Thạc Sĩ Một định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach

Đề tài: Một định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đối với Thầy PGS. TS. Lê
Hoàn Hóa – Khoa toán – Tin học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã
hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi tận tình trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn
đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành luận
văn này một cách hoàn chỉnh.
Tôi chân thành cảm ơn các Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin học
Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, các Thầy Cô đã tận tình tham gia
giảng dạy tôi trong lớp Cao học Giải tích khoá 15 và Phòng KHCN - SĐH
Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh.
Tôi gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Bộ môn Toán trường Dự Bị Đại
học TP.HCM, Trường THPT DL An Đông đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong công tác để tôi có thể tham gia đầy đủ các khóa học cũng như hoàn
thành luận văn này. Đặc biệt là lời cảm ơn sâu sắc Thầy TS. Chu Đức Khánh
đã góp ý cho luận văn và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập.
Tôi cũng gởi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao học khoá 15.
Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những
thiếu sót, tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Mọi ý
kiến đóng góp xin gởi về email: [email protected].
Xin chân thành cảm ơn.3
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . 1
Lời cảm ơn 2
Mục lục . 3
MỞ ĐẦU 4
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN . 6
1.1. Nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn . 6
1.2. Nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn 10
1.3. Định lý Hille – Yosida . 14
1.4. Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính và bài toán Cauchy . 15
1.5. Họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach 18
Chương 2: MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HÓA
TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH . 21
2.1. Giới thiệu 21
2.2. Kết quả 25
Chương 3: ỨNG DỤNG . 36
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO 404
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, vấn đề nửa nhóm và họ tiến hóa trong không gian Banach là
một hướng nghiên cứu lớn của toán học hiện đại. Nhiều nhà toán học trên thế
giới đã và đang tiếp tục nghiên cứu, phát triển các vấn đề này theo nhiều
hướng khác nhau trong đó nghiên cứu mối quan hệ của nửa nhóm tiến hóa với
bài toán Cauchy được nhiều nhà toán học quan tâm. Vì vậy chúng tôi chọn đề
tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề
tài theo hướng nghiên cứu trên.
2. Mục đích:
Luận văn này nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân
thông qua lý thuyết phổ của nửa nhóm tiến hóa.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính tuần hoàn của nghiệm
yếu của phương trình vi phân không thuần nhất với tính ổn định mũ của họ
tiến hóa tuần hoàn.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn:
Kết quả của luận văn này là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu tính các tính
chất khác của nghiệm yếu của phương trình vi phân không thuần nhất với tính
ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn.5
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến nửa nhóm,
họ tiến hóa tuần hoàn và một số phương trình vi phân.
Chương 2: Chúng tôi trình bày và chứng minh định lý về tính ổn định
mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach.
Chương 3: Chúng tôi giới thiệu một số ứng dụng của định lý trên.
Cuối cùng là các tài liệu tham khảo mà chúng tôi có trích dẫn một số
định lý cũng như chứng minh của chúng.
----------------------------------6
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 NỬA NHÓM LIÊN TỤC ĐỀU CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
BỊ CHẶN
Định nghĩa 1.1.1:
Cho X là không gian Banach. Họ một tham số T(t), 0 ≤ t < , của các
toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X được gọi là một nửa nhóm của các toán
tử tuyến tính bị chặn trên X nếu
(i) T(0) = I, ( I là toán tử đồng nhất trên X )
(ii) T(t+s) =T(t).T(s) với mọi t, s  0
Một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn T(t) được gọi là liên
tục đều nếu
0
lim ( ) 0
t
T t I

  (1.1)
Từ định nghĩa rõ ràng ta có : Nếu T(t), 0 ≤ t < , là một nửa nhóm liên
tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn thì lim ( ) ( ) 0
s t
T s T t

  (1.2)
Định nghĩa 1.1.2:
Cho {T(t)}t0 là một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn xác
định trên X. Với h > 0 ta định nghĩa toán tử tuyến tính Ah xác định như sau:
( )
, .
h
T h x x
A x x X
h

