Thạc Sĩ Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố

Đề tài: Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố
LỜI CÁM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo Sư Tiến sĩ Bùi
Tường Trí. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tôi
phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài
liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Đại Số, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm
Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu
quả trong suốt quá trình học cao học.
Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học đã tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này.
Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Thủ Đức đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học cao học.
Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên tôi
trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
TP. HCM năm 2009
Nguyễn Thị Minh NguyệtMỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Theo Posner- Rowen thì bất kỳ P.I đại số nguyên tố nào đều được nhúng vào một P.I đại số
nguyên thủy , là đại số thương theo tâm của nó như một thứ tự trái phải trong nó.Như chúng ta
đã biết, đại số nửa nguyên tố là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố, đại số nửa nguyên thủy
là tích trực tiếp con các đại số nguyên thủy .Câu hỏi tự nhiên đặt ra, liệu ta có thể mở rộng định
lý Posner-Rowen cho lớp các P.I đại số nửa nguyên tố, điều đó có nghĩa là: Liệu có thể nhúng
một P.I đại số nửa nguyên tố vào P.I đại số nửa nguyên thủy như một thứ tự trái phải trong nó?
Trong P.I Algebras An Introduction, tác giả Nathan Jacobson đã từng nhận định là điều trên
không còn đúng và luận văn thạc sỹ của Trương Huy Hoàng đã đưa ra ví dụ minh chứng điều
đó.Vậy trong điều kiện nào thì định lý Posner- Rowen được mở rộng cho lớp các P.I đại số nửa
nguyên tố? Câu hỏi có một sức hấp dẫn nhất định,trả lời câu hỏi lý thú này là cơ hội để tôi vận
dụng các kiến thức toán học hữu ích,đồng thời giúp bản thân phát triển tư duy và tiếp cận với
toán học hiện đại .Đó là lý do đưa tôi đến việc nghiên cứu đề tài “Một lớp các P.I đại số nửa
nguyên tố”, đó là lớp các P.I đại số nửa nguyên tố mà định lý Posner-Rowen được mở rộng.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu đề tài của tôi là chỉ ra “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố” để
định lý Posner-Rowen có thể mở rộng, hay nói rõ hơn là trong luận văn này tôi sẽ đưa thêm
điều kiện cần thiết cho các P.I đại số nửa nguyên tố ,để có thể nhúng P.I đại số nửa nguyên tố
đó vào một P. I đại số nưả nguyên thủy.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để mở rông định lý Posner Rowen đối với các P.I đại số nửa nguyên tố, thông thường có
hai phương hướng: hoặc là xây dựng lại khái niệm đại số thương một cách phù hợp; hoặc là bổ
sung điều kiện cần thiết cho các P.I đại số nửa nguyên tố. Với luận văn này, phương hướng bổ
sung điều kiện là phương pháp mà tôi lựa chọn để mở rộng định lý .
4. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm hai chương. Chương 1: Một số khái niệm và các định lý về vành không giao hóan.
Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản về vành không giao hoán
có liên quan đến các chương sau. Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các bổ đề và các kết
quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài.
Chương 2: Các P.I đại số nguyên tố và nửa nguyên tố.
Tại đây, hầu hết các định lý đều được chứng minh một cách tường minh.
Chương này giới thiệu định lý Posner -Rowen, đưa ra ví dụ trong luận văn thạc sĩ của
Trương Huy Hoàng để chứng minh định lý không còn đúng đối với P.I đại số nửa nguyên tố.
Cuối cùng, tôi sẽ bổ sung một số mệnh đề cần thiết để đạt được mục tiêu mà luận văn đã
đề ra: là chỉ ra “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố”- đó là lớp các P.I đại số nửa nguyên tố
mà định lý Posner-Rowen có thể mở rộng. Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ VÀNH KHÔNG
GIAO HOÁN
Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản về vành không giao hoán có
liên quan đến các chương sau. Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả
chỉ phát biểu chứ không chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài.
Trong chương này, ký hiệu R là vành không giao hoán, M là R-modul phải
1.1. Modun bất khả quy trung thành
Định nghĩa 1.1.1:
 M được gọi là R-modul nếu tồn tại ánh xạ
:
( , )
f MxR M
m r mr


thỏa:
 m(a+b)=ma+mb
 (m+n)a=ma+na
 (ma)b=m(ab)
 m.1=m với mM;a,b,1R
 M được gọi là R-modul trung thành nếu M.r = <0> thì r = 0
Bổ đề 1.1.2:
Ký hiệu: A(M) = {rR/ M.r = <0>}
Ta có: A(M) là ideal hai phía của R và M là R/A(M)- modul trung thành.
Chứng minh:
Ta có A(M)  R vàaA(M),rR
 ta có : M.ar=(Ma)r=0.r=0 suy ra arA(M)
Cũng có: M.ra = (Mr)aMa=0,suy ra raA(M)
Vậy: A(M) là ideal hai phía của R
  r = (r+A(M)) R/A(M) .Xét:
)
: / ( )
( ,
f MxR A M M
m r mr


Ta có:
(m,r )= (m,r')  r =r' (r-r’) A(M) m(r-r’)=0, mMmr=mr’
Vậy: f là ánh xạ và thỏa các tính chất của R/A(M)- modul
Nên: M là R/A(M)- modul
 Ta có : Mr =<0>