Báo Cáo Mô hình toán học bài toán va chạm chứa thanh đàn hồi nhớt

MATHEMATICAL MODEL FOR A SHOCK PROBLEM INVOLVING A NONLINEAR VISCOELASTIC BAR

BẢN TÓM TẮT
​

Chúng tôi xét bài toán giá trị biên-đầu cho phương trình sóng phi tuyến u[SUB]u[/SUB] - u[SUB]xx[/SUB] + K|u|[SUP]α-2[/SUP]u + λ|u[SUB]t[/SUB]|[SUP]β-2[/SUP]ut = f (x,t)
trong miền 0 < x <1, 0 < t < T. Điều kiện biên tại điểm x = 0 chứa số hạng tích chập theo biến thời gian của giá trị biên của u tại x = 0 ngược lại Điều kiện biên tại điểm x =1 có dạng u[SUB]x[/SUB](1,t) +K[SUB]1[/SUB]u(1,t) + λ[SUB]1[/SUB]u[SUB]t[/SUB] (1,t) = 0 với K[SUB]1[/SUB] và λ[SUB]1[/SUB] là các hằng số khôngâm cho trước. Chúng tôi chứng minh bài toán như thế có nghiệm duy nhất trong các không gian
Sobolev cổ điển. Chứng minh dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin, một số đánh giá năng lượng và
lý luận về tính compact. Trong trường hợp α = β = 2, tính trơn của nghiệm cũng được nghiên cứu.
Cuối cùng, chúng tôi cũng thu được một khai triển tiệm cận nghiệm (u, P) của bài toán đến cấp
N +1 theo haai tham số K, λ.

ABSTRACT
​

We consider an initial boundary value problem for a nonlinear wave equation u[SUB]u[/SUB] - u[SUB]xx[/SUB] + K|u|[SUP]α-2[/SUP]u + λ|u[SUB]t[/SUB]|[SUP]β-2[/SUP]ut = f (x,t) in the domain 0 < x <1, 0 < t < T. The boundary condition at the boundary point x = 0 of the domain for a solution u involves a time convolution term of the boundary value of u at x = 0 whereas the boundary condition at the other boundary point is of the the form u[SUB]x[/SUB](1,t) +K[SUB]1[/SUB]u(1,t) + λ[SUB]1[/SUB]u[SUB]t[/SUB] (1,t) = 0 with K[SUB]1[/SUB] and λ[SUB]1[/SUB] given non-negative constants. We prove existence of a unique solution of such a problem in classical Sobolev spaces. The proof is based on a Galerkin type approximation, various energy estimates and compactness arguments. In the case of α = β = 2, the regularity of solutions is studied also. Finally, we obtain an asymptotic expansion of the solution (u, P) of this problem up to order N +1 in two small parameters K, λ.