Thạc Sĩ Moment và kỳ vọng có điều kiện của các đại lượng Ngẫu Nhiên

Đề tài: Moment và kỳ vọng có điều kiện của các đại lượng Ngẫu Nhiên
Mục lục
Lời mở đầu 2
§1. Các kiến thức chuẩn bị 4
§2. Tính chất của kỳ vọng và moment 9
§3. Kỳ vọng điều kiện 16
Kết luận 27
Tài liệu 28
1Lời mở đầu
Trong lý thuyết xác suất, khái niệm và tính chất về moment của các
đại lượng ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng. Đặc biệt, khi nghiên
cứu các định lý giới hạn, người ta thường đặt ra các điều kiện của các
moment. Mặt khác, khái niệm kỳ vọng có điều kiện cũng là một khái
niệm rất cơ bản. Dựa trên khái niệm này, người ta xây dựng được khái
niệm Martingale và một số khái niệm liên quan khác.
Khóa luận này trình bày các khái niệm moment và kỳ vọng có điều
kiện của đại lượng ngẫu nhiên cùng các tính chất của chúng. Với mục
đích như vậy, khóa luận chia làm ba phần:
Phần 1. Các kiến thức chuẩn bị. Trong phần này chúng tôi giới
thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất phục vụ cho phần sau
như không gian xác suất, hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên.
Phần 2. Tính chất của các moment. Trong phần này, chúng tôi
trình bày các tính chất của kỳ vọng và các moment của đại lượng ngẫu
nhiên và chứng minh một số mệnh đề liên quan đến kỳ vọng và mở rộng
của nó.
Phần 3. Kỳ vọng điều kiện. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu
khái niệm kỳ vọng điều kiện và nghiên cứu các tính chất của kỳ vọng
điều kiện, đồng thời chỉ ra sự khác nhau giữa kỳ vọng điều kiện và kỳ
vọng thông thường.
Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo
của PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô
2giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập tại khoa.
Cuối cùng, vì sự hạn chế thời gian cũng như tài liệu nên khóa luận
sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự đóng
góp, giúp đỡ của quý thầy cô và các bạn.
Vinh, tháng 4 năm 2006
Tác giả
3§1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Định nghĩa. Giả sử Ω =6 ∅, F là các tập con của Ω. F được gọi là
một σ-đại số nếu:
i) Ω ∈ F;
ii) Nếu A ∈ F thì Ω \ A ∈ F;
iii) Nếu {An} ⊂ F thì
S∞
n=1
An ∈ F.
1.2. Định nghĩa. Giả sử Ω =6 ∅, F là một σ-đại số các tập con của Ω.
Hàm tập P : F → R được gọi là xác suất trên F nếu:
i) P(A) ≥ 0, với mọi A ∈ F;
ii) P(Ω) = 1;
iii) Nếu {An} ⊂ F, An ∩ Am = ∅, với mọi n =6 m thì
P(
[∞
n=1
An) =
X∞
n=1
P(An)
1.3. Định nghĩa. Giả sử Ω =6 ∅, F là một σ-đại số các tập con của Ω
và P : F → R là độ đo xác suất. Khi đó bộ ba (Ω, F, P) được gọi là một
không gian xác suất.
1.4. Tính chất. a) P(∅) = 0;
b) Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B);
c) Nếu A ⊂ B thì P(B \ A) = P(B) ư P(A);
d) P(A) + P(A) = 1;
e) Nếu A, B ∈ F thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ư P(AB);
f) Nếu A, B, C ∈ F thì P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) ư
P(AB) ư P(AC) ư P(BC) + P(ABC);
g) Nếu {An} ⊂ F thì
P(
[∞
n=1
An) ≤
X∞
n=1
P(An)
4