Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9

[DOWNC="http://w6.mien-phi.com/data/file/2013/thang09/08/chuyen-de-BD-HSG-Toan9.doc"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP 9
Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.
Câu 2.
a) Chứng minh: (ac + bd)[SUP]2[/SUP] + (ad – bc)[SUP]2[/SUP] = (a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP])(c[SUP]2[/SUP] + d[SUP]2[/SUP])
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)[SUP]2[/SUP] ≤ (a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP])(c[SUP]2[/SUP] + d[SUP]2[/SUP])
Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP].
Câu 4.
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: 
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a[SUP]3[/SUP] + b[SUP]3[/SUP].
Câu 6. Cho a[SUP]3[/SUP] + b[SUP]3[/SUP] = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a[SUP]3[/SUP] + b[SUP]3[/SUP] + abc ≥ ab(a + b + c)
Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|
Câu 9.
a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)[SUP]2[/SUP] ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)[SUP]2[/SUP] ≤ 2(a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP])
b) (a + b + c)[SUP]2[/SUP] ≤ 3(a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP] + c[SUP]2[/SUP])
Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:
a) |2x – 3| = |1 – x|
b) x[SUP]2[/SUP] – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP] + c[SUP]2[/SUP] + d[SUP]2[/SUP] = a(b + c + d)
Câu 13. Cho biểu thức M = a[SUP]2[/SUP] + ab + b[SUP]2[/SUP] – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 14. Cho biểu thức P = x[SUP]2[/SUP] + xy + y[SUP]2[/SUP] – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
Câu 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:
x[SUP]2[/SUP] + 4y[SUP]2[/SUP] + z[SUP]2[/SUP] – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3
Câu 19. Giải phương trình: .
Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x[SUP]2[/SUP]y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
Câu 21. Cho .
Hãy so sánh S và .
Câu 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.
Câu 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:

Câu 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:

Câu 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?
Câu 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng:

Câu 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng: 

Câu 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Câu 29. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)[SUP]2[/SUP] ≤ 2(a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP])
b) (a + b + c)[SUP]2[/SUP] ≤ 3(a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP] + c[SUP]2[/SUP])
c) (a[SUB]1[/SUB] + a[SUB]2[/SUB] + + a[SUB]n[/SUB])[SUP]2[/SUP] ≤ n(a[SUB]1[/SUB][SUP]2[/SUP] + a[SUB]2[/SUB][SUP]2[/SUP] + + a[SUB]n[/SUB][SUP]2[/SUP]).
Câu 30. Cho a[SUP]3[/SUP] + b[SUP]3[/SUP] = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
Câu 31. Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].
Câu 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của:  với x, y, z > 0.
Câu 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP] biết x + y = 4.
Câu 35. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.
Câu 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:
a) ab và a/b là số vô tỉ.
b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
c) a + b, a[SUP]2[/SUP] và b[SUP]2[/SUP] là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
Câu 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a[SUP]3[/SUP] + b[SUP]3[/SUP] + abc ≥ ab(a + b + c)
Câu 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

Câu 39. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1
Câu 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
Câu 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

Câu 42.
a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: .
c) Giải phương trình: 
Câu 43. Giải phương trình: .
Câu 44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: