Thạc Sĩ Một số bài toán về kỳ dị họ hàm

mở đầu
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài.
Xét họ hàm f : T × X → Y , xem T là tập tham số, trong đó: X,Y,T là các
tập con trong các không gian vector thực hay phức. Các đối tượng có thể là
mầm hàm hay hàm thuộc lớp: đại số, giải tích, semi-đại số, sub- giải tích, định
nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu (xem [D] hay ), . Dưới đây là một số
bài toán về kỳ dị của họ hàm trên:
Bài toán 1: Nghiên cứu tập các điểm trơn liên quan tới f.
Chẳng hạn:
Tập các điểm trơn của thớ.
Tập các điểm trơn của f.
Các kết quả liên quan:
Các kết quả của Tamm, Kurdyka [K] về tập các điểm trơn của hàm sub-giải
tích. Kết quả của Shiota-Koike [S-K] về tập các điểm trơn của thớ hàm semi-
đại số.
Bài toán 2: Nghiên cứu sự tồn tại tập T’ T cùng lớp đối tượng, dim
T’< dim T, sao cho trên T T’ các hàm của họ là tương đương.
Nếu kết quả là khẳng định, thì số lớp tương đương trong họ hàm là hữu hạn.
Nếu ngược lại, thì xảy ra ‘moduli’. Điều này phụ thuộc vào quan hệ tương
đương. Các quan hệ tương đương đang được quan tâm:
Tương đương topo.
Tương đương khả vi liên tục đến cấp k.
Tương đương bi-Lipschitz.
Tương đương nổ giải tích theo định nghĩa của Kuo [Kuo].
Các kết quả liên quan:
Các kết quả của Whitney, Thom, Mather, Varchenko, Fukuda, Loi, Shiota,
Coste, . (xem [G] hay ) cho câu trả lời khẳng định khi Y=R, f định nghĩa
được trong cấu trúc o-tối tiểu, với quan hệ tương đương topo.