Tiến Sĩ Lý thuyết KKM trong nữa dàn Tô pô và ứng dụng

VIỆN TOÁN HỌC
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2011

Mục lục
Tóm tắt . 2
Lời cam oan 3
Một số ký hiệu dùng trong luận án 6
Lời mở đầu 7
1 Nguyên lý ánh xạ KKM suy rộng và các kết quả liên quan 15
1.1 Giới thiệu về nửa dàn tôpô . 15
1.2 Nguyên lý ánh xạ KKM 24
1.3 Các ịnh lý ghép ôi 27
1.4 Các ịnh lý iểm bất ộng . 34
1.5 Sự tương đương giữa nguyên lý ánh xạ KKM và định lý điểm bất động Browder-Fan 40
1.6 Các định lý điểm trùng . 43
1.7 Các bất đẳng thức dạng Ky Fan 46
1.8 Định lý minimax kiểu Sion-Neumann . 49
1.9 Định lý điểm bất động dạng Kakutani-Ky Fan trong nửa dàn tôpô . 51
2 Bất đẳng thức Ky Fan a trị và điểm cân bằng Nash a trị 56
2.1 Bất đẳng thức Ky Fan a trị 56
2.2 Định lý điểm bất động dạng Browder-Fan cho họ các ánh xạ 69
2.3 Hệ bất đẳng thức dạng Ky Fan 72
2.4 Điểm cân bằng Nash a trị trong nửa dàn tôpô . 76
2.5 Sự tồn tại iểm cân bằng Pareto 83
3 Tính liên tục và liên thông của tập nghiệm 87
3.1 Mở đầu . 87
3.2 Tính liên tục của tập các điểm Ky Fan 92
Kết luận của luận án 101
Danh mục công trình của tác giả có liên quan đến luận án 103
Tài liệu tham khảo 104
Lời mở đầu
Một trong những ịnh lý nổi tiếng nhất của Toán học trong thế kỷ trước là nguyên lý điểm bất động Brouwer. Đó là định lý trung tâm của
lý thuyết điểm bất động và cung là một trong những nguyên lý cì bản của giải tích phi tuyến. ịnh lý này được Brouwer chứng minh nam 1912,
dựa vào một công cụ rất sâu sắc của tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục nên khá phức tạp. Vì thế, nhiều nhà toán học đã tìm cách chứng minh nguyên lý điểm bất động Brouwer bằng những công cụ đơn giản hơn. Nam 1929, ba nhà toán học người Ba Lan là Knaster, Kuratowski
và Mazurkiewicz ã chứng minh ược một kết quả quan trọng mang tên "Bổ đề KKM" bằng phương pháp tưìng ối sì cấp mà từ ó suy ra được nguyên lý điểm bất ộng Brouwer.