Thạc Sĩ Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình Toán trung học phổ thông

1

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 3
PHẦN GIỚI HẠN . 6
CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 6
1.1 Các kiến thức cơ bản về dãy số . 6
1.1.1 Dãy số 6
1.1.2 Dãy số bị chặn . 6
1.1.3 Dãy số đơn điệu . 6
1.1.4 Dãy con 7
1.1.5 Giới hạn hữu hạn của dãy số 7
1.2 Các định lí . 7
1.3 Các nguyên lí 8
1.3.1 Nguyên lí Weiestrass . 8
1.3.2 Nguyên lí Bolzano – Weiestrass 8
1.4 Giới hạn một số dãy số thường gặp . 9
BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 10
CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . 17
2.1 Các kiến thức cơ bản về hàm số 17
2.1.1 Hàm số . 17
2.1.2 Đồ thị của hàm số 17
2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . 17
2.1.4 Hàm số bị chặn 17
2.1.5 Hàm số đơn điệu 18
2.1.6 Giới hạn của hàm số . 18
2.1.6.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 18
2.1.6.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực . 18
2.2 Các nguyên lí cơ bản về giới hạn hàm số 19
2

2.3 Một vài giới hạn đặc biệt của hàm số 19
BÀI TẬP CHƯƠNG II – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . 20
CHƯƠNG III: HÀM SỐ LIÊN TỤC . 24
3.1 Định nghĩa . 24
3.1.1 Hàm số liên tục tại một điểm 24
3.1.2 Hàm số liên tục trên một khoảng 24
3.1.3 Hàm số liên tục trên một đoạn 24
3.2 Các phép toán số học với hàm liên tục 25
3.3 Các định lí cơ bản về hàm liên tục . 25
BÀI TẬP CHƯƠNG III – HÀM SỐ LIÊN TỤC . 26
PHẦN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 31
1. Nguyên hàm 31
1.1 Các khái niệm 31
1.2 Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp . 32
1.3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm 33
1.3.1 Phương pháp đổi biến số 33
1.3.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần . 33
2. Tích phân 33
2.1 Định nghĩa . 33
2.2 Tính chất . 33
2.3 Một số phương pháp tính tích phân . 34
BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN . 35
KẾT LUẬN 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 48

3

MỞ ĐẦU
Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên cứu
về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân . Nó có vai trò chủ đạo trong giáo
dục đại học hiện nay.
Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn
của một dãy số, hàm số, . ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét
giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một
cách chính xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần ấy.
Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn
là tính chất "tĩnh" như trong đại số.
Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kỹ thuật, để giải quyết các bài
toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả. Nó được thiết
lập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là
"ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp.
Giới hạn là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích. Có thể nói: Không có
giới hạn thì không có giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan
đến giới hạn.
Trong Toán học, khái niệm "giới hạn" được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm
số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào
đó. Trong một không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một
điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước. Giới hạn là khái
niệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo
hàm và phép tính tích phân.
Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với nghịch đảo của nó vi
phân đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích. Có thể
hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần
4

tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó
thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam
giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật . Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn
mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình
nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta
tính được diện tích của hình thang cong đó.
Chủ đề Giới hạn và Nguyên hàm - Tích phân là một trong những phần quan
trọng và cơ bản trong chương trình toán phổ thông nó đóng vai trò quan trọng trong
Toán học cũng như trong thực tiễn. Giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng
để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức
Giải tích toán học ở phổ thông. Chủ đề Giới hạn có vai trò hết sức quan trọng trong
chương trình Toán phổ thông còn có lẽ vì khái niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liên
tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân. Tích phân có mặt
trong chương trình phổ thông chỉ với tư cách là những kiến thức thực hành, là công
cụ tính toán để sử dụng trong hình học, vật lí và kĩ thuật. Nội dung nguyên hàm,
tích phân lớp 12 THPT là một nội dung mới đối với học sinh, hơn nữa đây lại là
một nội dung khó, trừu tượng.
Với những lí do trên tôi chọn đề tài để làm đề tài khóa luận là:
“Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình
Toán trung học phổ thông”.
Mục đích của đề tài là nêu các định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp
tính giới hạn, nguyên hàm và tích phân. Sau đó là cách nhận diện, phân dạng các
bài tập.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được chia thành hai
phần lớn đó là phần Giới hạn và phần Nguyên hàm - Tích phân.
5

Trong phần Giới hạn gồm có ba chương, chương 1 giới thiệu một số bài toán
về giới hạn dãy số, chương 2 giới thiệu một số bài toán về giới hạn hàm số và
chương 3 giới thiệu các bài toán về tính liên tục của hàm số.
Trong phần Nguyên hàm - Tích phân giới thiệu các quy tắc, phương pháp và
bài tập tính nguyên hàm, tích phân.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng với thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bản
thân còn khiêm tốn nên tồn tại nhiều thiếu sót trong khóa luận là điều khó tránh
khỏi. Tôi rất mong nhận được sự thông cảm, góp ý chân thành của các thầy giáo, cô
giáo và các bạn để đề tài được hoàn thiện, có hiệu quả và có thể ứng dụng trong
giảng dạy phổ thông sau này.