  (1.3)
Kí hiệu D(A) là tập tất cả các xX sao cho giới hạn
0
lim h
h
A x

tồn tại, ta
xác định toán tử A trên D(A) như sau:7
0
lim , ( )
h
h
Ax A x x D A

  (1.4)
Ta gọi toán tử A xác định như trên là toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn
hơn là toán tử sinh) của nửa nhóm T(t) và D(A) là tập xác định của A.
Định lý 1.1.3:
Một toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục đều
nếu và chỉ nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn.
Chứng minh:
Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên X và đặt
0
( )
( )
!
n
tA
n
tA
T t e
n


   (1.5)
Vế phải của (1.5) hội tụ theo chuẩn với mọi t  0 và xác định với mỗi t một
toán tử tuyến tính bị chặn T(t).
Rõ ràng là T(0) = I và với cách tính trực tiếp trên chuỗi lũy thừa trên ta thấy
T(t+s) = T(t).T(s)
Tiến hành đánh giá chuỗi lũy thừa trên ta có:
( )
t A
T t I t A e  
và
( )
( )
T t I
A A T t I
t

  
Từ đó suy ra rằng T(t) là một nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến
tính bị chặn xác định trên X và A là toán tử sinh của T(t).
Mặt khác cho T(t) là một nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến
tính bị chặn xác định trên X. Cố định  >0, đủ nhỏ, sao cho 8
1
0
I T s ds ( ) 1



 

Suy ra rằng
1
0
T s ds ( )




là khả nghịch và vì vậy
0
T s ds ( )


là khả nghịch
Bây giờ
1
0
h T h I T s ds ( ( ) ) ( )




=
1
0 0
h T s h ds T s ds ( ( ) ( ) )
 

 
 
=
1
0 0
( ( ) ( ) )
h h
h T s ds T s ds



 
Vì vậy
1
h T h I ( ( ) )

 =
1 1 1
0 0 0
[ ( ) ( ) ]( ( ) )
h h
h T s ds h T s ds T s ds
 
  

  
(1.6)
Cho h 0 trong (1.6) ta thấy
1
h T h I ( ( ) )

 là hội tụ theo chuẩn và vì
vậy đủ mạnh để toán tử tuyến tính bị chặn
1
0
( ( ) )( ( ) ) T I T s ds





là toán tử
sinh của T(t). ฀
Vậy nửa nhóm T(t) có một toán tử sinh A thì có duy nhất không? Trả lời
câu hỏi này ta xem định lý sau.
Định lý 1.1.4:
Cho T(t) và S(t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị
chặn. Nếu
0 0
( ) ( )
lim lim
t t
T t I S t I
A
  t t
 
  (1.7)
thì T(t) = S(t) với mọi t  0
Chứng minh:9
Cho T > 0, S(t) = T(t), với 0 ≤ t ≤ T. Cố định T > 0, khi t T t  ( ) và t S t  ( )
là liên tục thì tồn tại một hằng số C sao cho T t S s C ( ) ( )  với 0 ≤ t, s ≤ T.
Từ (1.7), cho  > 0, tồn tại một số  > 0 sao cho
1
h T h S h ( ) ( )
TC
 
  với 0≤ h ≤  (1.8)
Cho 0 ≤ t ≤ T và chọn n  1 sao cho
t
n
  . Từ tính chất của nửa nhóm và (1.8)
ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
t t
T t S t T n S n
n n
  
1
0
( 1)
(( ) ) ( ) (( 1) ) ( )
n
k
t kt t k t
T n k S T n k S
n n n n



     
1
0
(( 1) ) ( ) ( ) ( )
n
k
t t t kt t
T n k T S S Cn
n n n n TC n




      
Vậy T(t) = S(t) với mọi 0 ≤ t ≤ T ฀
Do hai định lý trên ta có kết quả sau
Cho T(t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn. Ta có
a) Tồn tại một hằng số   0 sao cho ( )
t
T t e

 .
b) Tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn duy nhất A sao cho ( )
tA
T t e  .
c) Toán tử A trong phần b) là toán tử sinh của T(t).
d) t T t  ( ) là khả vi với chuẩn và
( )
( ) ( )
dT t
AT t T t A
dt
  .