Tiến Sĩ Lý thuyết rủi ro ứng dụng trong bảo hiểm

LUẬN ÁN TIẾN SỸ
NĂM 2014
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 8
1.1 Không gian xác suất 8
1.1.1 Xây dựng không gian xác suất Kolmogorov 8
1.1.1.1 Đại số 8
1.1.1.2đại số 8
1.1.1.3 Không gian đo 9
1.1.1.4 Định nghĩa hàm tập 9
1.1.1.5 Độ đo xác suất 9
1.1.1.6 Không gian xác suất Kolmogorov 9
1.1.2 Tính chất của xác suất 10
1.1.3 Xác suất có điều kện 11
1.2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất 11
1.3 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 12
1.3.1 Trường hợp rời rạc 12
1.3.2 Trường hợp liên tục 12
1.4 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên 13
1.4.1 Hội tụ theo xác suất 13
1.4.2 Hội tụ hầu chắc chắn 13
1.4.3 Hội tụ trung bình 14
1.4.4 Hội tụ theo phân phối 14
1.5 Quá trình ngẫu nhiên 14
1.5.1 Định nghĩa và ký hiệu 14
1.5.2 Phân phối hữu hạn chiều 15
1.5.3 Tính chất của họ phân phối hữu hạn chiều 16
1.6 Xích Markov 16
1.6.1 Tính Markov 16
1.6.2 Ma trận xác suất chuyển 17
1.6.3 Phương trình Chapman - Kolmogorov 18
1.6.4 Phân phối hữu hạn chiều 19
1.6.5 Xích Markov có hữu hạn trạng thái 20
1.7 Mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính 21
1.7.1 Sơ lược về phương pháp Monter-Carlo 21
1.7.2 Thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên 23
CHƯƠNG 2. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT RỦI RO 25
2.1 Các công thức tính chính xác xác suất rủi ro 25
2.1.1 Công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho mô hình
rủi ro khi dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các
dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, ngận giá trị nguyên
không âm
2.1.2 Công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho mô hình
rủi ro có dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các
dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov
2.2 Ước lượng xác xác suất rủi ro cho mô hình rủi ro có dãy tiền
Chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập,
cùng phân phối và có phân phối liên tục
CHƯƠNG 3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO TÍNH
XÁC SUẤT RỦI RO
3.1 Giới thiệu 51
3.2 Phương pháp Monte-Carlo tính xấp xỉ giá trị kỳ vọng và đánh
giá sai số
3.3 Phương pháp Monte-Carlo tính xác suất rủi ro 59
3.3.1 Trường hợp số tiền chi trả bảo hiểm và lãi suất là các 60
dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
3.3.2 Trường hợp mô hình rủi ro có dãy lãi suất phụ thuộc
Markov
KẾT LUẬN CHUNG 70
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ
CỦA LUẬN ÁN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC. PHẦN CODE CÁC CHƯƠNG TRÌNH TÍNH
MỞ ĐẦU

Bảo hiểm là biện pháp chia sẻ rủi ro của một người hay một số người
cho cả cộng đồng những người có khả năng gặp rủi ro cùng loại, bằng cách
mỗi người trong cộng đồng góp một số tiền nhất định vào một quỹ chung
và từ quỹ chung đó bù đắp thiệt hại cho thành viên trong cộng đồng không
may bị thiệt hại do rủi ro đó gây ra. Bảo hiểm được xem như là một cách
thức chuyển giao rủi ro tiềm năng một cách công bằng từ một cá thể sang
cộng đồng thông qua phí bảo hiểm. Bảo hiểm góp phần bảo đảm cho các
quá trình tái sản xuất và đời sống xã hội được diễn ra bình thường. Ngày
nay, bảo hiểm đã trở thành một ngành kinh doanh hết sức phát triển và dần
trở nên một khái niệm quen thuộc với hầu hết mọi người. Ở nhiều quốc gia,
mua bảo hiểm từ lâu đã là một việc làm không thể thiếu đối với người dân.
Ở Việt Nam, bảo hiểm xuất hiện dưới hình thức sơ khai vào khoảng
năm 1880. Những năm gần đây, ngành bảo hiểm, tài chính đã thực sự trở
thành ngành kinh tế giữ vai trò trọng yếu, có vai trò điều chỉnh và thúc đẩy
hoạt động của các ngành kinh tế khác và đã trở thành nơi tập trung của các
ý tưởng, xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực tế khác nhau.
Các vấn đề của bảo hiểm, tài chính đã thu hút sự chú ý của các nhà toán
học nói chung và lý thuyết xác suất và thống kê toán học nói riêng. Hiện
nay, chúng ta đang được chứng kiến sự cộng tác chặt chẽ giữa các nhà kinh
tế, tài chính và toán học, nhằm mục đích ứng dụng các thành tựu toán học
hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, phân tích và tìm hiểu các
quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có các đề xuất và giải pháp
phù hợp với quy luật.
Trong cuộc sống sinh hoạt nói chung cũng như trong những hoạt
động sản xuất, kinh doanh phục vụ cuộc sống, con người luôn gặp phải
những tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ, ngẫu nhiên xảy ra, gây thiệt hại về tài
sản, con người . Các tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ ấy gọi là rủi ro. Các
công ty bảo hiểm mở ra nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một
phần rủi ro cho chủ thể, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một
hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro (có thể
dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản). Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm
xảy ra rủi ro là nhu cầu cấp thiết đặt ra, đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải
quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra.
Năm 1903, một công trình của Lundberg, F. đã đặt nền móng cho lý
thuyết rủi ro trong bảo hiểm, tiếp theo đó, Cramer, H. và trường phái
Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc
hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học.
Mô hình cơ bản đầu tiên là mô hình rủi ro của Cramer – Lundberg, mô hình
này thường liên quan đến các trường hợp chi trả bảo hiểm bình thường, và
chưa được nghiên cứu nhiều cho các trường hợp phải chi trả bồi thường
bảo hiểm lớn.



