Thạc Sĩ Một Hướng Tiếp Tục Mở Rộng Của Định Lý Jacobson

Phần 1:
KIẾN THỨC CƠ BẢN
§1. VÀNH & MODUL
Trong luận văn này, nếu không nói gì thêm, các vành được xét đều thuộc lớp vành đơn giản nhất: không giao hoán và không nhất thiết chứa đơn vị
Định nghĩa: Vành là một nhóm cộng Abel R cùng với một phép nhân có tính kết hợp, phân phối hai phía đối với phép cộng.
Các khái niệm vành con, ideal một phía (trái hoặc phải) được hiểu như bình thường; ideal hai phía gọi tắt là ideal.
Các khái niệm đồng cấu, đẳng cấu và các định lý đẳng cấu được xem là đã biết.
Các modul trên một vành R (hoặc R-modul) được xem là tác động bên phải.
Định nghĩa: Một R-modul là một nhóm cộng Abel M cùng với một tác động ngoài từ R vào M (tức là một ánh xạ từ M.R vào M biến cặp (m,r) thành mr ∈ M) sao cho:
1) m(a + b) = ma + mb
2) (m + n)a = ma + na
3) (ma)b = m(ab)
với mọi m, n ∈ M và mọi a, b ∈ R.
Định nghĩa: Một R-modul M được gọi là trung thành nếu Mr = (0) kéo theo r = 0.
Ta có thể đặc trưng một R-modul trung thành qua khái niệm sau:
Định nghĩa: Cho M là một R-modul thì ta gọi cái linh hóa của M là: A(M) = {r ∈ R/ Mr = (0)}
Khi đó ta có: R-modul M là trung thành khi và chỉ khi A(M) = (0).
Mệnh đề (1.1.1): A(M) là một ideal của R và M là một R/A(M)-modul trung thành.
Bây giờ cho M là một R-modul, gọi E(M) là tập tất cả các tự đồng cấu của nhóm cộng M thì E(M) là một vành theo các phép toán tự nhiên.
. GV hướng dẫn: PGS – TS Bùi Tường Trí HV: Đinh Quốc Huy Luận văn Thạc sĩ Toán: Một hướng tiếp tục mở rộng của định lý Jacobson trang 2
Với mỗi a ∈ R ta định nghĩa một ánh xạ Ta: M ——–––––> M xác định bởi mTa = ma, ∀m ∈ M, do M là một R-modul nên Ta là một tự đồng cấu của nhóm cộng M. Vậy ta có Ta ∈ E(M).
Xét ϕ : R ——–––––> E(M) xác định bởi aϕ = Ta thì ϕ là một đồng cấu vành và Kerϕ = A(M) nên ta có:
Mệnh đề (1.1.2): R/A(M) đẳng cấu với một vành con của E(M).
Nói riêng, nếu M là một R-modul trung thành thì ta có A(M)=(0). Khi đó có thể xem R như một vành con của vành các tự đồng cấu nhóm cộng của M hay R là một vành các tự đồng cấu nhóm cộng nào đó của M.
Bây giờ ta tìm các phần tử của E(M) giao hoán với mọi Ta khi a chạy khắp R.
Định nghĩa: Ta gọi cái tâm hóa của R trên M là tập:
C(M) = {ψ ∈ E(M) / Taψ = ψTa, ∀ a ∈ R}
Mệnh đề (1.1.3): C(M) là một vành con của E(M) và chính là vành các tự đồng cấu R-modul của M.
Định nghĩa: M được gọi là một R-modul bất khả qui nếu MR ≠ (0) và M chỉ có hai modul con là (0) và chính M.
Kết quả sau là nền tảng cho nhiều phát triển mới trong lý thuyết vành:
Mệnh đề (1.1.4): (bổ đề Schur) Nếu M là một R-modul bất khả qui thì C(M) là một vành chia.
(vành chia còn gọi là thể)
Sau đây ta sẽ mô tả bản chất các R-modul bất khả qui.
Mệnh đề (1.1.5): Nếu M là một R-modul bất khả qui thì M đẳng cấu với R/ρ như một R-modul với ρ là một ideal phải tối đại của R và có tính chất là tồn tại một phần tử a ∈ R sao cho x –ax ∈ ρ với mọi x ∈ R. Đảo lại, với mỗi ideal phải tối đại ρ của R thỏa tính chất trên thì R/ρ là một R-modul bất khả qui.
Định nghĩa: Một ideal phải ρ của R thỏa các tính chất nêu trong mệnh đề (1.1.5) được gọi là một ideal phải tối đại chính qui của R.
Nếu R có đơn vị thì mọi ideal phải của nó đều chính qui vì đơn vị (trái) của R đóng vai trò của a. Từ định nghĩa này, ta có:
M là một R-modul bất khả qui khi và chỉ khi M đẳng cấu với R/ρ như một R-modul với ρ là một ideal phải tối đại chính qui của R.