Thạc Sĩ Một số bài toán định lượng trong giải tích vi phân

cơ sở đại số tuyến tính cho giá trị
kỳ dị
1 Các khái niệm.
1.1 Chuẩn vector.
Định nghĩa 1.1.1 Cho a1, . , an ∈ R
m, khi đó
span{a1, . , an} = {
Xn
j=1
βjaj
: βj ∈ R}
Định nghĩa 1.1.2 (Chuẩn vector ) Một chuẩn vector trên R
n
là một hàm f :
R
n → R thỏa:
(i)f(x) ≥ 0 x ∈ R
n
,(f(x) = 0, x = 0)
(ii)f(x + y) ≤ f(x) + f(y) x, y ∈ R
n
(iii)f(αx) = |α|f(x) α ∈ R, x ∈ R
n
Ký hiệu, kxk - chuẩn x.
kxkp = (|x1|
p + · · · + |xn|
p
)
1
p p ≥ 1 : p-chuẩn của x.
Các chuẩn quan trọng:
kxk1 = |x1| + · · · + |xn|
kxk2 = (|x1|
2 + · · · + |xn|
2
)
1
2 = (x
T x)
1
2
kxk∞ = max1≤i≤n |xi
|
* Các tính chất của chuẩn vector.
(i) Bất đẳng thức Holder:
|x
T
y| ≤ kxkpkykq,
1
p
+
1
q
= 1.
(ii) Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz:
|x
T
y| ≤ kxk2kyk2.
(iii) Mọi chuẩn trên R
n đều tương đương, i.e. nếu k.kα và k.kβ là các chuẩn
trên R
n
, thì tồn tại c1 và c2 sao cho
c1kxkα ≤ kxkβ ≤ c2kxkα.
Khi đó, một dãy hội tụ trong α - chuẩn thì cũng hội tụ trong β - chuẩn