Thạc Sĩ Module con thuần khiết của module nhân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành Đại Số và Lý Thuyết Số
NĂM – 2011

Mục lục

Lời cảm ơn 1
Bảng ký hiệu 3
Lời nói đầu 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Vành, Ideal 6
1.2 Module 8
1.3 Module dẹt .12
1.4 Module con thuần khiết . 13

Chương 2 Module nhân . .15
Chương 3 Module con thuần khiết của module nhân

3.1 Module con thuần khiết của module nhân .29
3.2 Vết của module con thuần khiết 43

Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 46

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những thập niên cuối của thế kỉ XIX Đại Số Giao Hoán đã có sự phát triển mạnh mẽ và các nhà toán học rất hứng thú với cấu trúc đại số mới đó là module. Có thể nói khái niệm module là mở rộng của khái niệm nhóm Abel và khái niệm không gian vectơ. Nếu xem một vành là một module trên chính nó thì khái niệm module con chính là khái niệm ideal. Sự quan tâm đến lớp module mà trong đó mỗi module con được biểu diễn bởi các ideal là tiền đề cho sự ra đời của module nhân. Cụ thể, khái niệm này đã được A. Barnard nêu ra trong bài báo Multiplication Modules, J. Algebra 71(1981) như sau: M là một R-module nhân nếu mọi module con N của M đều có dạng IM, trong đó I là ideal của R. Nhiều kết quả về module nhân đã lần lượt ra đời. Trong quá trình nghiên cứu người ta thấy module nhân có nhiều tính chất giống như vành. Module nhân được các nhà toán học nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau: Khảo sát sâu hơn về mối liên hệ giữa ideal và module con của module nhân, tìm ra mối liên hệ giữa mô đun nhân và các module khác, Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết module, khái niệm module con thuần khiết là tổng quát hóa của khái niệm hạng tử trực tiếp. Mô đun con thuần khiết đã được tìm hiểu và nghiên cứu khá nhiều trong thời gian vừa qua.

Trong luận văn này, chúng tôi kết hợp hai khái niệm module nhân và module con thuần khiết. Chúng tôi nghiên cứu về module con thuần khiết của module nhân. Các tính chất và đặc tính của module con thuần khiết của module nhân được xem xét đến. Thông qua khái niệm module con lũy đẳng, chúng tôi chỉ ra rằng một module con thuần khiết của module nhân với linh hóa tử (annihilator) thuần khiết là thuần khiết nếu và chỉ nếu nó là nhân và lũy đẳng. Nếu M là module nhân trung thành hữu hạn sinh thì một module con N của M là thuần khiết nếu và chỉ nếu [N:M] là ideal thuần khiết của R. Nếu N là module con thuần khiết hữu hạn sinh của R-module nhân trung thành hữu hạn sinh thì N
= eM = eN với e lũy đẳng trong R. Một vài kết quả về căn thức (radical) của module con thuần thiết của module nhân cũng được đưa vào luận văn này.
Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét vành giao hoán có đơn vị nên khi nói đến vành mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành giao hoán có đơn vị.