áp dụng tính
giá trị của các biểu thức phân thức hữu tỷ v.v
Chương 2: Đa thức đối xứng và một số ứng dụng.
Các bài toán có tính đối xứng, nhất là các bài toán vê bất đẳng thức,
thường khá đẹp về hình thức và độc đáo về cách giải nên rất hấp dẫn người
dạy và học toán sơ cấp ở bậc phổ thông. Một trong những công cụ hiệu
quả giải các bài toán có tính đối xứng là vận dụng lý thuyết đa thức đối
xứng mà cụ thể là công thức Waring về biểu diễn các tổng lũy thừa theo
các đa thức đối xứng cơ sở. Lý thuyết đa thức đối xứng và áp dụng bằng
tiếng Việt có thể tìm thấy trong tài liệu [2].
Chương này được hình thành trên cơ sở tài liệu [2], tuy nhiên các bài
toán trình bày trong chương này hoàn toàn chưa được giới thiệu trong tài
liệu nói trên, trong số đó có nhiều bài do tác giả sáng tác. Các bài toán2
về bất đẳng thức chiếm một vị trí đáng kể trong số các bài toán được giới
thiệu trong chương này.
Chương 3: Phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn.
Phương trình và hệ phương trình đại số là chuyên mục trung tâm của
đại số và đã dược dạy từ bậc trung học cơ sở. Hiện nay đã có một số lượng
lớn các tài liệu giới thiệu về phương trình và hệ phương trình bậc nhất và
bậc hai.
So với các phương trình cấp thấp, các phương trình bậc cao hơn, như
bậc ba và bậc bốn không được giới thiệu tổng quát ở bậc phổ thông, mặc
dù đã có những phương trình cụ thể có thể dễ dàng đưa về phương trình
bậc thấp hơn. Ngoài ra, số lượng cũng như mức độ khó của các phương
trình bậc cao cũng còn hạn chế, do đó, chương này của luận văn dành cho
việc trình bày cách giải các phương trình bậc ba, bậc bốn và nghiên cứu
các bài toán khác nhau liên quan đến hai lớp phương trình này. Các bài
toán được giới thiệu ở đây đa phần là các bài toán khó được lấy từ các đề
thi vào đại học hay thi học sinh giỏi các cấp của các nước. Nội dung của
chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1] và [4].3
Chương 1



Mục lục
Lời cảm ơn i
Mục lục ii
Mở đầu 1
1 Đồng nhất thức 3
1.1 Hằng đẳng thức và căn thức 3
1.1.1 Các hằng đẳng thức 3
1.1.2 Căn thức 4
1.1.3 Một số bài toán 4
1.2 Ứng dụng một hằng đẳng thức bậc hai . 8
1.2.1 Cơ sở lý thuyết 8
1.2.2 Các bài toán 9
1.3 Ứng dụng một hằng đẳng thức bậc ba . 10
1.3.1 Cơ sở lý thuyết 10
1.3.2 Các bài toán áp dụng 11
1.4 Phân thức hữu tỷ . 14
1.4.1 Ứng dụng tam thức bậc hai trong phân thức hữu tỷ 14
1.4.2 Ứng dụng của một đồng nhất thức trong phân thức
hữu tỷ 15
2 Đa thức đối xứng và một số ứng dụng 22
2.1 Cơ sở lý thuyết . 22
2.2 Phân tích thành nhân tử . 24
2.3 Chứng minh các bất đẳng thức . 26
2.3.1 Đa thức đối xứng hai biến 26
2.3.2 Đa thức đối xứng ba biến 28
3 Phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn 44
3.1 Phương trình bậc ba 44
3.1.1 Phương trình bậc ba . 44
3.1.2 Cách giải phương trình bậc ba . 45
3.1.3 Các bài tập . 45
3.2 Phương trình bậc bốn . 53
3.2.1 Phương trình bậc bốn 53
3.2.2 Phương trình trùng phương . 56iii
3.2.3 Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi
quy bậc bốn 58
3.2.4 Phương trình bậc bốn khuyết lũy thừa bậc ba 61
3.2.5 Một số dạng phương trình khác 63
3.2.6 Một số phương pháp giải phương trình bậc bốn 67
Kết luận 71
Tài liệu tham khảo 72