Thạc Sĩ Mô đun biểu diễn được

Đề tài: Mô đun biểu diễn được
LỜI MỞ ĐẦU
Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là R-mô đun. Với mỗi phần
tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân
phần tử x với M. Mô đun M được gọi là coprimary nếu M = 0 6 và với
mọi x thuộc R thì ϕx,M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đó, ℜ(M) = ρ
là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là M là ρ-coprimary. Mô đun
con N của M được gọi là mô đun con ρ-nguyên sơ nếu mô đun thương
M/N là ρ-coprimary. Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự
biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M:
N = Q1 ∩ Q2 ∩ . ∩ Qn. Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu
các mô đun con nguyên sơ Q1, Q2, ., Qn thỏa các điều kiện :
(1) Các iđêan nguyên tố ℜ
M/Qi
phân biệt.
(2) Không có Qi nào nằm trong giao các mô đun con còn lại.
Từ đó, các nhà toán học đã nêu khái niệm về mô đun thứ cấp và mô
đun biểu diễn được. Một R-mô đun M được gọi là thứ cấp nếu M = 0 6 và
với mọi x thuộc R thì ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh. Khi đó, ℜ (M) = ρ
là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là R-mô đun ρ-thứ cấp. Một
biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô
đun con thứ cấp: M = N1 + N2 + . + Nn. Biểu diễn thứ cấp được gọi là
tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp N1, N2, ., Nn thỏa các điều kiện :
(1) Các iđêan nguyên tố ℜ (Ni) phân biệt.
(2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại.
Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được.
Luận văn này viết về mô đun biểu diễn được và các tính chất của nó,
được chia làm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cần thiết cho chương
sau bao gồm các khái niệm về vành, mô đun, vành Nơ te, vành Artin,
iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố liên kết yếu, dãy khớp. Hầuhết các chứng minh trong chương này đều được bỏ qua.
Chương 2: Mô đun biểu diễn được
Chương này trình bày các vấn đề về mô đun biểu diễn được: định
nghĩa mô đun thứ cấp và mô đun biểu biễn được, tính chất của mô đun
thứ cấp và mô đun biểu diễn được, mô đun con của mô đun biểu diễn
được, tính biểu diễn được của mô đun Artin, tính biểu diễn được của
Hom(M,E) trong một số tình huống cụ thể của R-mô đun M và E.
Tôi xin gửi đến TS. Trần Tuấn Nam, TS. Nguyễn Đình Lân lòng biết
ơn chân thành nhất. Thầy là người hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán trường Đại
học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và các thầy cô đã tham gia giảng dạy,
quản lý khóa học, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học
tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn học cùng khóa đã
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn có thể có những thiếu
sót, kính mong thầy cô và các bạn góp ý và thông cảm.
TP. Hồ Chí Minh 12-2009
Đỗ Trần Minh VũMục lục
1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1
1.1 Mô đun . 1
1.2 Iđêan nguyên tố liên kết 3
1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu 4
1.4 Iđêan nguyên sơ . 5
1.5 Mô đun con . 6
1.6 Vành Nơ te . 8
1.7 Vành Artin . 9
1.8 Dãy khớp 10
2 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 12
2.1 Mô đun biểu biễn được . 12
2.1.1 Các định nghĩa . 12
2.1.2 Tính chất của mô đun biểu diễn được . 16
2.1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết 30
2.2 Mô đun con của mô đun biểu diễn được . 33
2.3 Tính biểu diễn được của mô đun Artin 41
2.4 Tính biểu diễn được của Hom(M;E) 42
Kết luận 50
Tài liệu tham khảo 511
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Mô đun
Trong luận văn này, ta hiểu vành là một vành giao hoán có đơn vị khác
không.
Cho M là R-mô đun, A và B là hai tập con của M, 0 =6 K ⊂ R. Ta
định nghĩa:
A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B}
KA = {r.a|a ∈ A, r ∈ K}
Tập con A khác rỗng của M được gọi là mô đu con của M nếu A+A ⊂ A
và RA ⊂ A.
Với A và B là hai mô đun con của M thì A+B và A ∩ B cũng là mô
đun con của M. Hơn nữa, Giao của một họ bất kì các mô đun con của
M cũng là mô đun con của M.
Cho S là tập con khác rỗng của M. Giao của tất cả các mô đun con
của M chứa S được gọi là mô đun con sinh bởi tập S, ký hiệu là <S>.
Cho A là mô đun con của M, tập thương M/A = {m + A|m ∈ M} là
R- mô đun với các phép toán
(m1 + A) + (m1 + A) = (m1 + m2) + A
r.(m + A) = rm + A
R-mô đun M/A được gọi là mô đun thương của M theo mô đun A.2
Giả sử M là R-mô đun và f : S → R là đồng cấu vành. Khi đó, M có
thể xem như S-mô đun với phép nhân ngoài s.m = f(s).m.
