Thạc Sĩ Một số bài toán có tính định lượng trong giải tích vi phân

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
NĂM - 2012
Mục lục ( Luận án dài 113 trang khác với dề tài mã số 19573 ( Thạc sĩ) chỉ có 97 trang bao gồm phụ lục)

LỜI CAM ĐOAN 1
LỜI CẢM ƠN 2
DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU 6
DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH 9
TÓM TẮT 10
MỞ ĐẦU 12

1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐỊNH LƯỢNG VỀ ĐỊNH LÝ HÀM NGƯỢC, HÀM ẨN 18
1.1 Giới thiệu . 18
1.2 Kiến thức cơ sở 20
1.2.1 Ký hiệu 20
1.2.2 Jacobi suy rộng 21
1.2.3 Không gian các ánh xạ Lipschitz 22
1.2.4 Chặn trên cho Ck-chuẩn của ánh xạ hợp và ánh xạ nghịch đảo 23
1.3 Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz 25
1.4 Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz 28
1.5 Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke . 34
1.6 Định lý hạng hằng định lượng 38

2 ĐỊNH LÝ SARD VÀ ĐỊNH LÝ MORSE ĐỊNH LƯỢNG 42
2.1 Giới thiệu . 42
2.2 Các khái niệm, định nghĩa 44
2.2.1 Giá trị kỳ dị của ánh xạ tuyến tính . 44
2.2.2 Điểm tới hạn và γ-tới hạn 45
2.2.3 Entropy 45
2.3 Dạng định lượng của bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng . 46
2.4 Bổ đề tách định lượng 48
2.5 Định lý Sard định lượng . 54
2.6 Định lý Morse định lượng 55

3 CHẶN TRÊN CHO CÁC SỐ BETTI CỦA TẬP NỬA ĐẠI SỐ 61
3.1 Giới thiệu . 61
3.2 Các khái niệm và một số kết quả 63
3.2.1 Trường thực đóng . 64
3.2.2 Tập nửa đại số 64
3.2.3 Tương đương đồng luân nửa đại số . 67
3.2.4 Số Betti của tập nửa đại số . 68
3.2.5 Một số kết quả về topo đại số 69
3.3 Chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số cơ sở 70

4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN 76
4.1 Giới thiệu . 76
4.2 Kiến thức cơ sở 79
4.2.1 Cấu trúc o-tối tiểu 79
4.2.2 Phân hoạch tế bào 80
4.2.3 Một số tính chất của cấu trúc o-tối tiểu 82
4.2.4 Phân tầng định nghĩa được . 84
4.2.5 Tầm thường hóa định nghĩa được 85
4.2.6 Tập nửa-Pfaff . 86
4.2.7 Độ đo tích phân hình học 88
4.3 Độ đo Hausdorff của các tập định nghĩa được . 91
4.4 Chặn đều cho độ đo Hausdorff của các thớ định nghĩa được 95

KẾT LUẬN 103
CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO 106
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài: Bài toán nghiên cứu đánh giá định lượng cho các kết quả định tính đã có, hoặc đưa ra các kết quả định lượng mới, đã được quan tâm nhiều bởi các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau như: Lý thuyết số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán, . Các kết quả trong Giải tích vi phân được ứng dụng nhiều phải kể đến đó là: định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn,
định lý Sard, định lý Morse, định lý hoành. Có thể nói sự thiếu vắng những định lý đó ở dạng định lượng thực sự cản trở việc xây dựng các kết quả về định lượng và ứng dụng trong Lý thuyết kỳ dị. Hơn nữa, các định lý trên còn là cơ sở cho các kết quả hình học trong lĩnh vực Hình học đại số thực.
Mục đích và phương pháp nghiên cứu: Với những lý do trên, trong luận án này tác giả nghiên cứu các đánh giá định lượng theo hai hướng
- Nghiên cứu các đánh giá định lượng theo hướng Giải tích số: đưa ra các kết quả định lượng (chẳng hạn độ lớn của các lân cận, chặn trên của chuẩn của các đạo hàm theo dữ liệu vào của các đối tượng liên quan) về định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn, định lý hạng hằng, bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng, bổ đề tách, định lý Morse. Các kết quả nghiên cứu dựa trên các phương pháp tính toán trong Giải tích vi phân, Giải tích số và Đại số tuyến tính.
- Nghiên cứu các đánh giá định lượng dựa trên Độ phức tạp topo: đưa ra các kết quả định lượng về số Betti và các đánh giá chặn trên cho độ đo Hausdorff của các đối tượng thuần. Các kết quả được nghiên cứu dựa trên các phương pháp về đánh giá độ phức tạp topo trong Hình học đại số thực và Topo đại số, các tính toán trong Đại số tuyến tính và phương pháp Tích phân hình học.
Các đối tượng nghiên cứu chính bao gồm: Lớp các ánh xạ Lipschitz; Lớp các ánh xạ khả vi lớp Ck; Lớp các tập và ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu (như các đối tượng nửa đại số và nửa-Pfaff); Các kết quả định tính đã có trong Giải tích vi phân.