Thạc Sĩ Môđun phụ tuyệt đối và môđun bù tuyệt đối

Lời nói đầu

Sự phân tích các môđun thành tổng trực tiếp của các môđun con của chúng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết vành và môđun. Các hạng tử phụ và các hạng tử bù là hai sự tổng quát hóa của các hạng tử trực tiếp khi chỉ một trong hai điều kiện của tổng trực tiếp và một vài điều kiện tối thiểu được thỏa mãn. Cho M là R-môđun và K là môđun con của M, môđun con N của môđun M được gọi là hạng tử phụ (hạng tử bù) của K nếu N +K = M (N \K = 0) và N là tối tiểu (tối đại) theo quan hệ bao hàm. Trong luận văn này, chúng tôi giới thiệu và nghiên cứu các vấn đề về môđun phụ tuyệt đối và môđun bù tuyệt đối. Môđun N được gọi là phụ tuyệt đối (bù tuyệt đối) nếu N là hạng tử phụ (hạng tử bù) của một môđun con nào đó của mọi môđun chứa nó. Chúng tôi cũng giới thiệu và nghiên cứu về môđun đối phụ tuyệt đối và môđun đối bù tuyệt đối. R-môđun M được gọi là đối phụ tuyệt đối (đối bù tuyệt đối) nếu dãy 0 ! T ! X ! M ! 0 là khớp thì T là hạng tử phụ (hạng tử bù) trong X.
Chúng tôi chứng minh N là môđun phụ tuyệt đối khi và chỉ khi N là hạng tử phụ trong bao nội xạ E(N) của N. Mọi môđun nội xạ đều là môđun phụ tuyệt đối. Mọi tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun phụ tuyệt đối (đối phụ tuyệt đối) là môđun phụ tuyệt đối (đối phụ tuyệt đối). Mọi môđun con phụ của môđun phụ tuyệt đối là môđun phụ tuyệt đối. Nếu N là môđun con của môđun M và N,M/N là các môđun phụ tuyệt đối thì M là môđun phụ tuyệt đối. Chúng tôi cũng chứng minh được rằng M là môđun đối phụ tuyệt đối khi và chỉ khi tồn tại môđun xạ ảnh P và toàn cấu f : P ! M sao cho Kerf là hạng tử phụ trong P. Nếu M là môđun đối phụ tuyệt đối và N là hạng tử phụ trong M thì M/N là môđun đối phụ tuyệt đối. Ngược lại, nếu N là môđun con của môđun M và N,M/N là các môđun đối phụ tuyệt đối thì M là môđun đối phụ tuyệt đối. Chúng tôi nhận được kết quả là các môđun bù tuyệt đối trùng với các môđun nội xạ. Sử dụng kết quả này, chúng tôi chứng minh được mọi môđun con bù của môđun bù tuyệt đối là môđun bù tuyệt đối. Nếu N là môđun con của môđun M và N,M/N là các môđun bù tuyệt đối thì M là môđun bù tuyệt đối. M là môđun đối bù tuyệt đối khi và chỉ khi tồn tại môđun xạ ảnh P và toàn cấu f : P ! M sao cho Kerf là hạng tử bù trong P. Nếu M là môđun đối bù tuyệt đối và N là hạng tử bù trong M thì M/N là môđun đối bù tuyệt đối. Ngược lại, nếu N là môđun con của môđun M và N,M/N là các môđun đối bù tuyệt đối thì M là môđun đối bù tuyệt đối.
Luận văn này gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở cho luận văn.
Chương 2: Trình bày nội dung chính của luận văn. Chương này gồm hai phần. Phần một trình bày định nghĩa, các tính chất và ví dụ của môđun phụ tuyệt đối. Ngoài ra, phần một còn trình bày định nghĩa và các tính chất của hạng tử phụ. Phần hai trình bày định nghĩa, các tính chất và ví dụ của môđun đối phụ tuyệt đối.
Chương 3: Trình bày nội dung chính của luận văn. Chương này gồm hai phần. Phần một trình bày định nghĩa, các tính chất và ví dụ của môđun bù tuyệt đối. Phần hai trình bày định nghĩa, các tính chất và ví dụ của môđun đối bù tuyệt đối.
Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét các môđun trái trên vành R. Vì vậy, mọi môđun được đề cập đến ở trong luận văn này đều là các R-môđun trái. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu của các độc giả để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.
Mục lục

Bảng ký hiệu 6
Lời nói đầu 7
1 Kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Các định lý đẳng cấu và bao nội xạ 9
1.2 Các môđun đặc biệt 10
1.3 Hạng tử bù . 16
1.4 Lớp thực sự . 19
1.5 Biểu đồ kéo . 20
2 Môđun phụ tuyệt đối 22
2.1 Môđun phụ tuyệt đối 22
2.2 Môđun đối phụ tuyệt đối 30
3 Môđun bù tuyệt đối 36
3.1 Môđun bù tuyệt đối . 36
3.2 Môđun đối bù tuyệt đối 42
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 49