Tập con S của M được gọi là hệ sinh của M nếu M=<S>. Tập con
S được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thức
Pn
i=1
risi = 0 với
ri ∈ R, si ∈ S, ta có r1 = r2 = . = rn = 0. Mô đun M được gọi là mô
đun tự do nếu M có một hệ sinh độc lập tuyến tính.
Giả sử {Mi}
i∈I
là họ các R-mô đun. Trong tập tích Đề các
Q
i∈I
Mi
, ta
định nghĩa các phép toán:
(xi)
i∈I + (yi)
i∈I = (xi + yi)
i∈I
r.(xi)
i∈I = (rxi)
i∈I
Khi đó,
Q
i∈I
Mi trở thành R-mô đun và được gọi là tích trực tiếp của họ
R-mô đun {Mi}
i∈I
.
Mô đun con
P
i∈I
Mi =
(xi)
i∈I ∈
Q
i∈I
Mi
| hữu hạn xi = 0 6
của
Q
i∈I
Mi
được gọi là tổng trực tiếp của của họ các mô đun {Mi}
i∈I
.
Tổng trực tiếp của các mô đun tự do là một mô đun tự do.
R-mô đun M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trực tiếp
của họ nào đó các bản sao của vành R.
Mỗi mô đun M bất kì đều đẳng cấu với mô đun thương của một mô
đun tự do nào đó.
Cho M là R- mô đun, L và N là các mô đun con của M. Ta kí hiệu
(L : N) = {x ∈ R|x.N ⊂ L}
Đây là một iđêan của R. Trong trường hợp đặc biệt khi L=0 và N=M
thì (0 : M) được gọi là cái linh hóa của mô đun M, và được kí hiệu là
Ann(M). Với m ∈ M , Ann(m) là cái linh hóa của R-mô đun sinh bởi
phần tử m ∈ M.
Mệnh đề 1.1.1 . Cho L và N là hai R-mô đun. Khi đó,
1. Ann (L + N) = Ann (L) ∩ Ann (N)3
2. (N : L) = Ann
(N + L)
/N
Mệnh đề 1.1.2 . Cho các R-mô đun L,M,N thỏa N ⊂ M ⊂ L . Khi
đó:
L/N
.
M/N
∼= L/M
Mệnh đề 1.1.3 . Cho L và N là các mô đun con của M. Khi đó:
(L + N)
/N
∼= L/
(N ∩ L)
Mệnh đề 1.1.4 . Cho M là R-mô đun. Khi đó: M là hữu hạn sinh khi
và chỉ khi M đẳng cấu với mô đun thương của một mô đun tự do hữu
hạn sinh nào đó.
1.2 Iđêan nguyên tố liên kết
Giả sử R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không. Iđêan nguyên
tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun M nếu
tồn tại phần tử x ∈ M để Ann(x)=P.
AssR (M) là tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun
M. Khi không sợ lầm lẫn vành R, ta kí hiệu Ass(M).
Mệnh đề 1.2.1 .Cho P là phần tử tối đại của tập các iđêan
Ann (x)|x ∈ M và x = 0 6
Khi đó, P ∈ Ass (M).
Hệ quả 1.2.2 .Cho M là R-mô đun.
(1) Ass (M) = 0 ⇔ M = 0
(2) Tập các ước của 0 của R-mô đun M là hợp các iđêan nguyên
tố liên kết của M.
Ta đặt: SuppM = {P ∈ Spec (R)|MP =6 ∅}
Định lý 1.2.3 .Cho M là R-mô đun. Khi đó, Ass (M) ⊂ Supp (M).4
Định lý 1.2.4 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh khác 0. Khi đó, tồn
tại dãy các mô đun con 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . ⊂ Mn = M sao cho
Mi/Miư1
∼= R/Pi
với Pi ∈ Spec (R) , (1 ≤ i ≤ n)
Bổ đề 1.2.5 .Cho 0 → M′ → M → M′′
là một dãy khớp các R-mô đun
thì Ass (M) ⊂ Ass (M′
) ∪ Ass (M′′
)
Từ bổ đề trên, ta thấy, nếu M = M1 ⊕ M2 thì ta có dãy khớp 0 →
M1 → M → M2 và do đó, Ass (M) ⊂ Ass (M1) ∪ Ass (M2)
Mệnh đề 1.2.6 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh . Khi đó, Ass (M)
là tập hữu hạn.
Định lý 1.2.7 .Cho R là vành Nơ te, các điều sau tương đương với M
là R-mô đun:
(1) M là coprimary
(2) M chỉ có một iđêan nguyên tố liên kết.
1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu
Cho vành giao hoán có đơn vị R.
Một iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết
yếu của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M để P là tối tiểu trên Ann(x). Tập
tất cả các iđêan nguyên tố liên kết yếu của M kí hiệu là W.Ass(M).