Trong thời gian gần đây Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) được nghiên
cứu và phát triển mạnh, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo
hiểm, kinh tế, tài chính. Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết này
quan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại (hay xác suất rủi ro -
Ruin Probability) trong các mô hình rủi ro. Đối với các mô hình rủi ro cổ
điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy
biến ngẫu nhiên độc lập, chẳng hạn như ước lượng xác suất thiệt hại trong
mô hình rủi ro của tác giả Cramer – Lundberg với giả thiết về dãy các số
tiền đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân
phối. Chủ đề này cũng được rất nhiều tác giả khác quan tâm, thể hiện trong
các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học có tên tuổi như:
Asmussen [9], Buhlman, H. [12], De Vylder, F.E. [20], [21], [22],
Embrechts, P. [24], Ignatov [30], [31], Kluppelberg, C. [24], Lèfèvre, Cl.
[19], [40], Loisel, S. [19], Mikosch, T.[24], Grandell, J.[28], Hipp, C. [29],
Schmidli, H. [29], Marceau, M. [20], Musiela, M. [35], Nyrhinen, H. [36],
Rutkowski, M. [35], Paulsel, J. [37]. [38], Picard, Ph. [40], Schmidt, K.D.
[43],
Ngoài ra, còn có một số công trình nghiên cứu mô hình rủi ro có xét
đến tác động của yếu tố lãi suất như: Bùi Khởi Đàm [11], Cai, J. [13], [14],
[15], [17], Dickson, D. C M. [15], [16], [23] Gaier, J. [26], Grandist, P.
[26], Kluppelberg, C. [32], Stadtmuller, U. [32], Konstantinides, D. G.
[33], Tang, Q. H. [33], Tsitsiashvili, G. S. [33], Sundt, B. [44], [45],
Teugels, J.L. [44], [45], Tang Q. [46], [47], [48], Yang, H. [51], [53],
Zhang, L. H. [53], Yuen, K. C. [54], [55], Wang, G. [54], [55], Wates, H.R.
[23], Wu, R. [54],
Bên cạnh đó, một số tác giả xét mô hình rủi ro với giả thiết dãy số
tiền thu bảo hiểm, đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc: Như
m- phụ thuộc của tác giả Bùi Khởi Đàm. [1], [2], [3], [10], Nguyễn Huy
Hoàng. [1], [2], [3], [10], dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa tự hồi quy cấp
một, hoặc là xích Markov như Albrecher, H. [8], Cai, J. [18], Dickson, D.
C M. [18], Gerber, H. U. [27], Muller, A. [34], Pfug, G. [34], Promislow,
S. D. [39], Valdez, E. A. [49], Mo, K. [49], Xu, L. [50], Wang, R. [50],
Yang, H. [52], Zhang, L. H. [52],
Tính toán xác suất rủi ro là bài toán rất quan trọng trong ngành bảo
hiểm. Đây là bài toán khó và cho đến nay vẫn được nhiều tác giả quan tâm
nghiên cứu. Các nghiên cứu về đề tài này thường được thực hiện theo
những cách tiếp cận sau:
- Ước lượng xác suất rủi ro bằng các bất đẳng thức (như bất đẳng
thức Cramer-Lundberg).
- Dùng kỹ thuật mô phỏng Monte Carlo để tính xác suất rủi ro.
- Phương pháp tính đúng (như công thức Picard- Lefèvre tính xác
suất rủi ro)