Mệnh đề 1.3.1 . Cho M là một R-mô đun. Khi đó, ta có:
(1) Ass (M) ⊂ W.Ass (M)
(2) Ass (M) = W.Ass (M)nếu R là vành Nơ te.
(3) W.Ass =6 ∅ nếu M = 0 6
(4) Nếu 0 → M → N → L → 0 là dãy khớp thì
W.Ass (M) ⊂ W.Ass (N) ⊂ W.Ass (M) ∪ W.Ass (L)5
Mệnh đề 1.3.2 . Cho M là R-mô đun thỏa điều kiện mô đun không của
M có phân tích nguyên sơ. Gọi 0 = N1∩N2∩ .∩Nn là phân tích nguyên
sơ tối tiểu của 0, trong đó Ni
là mô đun con Pi-nguyên sơ của M. Khi
đó, W.Ass (M) = {P1, P2, ., Pn}
Hệ quả 1.3.3 . Cho R là vành Nơ te, M là R-mô đun hữu hạn sinh thì
mọi mô đun con của M đều có một phân tích nguyên sơ.
1.4 Iđêan nguyên sơ
Mệnh đề 1.4.1 .
(1) Cho Q1, ., Qn là các iđêan nguyến tố của vành R và P là một
iđêan của R nằm trong
Sn
i=1
Qi
. Khi đó, tồn tại một chỉ số i0 để P ⊂ Qi0
.
(2) Cho P1, ., Pn là các iđêan của vành R và Q là một iđêan nguyên
tố của R chứa
Tn
i=1
Pi
. Khi đó, tồn tại một chỉ số i để Pi ⊂ Q. Đặc biệt,
nếu Q =
Tn
i=1
Pi thì có i để Q = Pi
.
Cho P và Q là hai iđêan của vành R thì Q ∪ P cũng là một iđêan
của R. Ta còn định nghĩa iđêan (Q : P) = {x ∈ R|x.P ⊂ Q} gọi là iđêan
thương của Q cho P.
Cho P là iđêan của vành R. Căn của P, kí hiệu r (P), là iđêan xác
định như sau:
r (P) = {x ∈ R | ∃n > 0 : x
n
∈ P}
Mệnh đề 1.4.2 . Cho P là một iđêan của vành R. Khi đó:
(1) P ⊂ r (P)
(2) Nếu P là iđêan nguyên tố thì r (P
n
) = P với mọi số n>0.
Nếu f : A → B là một đồng cấu vành và Q là iđêan của B thì
P = f
ư1
(Q) cũng là một iđêan của A và ta sẽ kí hiệu P = Qc
. iđêan P
của R được gọi là nguyên sơ nếu P khác R và nếu x.y ∈ P thì x ∈ P
hoặc y
n
∈ P với một số nguyên dương n nào đó. Một iđêan nguyên tố6
đương nhiên là iđêan nguyên sơ nhưng điều ngược lại không đúng. iđêan
P được gọi là Q-nguyên sơ nếu P là iđêan nguyên sơ và r(P)=Q.
Mệnh đề 1.4.3 . Nếu Q là iđêan nguyên sơ thì r(Q) là iđêan nguyên
tố tối tiểu của R chứa Q.
Mệnh đề 1.4.4 . Nếu r(P) là iđêan tối đại thì P là iđêan nguyên sơ.
Đặc biệt, nếu P là iđêan tối đại của R thì với mọi n>0, P
n
là iđêan
P-nguyên sơ.
Một sự phân tích nguyên sơ của iđêan P trong vành R là sự biểu diễn
P như là giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên sơ của R. Sự phân
tích nguyên sơ P =
Tn
i=1
Qi của iđêan P trong vành R được gọi là tối tiểu
nếu với mọi i,
Tn
j=1
j=6 i
Qj 6⊂ Qi
. Từ một sự phân tích nguyên sơ bất kì, ta
luôn có được một phân tích nguyên sơ tối tiểu. iđêan P của R được gọi
là phân tích được nếu P có một sự phân tích nguyên sơ trong R.
Mệnh đề 1.4.5 . Cho P là iđêan phân tích được của vành R và P =
Tn
i=1
Qi
là phân tích nguyên sơ tối tiểu của P. Khi đó, với mỗi i, đặt
Pi = r (Qi). Khi đó, các Pi không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ
của P.
1.5 Mô đun con
Một mô đun con thực sự N của M được gọi là mô đun con nguyên tố của
M nếu, với mọi r ∈ R và m ∈ M thỏa rm ∈ N thì hoặc là m ∈ N,hoặc
là r ∈ (N : M). Ta thấy, nếu N là mô đun con nguyên tố của M thì
P = (N : M) là iđêan nguyên tố của R. Do đó, ta còn gọi N là P-mô
đun con nguyên tố.
Cho R là vành và M là R-mô đun. Với mỗi phần tử x thuộc R, ta
gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân phần tử x với